Fonctions dérivées

Fonctions dérivées
I- Nombre dérivé d’une fonction en x
1- Définition
C est la courbe d’une fonction f
Mo est un point fixe de la courbe C d’abscisse xo
M est un point variable de C d’abscisse xo + h
Le coefficient directeur de la sécante (Mo M) est
a(h) 
f ( x0  h)  f ( x0 )
h
(Aussi appelé taux d’accroissement de f en xo)
Quand h tend vers 0, la sécante tend vers une position limite T. Dans cette
position limite, (MoM) est appelée tangente.
Def : le coefficient directeur de la tangente T, quand il existe, est appelé
nombre dérivé de f en xo et on le note f '( x0 )
Ainsi :
Si
f '( x0 )  lim
f '( x0 )
h0
f ( x0  h)  f ( x0 )
h
existe on dit que f est dérivable en xo
Il n’existe pas , en particulier, quand : la tangente est verticale ou quand Mo est
un pic (un point anguleux) de la courbe.
2- Exemple d’équation de tangente
Avec la fonction f définie par
f ( x)  x2
Equation de la tangente T au point Mo d’abscisse xo = 2 :
f '(2)  2  2  4
L’ équation de T est donc du type y  4 x  b , où b est un réel que l’on détermine
Son coefficient directeur est
en écrivant que Mo est un point de la tangente.
M 0 (2;4) T  4  4  2  b
b  4
T y  4x  4
3- Approximation affine locale
Pour h voisin de 0 ,
f ( x0  h)  f ( x0 )  h. f '( x0 )
(en effet , au voisinage de xo, la courbe et la tangente sont quasi confondues)
Ainsi avec
f ( x)  x2
et
x0  1
 f (x ) 1
0


f '( x)  2 x
On a : 
 f '(1)  2
On obtient
1 2h
(1 h)2  1 2h
est une approximation affine de
Application :
(1.01)2  1 2 0.1
(1.01)2  1.02
(1 h)2
pour h voisin de zéro.
II- Dérivée des fonctions usuelles
Fonction dérivée
Définition : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de R. Alors la
fonction qui à tout x de I associe f '( x) est appelée fonction dérivée de f sur I
est noté
f'
Théorème : une fonction polynôme ou rationnelle est dérivable sur son ensemble
de définition ; la fonction
f
x x
f'
a (constante)
x
a.x  b
x2
x3
0
1
xn n Z *
n.xn1
x
1
x
sin x
cos x
tan x
a
2x
3x 2
est dérivable sur R*+
Ensemble de dérivabilité
R
R
R
R
R
R ou R* suivant le signe
de n
1
R*+
2 x

1
R*
x2
cos x
 sin x
1
cos2 x
R
R
R-
{  k } k  Z
2
III- Opérations sur les dérivées
Dans ce tableau u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I
f ( x)
u v
u.v
k.u
f '( x)
u ' v '
u 'v  u.v '
k.u '
1

u
avec u(x)  0 sur I
u avec v(x)  0 sur I
v
un n  Z *
u
sin.u
cos.u
tan.u
u'
u2
u '.v  u.v '
v2
nu
. n1u '
u'
2u
u 'cos.u
u 'sin.u
u'
cos2 u
Résumé concocté par Camille Kerbaul , élève de 1° S et validé par Guy Marion