Chapitre 5 : Dérivation

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Chapitre 5 : Dérivation
Objectifs :
* Connaitre la définition du nombre dérivée en un point et de la tangente à une courbe en un
point.
*Savoir utiliser le nombre dérivée et la tangente.
*Connaitre les formules de dérivation des fonctions usuelles
* Connaitre les formules d’opérations sur les fonctions dérivées
*Savoir utiliser toutes les formules de dérivation
Exercices :1,2p112 Math’x 1ère Es/L 2014 Didier
I. Dérivabilité en un point
Exemple: Soit la fonction f définie sur   par 
. L'image de 0 par
la fonction f n'existe pas. On s'intéresse cependant aux valeurs de  lorsque x se
rapproche de 0.
x
-0,5
-0,1
-0,01
-0,001
…
0,001
0,01
0,1
0,5
?
On constate que
f(x)
se rapproche de 2 lorsque x se rapproche de 0. On dit que la limite de
f lorsque x tend vers 0 est égale à 2 et on note :   .
Principe : Soit une fonction f définie sur un intervalle I. Soit un réel a appartenant à I. Soit A
et M deux points de la courbe représentative de f d'abscisses respectives a et a+h, avec h 
0.
1) Quelle est l’ordonnée du point M ? du point A ?
2) En déduire le coefficient directeur de la droite (AM) .
3) Que se passe-t-il lorsque le point M se rapproche du point A pour la valeur de h ? pour le
coefficient directeur de la droite (AM), (on pourra utiliser la notion de limite vue
précédemment)?

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Définition : On dit que la fonction f est dérivable en a s'il existe un nombre réel L, tel que :
L est appelé le nombre dérivé de f en a et se note f’(a).
Exemple : Soit la fonction trinôme f définie sur R par      . Démontrer que f est
dérivable en   .
 f(2+h)=
f(2)=
 f(2+h)-f(2)=
3) Tangente en un point à une courbe
Définition : La tangente à la courbe  au point A d’abscisse a est la droite passant par A de
coefficient directeur le nombre dérivé f’(a).
Exemple : Soit A(a ;f(a)) et T la tangente à la courbe passant par A, on donc :
T a pour équation : y=f’(a)x+b
De plus , étant donné que A est sur la tangente, on a : f(a)=f’(a)a+b
d’où b=
d’où y=
Propriété : L’équation de la tangente au point A à la courbe Cf est donc  f’(a)(x- a)+f(a)
Exemple :On considère la fonction trinôme f définie sur R par       dont la
dérivabilité en 2 a été étudiée précédemment. Déterminer le coefficient directeur puis
l’équation de la tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 2.
On a vu que f’(2)=6. Ainsi la tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe
d'abscisse 2 est la droite passant par A et de coefficient directeur 6.
De plus f(2)=5 donc l’équation de la tangente à la courbe représentative de f au point A de la
courbe d'abscisse 2 est : y=f’(2)(x-2)+f(2)
=6(x-2)+5
y=6x-7
Exercices :14à17p130+19,20,24,25p131+27p132Math’x 1ère Es/L 2014 Didier
Exercices supplémentaires : 1p117+1à5p125+10p125+18,21,23,26p131 Math’x 1ère Es/L 2014
Didier

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II. fonction dérivée
Exemple : Soit la fonction f définie sur R par   et x un réel quelconque.
f(x+h)=
f(x)=
Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si
elle est dérivable en tout réel x de I. Dans ce cas, la fonction qui à tout réel x de I associe le
nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée de f et se note f '.
Formules de dérivation des fonctions usuelles :
Fonction f
Ensemble de
définition de f
Dérivée f '
Ensemble de
définition de f '
 ,   
R
R
,   
R
R
  , n entier non nul
R
R
 n entier non nul
R\{0}
R\{0}
Exemples :
1) Soit la fonction f définie sur R par   alors on a pour tout x de R,  .
2) Soit f définie sur R\{0} par 
 alors on a pour tout x de R\{0},      .
II. Opérations sur les fonctions dérivées
Formules d'opération sur les fonctions dérivées : u et v sont deux fonctions dérivables sur un
intervalle I.
Exercices :12p125+28,31,33,34,36,38,39,42à 45,47p133 Math’x 1ère Es/L 2014 Didier
Exercices supplémentaires :
2,3p119+4,5p121+6,7p125+29,30,32,35,37,40,41,46p133+68à75p138+77à81p138+84,85p139+p
146,147 Math’x 1ère Es/L 2014 Didier
u+v est dérivable sur I
(u+v)’=u’+v’
ku est dérivable sur I, où k est une constante
(ku)’=ku’
uv est dérivable sur I
(uv)’=u’v+uv’
 est dérivable sur I, où v ne s'annule pas sur I