Chapitre 5 : Dérivation Objectifs : * Connaitre la définition du nombre dérivée en un point et de la tangente à une courbe en un point. *Savoir utiliser le nombre dérivée et la tangente. *Connaitre les formules de dérivation des fonctions usuelles * Connaitre les formules d’opérations sur les fonctions dérivées *Savoir utiliser toutes les formules de dérivation Exercices :1,2p112 Math’x 1ère Es/L 2014 Didier I. Dérivabilité en un point Exemple: Soit la fonction f définie sur par . L'image de 0 par la fonction f n'existe pas. On s'intéresse cependant aux valeurs de rapproche de 0. x -0,5 -0,1 -0,01 lorsque x se -0,001 … 0,001 0,01 0,1 0,5 ? On constate que f (x) se rapproche de 2 lorsque x se rapproche de 0. On dit que la limite de f lorsque x tend vers 0 est égale à 2 et on note : . Principe : Soit une fonction f définie sur un intervalle I. Soit un réel a appartenant à I. Soit A et M deux points de la courbe représentative de f d'abscisses respectives a et a+h, avec h 0. 1) Quelle est l’ordonnée du point M ? du point A ? 2) En déduire le coefficient directeur de la droite (AM) . 3) Que se passe-t-il lorsque le point M se rapproche du point A pour la valeur de h ? pour le coefficient directeur de la droite (AM), (on pourra utiliser la notion de limite vue précédemment)? Chapitre5 : Dérivation Page 1 Définition : On dit que la fonction f est dérivable en a s'il existe un nombre réel L, tel que : L est appelé le nombre dérivé de f en a et se note f’(a). Exemple : Soit la fonction trinôme f définie sur R par dérivable en . f(2+h)= f(2)= f(2+h)-f(2)= . Démontrer que f est 3) Tangente en un point à une courbe Définition : La tangente à la courbe au point A d’abscisse a est la droite passant par A de coefficient directeur le nombre dérivé f’(a). Exemple : Soit A(a ;f(a)) et T la tangente à la courbe passant par A, on donc : T a pour équation : y=f’(a)x+b De plus , étant donné que A est sur la tangente, on a : f(a)=f’(a) a+b d’où b= d’où y= Propriété : L’équation de la tangente au point A à la courbe Cf est donc f’(a)(x- a)+f(a) Exemple :On considère la fonction trinôme f définie sur R par dont la dérivabilité en 2 a été étudiée précédemment. Déterminer le coefficient directeur puis l’équation de la tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 2. On a vu que f’(2)=6. Ainsi la tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 2 est la droite passant par A et de coefficient directeur 6. De plus f(2)=5 donc l’équation de la tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 2 est : y=f’(2)(x-2)+f(2) =6(x-2)+5 y=6x-7 Exercices :14à17p130+19,20,24,25p131+27p132Math’x 1ère Es/L 2014 Didier Exercices supplémentaires : 1p117+1à5p125+10p125+18,21,23,26p131 Math’x 1ère Es/L 2014 Didier Chapitre5 : Dérivation Page 2 II. fonction dérivée Exemple : Soit la fonction f définie sur R par f(x+h)= f(x)= et x un réel quelconque. Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I. Dans ce cas, la fonction qui à tout réel x de I associe le nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée de f et se note f '. Formules de dérivation des fonctions usuelles : Fonction f Ensemble de Dérivée f ' Ensemble de définition de f définition de f ' R R R R R R R\{0} R\{0} , , , n entier non nul n entier non nul Exemples : 1) Soit la fonction f définie sur R par 2) Soit f définie sur R\{0} par alors on a pour tout x de R, alors on a pour tout x de R\{0}, . . II. Opérations sur les fonctions dérivées Formules d'opération sur les fonctions dérivées : u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I. u+v est dérivable sur I (u+v)’=u’+v’ ku est dérivable sur I, où k est une constante (ku)’=ku’ uv est dérivable sur I (uv)’=u’v+uv’ est dérivable sur I, où v ne s'annule pas sur I Exercices :12p125+28,31,33,34,36,38,39,42à 45,47p133 Math’x 1ère Es/L 2014 Didier Exercices supplémentaires : 2,3p119+4,5p121+6,7p125+29,30,32,35,37,40,41,46p133+68à75p138+77à81p138+84,85p139+p 146,147 Math’x 1ère Es/L 2014 Didier Chapitre5 : Dérivation Page 3