"x sin" -"la distance"

Univ. P & M. Curie LM110
2010-2011 MIME 262
Développements limités
Calcul de DL
Exercice 1
Donner les développements limités en 0à l’ordre indiqué des fonctions suivantes.
1. ch xà l’ordre 6.
2. ln(1 + x2)à l’ordre 6.
3. x2sin xà l’ordre 8.
4. sin xcos xà l’ordre 5.
5. 1/(1 −x+x2)à l’ordre 4.
6. 1/cos xà l’ordre 4.
7. tan xà l’ordre 3.
8. (ex−1)/ln(1 + x)à l’ordre 2.
9. esin xà l’ordre 3.
10. ln(2 + cos(x)) à l’ordre 3.
11. √1 + xsin xà l’ordre 3.
12. p1 + √1 + xà l’ordre 2.
Exercice 2
Donner les développements limités des fonctions suivantes, au point et à l’ordre indiqués.
1. √xà l’ordre 3en 1.
2. ln xà l’ordre 3en 2.
3. x4−x2+x2−xà l’ordre 3en 1.
4. sin(x)à l’ordre 4en π/4.
5. cos(x)à l’ordre 4en π/6.
6. exà l’ordre 4en 2.
Exercice 3
1. Donner le DL à l’ordre 2 en π/4de cos(x),cos2(x)et cos−2(x).
2. En déduire le DL à l’ordre 2 en π/4de tan.
3. En déduire le DL à l’ordre 2 en 0de x7→ tan(x+π/4).
Application des DL
Exercice 4
Calculer les limites des fonctions suivantes aux points indiqués.
1. 1
x2−1
sin2xquand x→0.
2. (cos(1/x))x2quand x→+∞.
3. x2−1
ex−equand x→1.
4. x
x−1−1 ln xquand x→1.
5. (e−(1 + 1/x)x)1/x quand x→+∞.
Exercice 5
On définit
f(x) = 1
√1 + x+3
4cos x.
1. Donner le développement limité de fà l’ordre 3 au voisinage de 0.
2. En déduire l’équation de la tangente à fen 0.
3. Préciser la position au voisinage de 0 de cette tangente par rapport au graphe de f.

Exercice 6
On pose pour x∈]−π, π[
f(x) = 1
xln sin(x) x.
fadmet-elle un prolongement par continuité en 0 ? Si oui, ce prolongement est-il dérivable en 0 ? Préciser alors la
position de la courbe par rapport à sa tangente en 0.
Exercice 7
Étudier la fonction définie par f(x) = √x2+x+ 1. On s’intéressera en particulier aux éventuelles asymptotes, et à la
position de la courbe par rapport à celles-ci.
Remarque : On rappelle les définitions et résultats suivants.
– On dit que la droite d’équation y=ax +best asymptote (en +∞) à la fonction fsi
lim
x→+∞f(x)−(ax +b)=0.
– Pour voir si une courbe a une symptote, on calcule
lim
x→+∞
f(x)
x.
– Si cette limite n’existe pas, on n’a rien à dire.
– Si cette limite est ±∞, on dit que la fonction a une branche parabolique (en +∞) d’axe (Oy)(l’axe des ordonnées).
– Si cette limite est a∈R, on calcule
lim
x→+∞f(x)−ax.
Si cette limite existe et est finie, on la note b, et alors la droite d’équation y=ax +best asymptote à fen +∞.
Sinon, on dit que la fonction a une branche parabolique de direction la droite d’équation y=ax.
Exercice 8
On définit f:R→Rpar
f(x) = 
x3
3+x2+ 2xsi x < 0
2 exp(x3+x)−2 si x≥0.
1. Montrer que fest continue sur R, puis qu’elle est dérivable sur R.
2. Donner un DL de fà l’ordre 2 à droite en 0, puis à gauche en 0.
3. En déduire que fa un DL à l’ordre 2 en 0.
4. Préciser la position au voisinage de 0 du graphe de fpar rapport à sa tangente en 0.
Exercice 9
On considère la fonction fdéfinie par
f(x) = cos x−1 + x2/2
ln(1 + x4).
1. Donner son domaine de définition.
2. Montrer que la fonction a une limite `quand xtend vers 0. On prolonge donc fpar continuité en posant f(0) = `.
3. Montrer que fest dérivable en 0et calculer f0(0).
Exercice 10
On considère la fonction g, définie par
g(x) = −√x2−2 ln x−1 si 0 <x<1
√x2−2 ln x−1 si x≥1.
Montrer que gest dérivable en 1.
Exercice de recherche
Soit Iun intervalle ouvert de Rcontenant 0, et soit gune fonction trois fois dérivable sur I, vérifiant
∀x∈I g0(x) = 1 + g(x)2et g(0) = 1.
Trouver le DL à l’ordre 3 de gen 0.