Univ. P & M. Curie 2010-2011 LM110 MIME 262 Développements limités Calcul de DL Exercice 1 Donner les développements limités en 0 à l’ordre indiqué des fonctions suivantes. 7. tan x à l’ordre 3. 1. ch x à l’ordre 6. 2. ln(1 + x ) à l’ordre 6. 8. (ex − 1)/ ln(1 + x) à l’ordre 2. 3. x2 sin x à l’ordre 8. 9. esin x à l’ordre 3. 2 10. ln(2 + cos(x)) à l’ordre 3. √ 11. 1 + x sin x à l’ordre 3. p √ 12. 1 + 1 + x à l’ordre 2. 4. sin x cos x à l’ordre 5. 2 5. 1/(1 − x + x ) à l’ordre 4. 6. 1/ cos x à l’ordre 4. Exercice 2 Donner les développements limités des fonctions suivantes, au point et à l’ordre indiqués. √ x à l’ordre 3 en 1. 4. sin(x) à l’ordre 4 en π/4. 2. ln x à l’ordre 3 en 2. 5. cos(x) à l’ordre 4 en π/6. 1. 4 2 6. ex à l’ordre 4 en 2. 2 3. x − x + x − x à l’ordre 3 en 1. Exercice 3 1. Donner le DL à l’ordre 2 en π/4 de cos(x), cos2 (x) et cos−2 (x). 2. En déduire le DL à l’ordre 2 en π/4 de tan. 3. En déduire le DL à l’ordre 2 en 0 de x 7→ tan(x + π/4). Application des DL Exercice 4 Calculer les limites des fonctions suivantes aux points indiqués. x 1 − quand x → 1. x − 1 ln x 5. (e − (1 + 1/x)x )1/x quand x → +∞. 1 1 − quand x → 0. x2 sin2 x 2 2. (cos(1/x))x quand x → +∞. x2 − 1 3. x quand x → 1. e −e 1. 4. Exercice 5 On définit f (x) = √ 1 3 + cos x. 1+x 4 1. Donner le développement limité de f à l’ordre 3 au voisinage de 0. 2. En déduire l’équation de la tangente à f en 0. 3. Préciser la position au voisinage de 0 de cette tangente par rapport au graphe de f . Exercice 6 On pose pour x ∈] − π, π[ 1 sin(x) ln . x x f admet-elle un prolongement par continuité en 0 ? Si oui, ce prolongement est-il dérivable en 0 ? Préciser alors la position de la courbe par rapport à sa tangente en 0. f (x) = Exercice 7 √ Étudier la fonction définie par f (x) = x2 + x + 1. On s’intéressera en particulier aux éventuelles asymptotes, et à la position de la courbe par rapport à celles-ci. Remarque : On rappelle les définitions et résultats suivants. – On dit que la droite d’équation y = ax + b est asymptote (en +∞) à la fonction f si lim f (x) − (ax + b) = 0. x→+∞ – Pour voir si une courbe a une symptote, on calcule f (x) . x→+∞ x lim – Si cette limite n’existe pas, on n’a rien à dire. – Si cette limite est ±∞, on dit que la fonction a une branche parabolique (en +∞) d’axe (Oy) (l’axe des ordonnées). – Si cette limite est a ∈ R, on calcule lim f (x) − ax. x→+∞ Si cette limite existe et est finie, on la note b, et alors la droite d’équation y = ax + b est asymptote à f en +∞. Sinon, on dit que la fonction a une branche parabolique de direction la droite d’équation y = ax. Exercice 8 On définit f : R → R par 1. 2. 3. 4. x3 + x2 + 2x f (x) = 3 2 exp(x3 + x) − 2 si x < 0 si x ≥ 0. Montrer que f est continue sur R, puis qu’elle est dérivable sur R. Donner un DL de f à l’ordre 2 à droite en 0, puis à gauche en 0. En déduire que f a un DL à l’ordre 2 en 0. Préciser la position au voisinage de 0 du graphe de f par rapport à sa tangente en 0. Exercice 9 On considère la fonction f définie par f (x) = cos x − 1 + x2 /2 . ln(1 + x4 ) 1. Donner son domaine de définition. 2. Montrer que la fonction a une limite ` quand x tend vers 0. On prolonge donc f par continuité en posant f (0) = `. 3. Montrer que f est dérivable en 0 et calculer f 0 (0). Exercice 10 On considère la fonction g, définie par g(x) = √ 2 − √ x − 2 ln x − 1 2 x − 2 ln x − 1 si 0 < x < 1 si x ≥ 1. Montrer que g est dérivable en 1. Exercice de recherche Soit I un intervalle ouvert de R contenant 0, et soit g une fonction trois fois dérivable sur I, vérifiant ∀x ∈ I g 0 (x) = 1 + g(x)2 Trouver le DL à l’ordre 3 de g en 0. et g(0) = 1.