Chapitre 3 : Dérivation.

Chapitre 3 : Dérivation.
I-
Nombre dérivé, tangente.
Définition : Soit f une fonction et a un réel appartenant à l’ensemble de
définition de f .
 Le taux d’accroissement de f entre a et a + h est le rapport
t(h) =
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
(a +h) ∈ Df

La fonction f est dérivable en a lorsque le taux d’accroissement t(h)
admet comme limite un nombre réel quand h tend vers 0.
Ce nombre, noté f ’(a) ,est appelé nombre dérivé de f en a.
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
f ‘(a) = lim
.
ℎ
ℎ→0
Exemple 1 :
Montrer que la fonction carrée f est dérivable en 2 et que f ’(2) = 4.
∀ h ∈ ℝ*
𝑓(2+ℎ)−𝑓(2)
ℎ
D’où lim
ℎ→0
f ‘(2) = 4
=
(2+ℎ)2 −22 4+4ℎ+ℎ2 −4
ℎ
𝑓 (2+ℎ)−𝑓(2)
ℎ
=
ℎ
= 4+h
= 4 et donc la fonction carrée f est dérivable en 2 et
Définition rigoureuse: Si f est dérivable en a, on appelle tangente à Cf au
point A(a ;f(a)) la droite passant par A et de coefficient directeur f ‘(a).
L’équation réduite de la tangente à Cf en A est :
y = 𝑓 ′ (𝑎) × (𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎)
Approche historique : ( la tangente est "presque" Cf au voisinage…)
f ‘(a) est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point A(a ;f(a))
II -
Fonction dérivée.
Exemple 1(suite) : Reprenons la fonction carrée f
(∀ h∈ ℝ*)
A)
Un exemple.
𝑓(2+ℎ)−𝑓(2)
Le réel
est le coefficient directeur de la sécante passant par
ℎ
A(2 ;f(2)) et par M(2+h ;f(2+h))
Sa limite, quand h tend vers 0 est le coefficient directeur de la tangente à
Cf en A.
f'‘(2) est le coefficient directeur de la tangente à Cf en A (2 ;f(2).
Exemple 1 : Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x2
On a vu que f ‘(2) = 4.
Essayons de compléter le tableau de valeurs
x
-2
-1
0
1
f ’(x)
2
4
3
4
Avec des considérations graphiques, compléter quelques valeurs.
(geogebra fonction carrée)
Rappelons que :
f ‘(a) est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point A(a ;f(a))
c’est-à-dire au point d’abscisse a.
La courbe de la fonction carrée admet une tangente horizontale au point
d’abscisse 0 donc f ‘(0) = 0.
On peut calculer une à une les valeurs mais on peut aussi essayer de savoir
si il y a une formule.
On avait vu :
∀ h ∈ ℝ*
𝑓(2+ℎ)−𝑓(2)
ℎ
D’où lim
ℎ→0
f ‘(2) = 4
=
(2+ℎ)2 −22 4+4ℎ+ℎ2 −4
ℎ
𝑓(2+ℎ)−𝑓(2)
ℎ
=
ℎ
= 4+h
= 4 et donc la fonction carrée f est dérivable en 2 et
Soit x0 un réel, calculer f’(x0)
Exercice : Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x2 – 5x + 7
∀ h ∈ ℝ*
La f° dérivée de f est la fonction f ’ définie sur ℝ par f ‘(x) = 2x -5
𝑓(𝑥0 +ℎ)−𝑓(𝑥0 )
(𝑥0 +ℎ)2 −𝑥02
ℎ
ℎ
D’où lim
ℎ→0
=
𝑓(𝑥0 +ℎ)−𝑓(𝑥0 )
ℎ
=
𝑥02 +2𝑥0 ℎ+ℎ2 −𝑥02
ℎ
1) Placer le point de Cf d’abscisse 1 puis la tangente
à Cf en ce point.
=2𝑥0 +h
Solution : 1°) Le point d’abscisse 1 de Cf a pour ordonnée f(1) =..=2
On place donc le point de coordonnées (1 ;1)
= 2𝑥0
Et donc f ’(𝑥0 )= 2𝑥0
On a donc montrer que :
∀ x0 ∈ ℝ, f ‘(x0) = 2x0
Ou encore : ∀ x ∈ ℝ, f ‘(x) = 2x.
J’utilise la rédaction « ou encore »
quand je redis d’une autre façon la
même chose.
Ici, utiliser x0 ou x n’a aucune
importance.
On peut donc compléter le tableau de valeurs.
x
-2
-1
0
1
f ’(x)
-4
-2
0
2
2
4
3
6
4
8
On voit que l’on vient de définir une nouvelle fonction appelé fonction
dérivée de f et notée f ‘.
La tangente à Cf au point d’abscisse 1 a pour coefficient
directeur f ‘(1) = 2×1 – 5 = -3.
On trace donc la droite passant par le point de coordonnées (1 ;1) avec un
coefficient directeur 2.
(Localement au voisinage du point en bleu plus des pointillés jusqu’au
2ème point de la tangente)
2) De même pour les points
d’abscisse -1 ;0 ;2 ;3 ;4
3) Tracer la courbe de f.
4) Vrai/ faux. Le minimum
de f est 1 atteint
pour x = 2 et x = 3
Ici la fonction f ‘ est définie sur ℝ par f ’(x) = 2x.
Remarque : la fonction dérivée f ‘ dépend de la fonction f.
Questionnement et remarques.
Que peut-on dire de la fonction dérivée pour la valeur de x pour laquelle la
fonction f admet un extrémum (mini ou maxi) ?
Peut-on dire des choses en plus ?
On peut voir sur cet exemple que la dérivée de la fonction f nous permet
de deviner que 1 n’est pas le minimum de la fonction f.
B)
Remarque : Ce théorème reste vrai si f ‘ s’annule pour un nombre fini de
valeurs de x.
Intérêt.
Exemple d’introduction : Soit f la fonction dont la courbe est donnée cicontre.
1) Signe de f
2) Variation de f
Ex. 2: Tableau de variation de f :
x -3
-2
0
1
f ’(x)
+ 0 + 0 + 0
2
- 0
-
5
0
6
+
f(x)
Y a-t-il un lien
entre ces deux
tableaux ?
On pourra construire une courbe possible de f
3) Résoudre f ‘(x) = 0
On cherche les valeurs de x tel que f ‘(x) = 0 i.e. tel que le coefficient
directeur de la tangente à Cf au point d’abscisse x soit nul ( tangente
horizontale)
4) Dresser le tableau de signe de f ‘
C)
Définition d’une fonction dérivée ; calcul d’une fonction dérivée.
Définition : On dit que la fonction f est dérivable sur un intervalle I
lorsqu’elle est dérivable pour tout réel a de I.
La fonction qui, à tout réel x de I, associe le nombre dérivé de f en x, est
appelée fonction dérivée de f et est notée f ‘.
Y a-t-il un lien avec un tableau précédent ?
Fichier Tableau des dérivées :♥ (à connaître par cœur)
Théorème (admis): Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
 Si pour tout x de I, f ’(x) > 0, alors f est strictement croissante sur I.
 Si pour tout x de I, f ’(x) < 0, alors f est strictement décroissante sur
I.
 Si pour tout x de I, f ’(x) = 0, alors f est constante sur I.
f(x)
5
0
6
-
Dans chacun des cas suivants, donner l’expression de la dérivée de f sur I
quand f est définie sur I par.
a) f(x) = 3x +5
Ex 1: Donner les variations de la fonction f
Tableau de variation de f :
x -3
-1
2
f ’(x)
+ 0 - 0 +
Exemples de fonctions dérivées :
I=ℝ
Méthode: ♥ Si la fonction est une fonction de référence, on utilise le
premier tableau.
La fonction f est une fonction affine donc est dérivable sur ℝ(Intervalle de
validité) et : pour x réel, f ‘(x) = 3
Règle 2
I=ℝ
b) f(x) = x2
La fonction f est dérivable sur ℝ et : pour x réel, f ’(x) = 2x
c) f(x) = x3
f) f(x) =
d) f(x) = x5
1
x2
g) f(x) =
i) f(x) = x4 + 3x
(3)
1
x
o) f(x) =
1
x
h) f(x) = 5x4
I=ℝ
somme de fonctions dérivables sur ℝ
et pour x réel : f ’(x) = 4x3 +3
k) f(x) = 6x5 + 4x3 + 2x2 + 3x +1
n) f(x) = (5x2 + 4) (8x3 + 2)
p) f(x) =
La fonction f est dérivable sur ℝ comme
1
x
m) f(x) = 3x4 – 6x2


x 1
e) f(x) = x
Méthode: Lorsque la fonction n’est pas une fonction de référence, on
décompose la fonction en utilisant le deuxième tableau.
Au brouillon, on reconnaît la forme de f
f(x) = u(x) + v(x) avec
u+v
u’ + v’
u(x)  x 4 et u' (x)  4x 3

v( x)  3x et v' (x)  3
x4 + 3x 4x3 +3
j) f(x) = x2 +
l) f(x) = 2x5 + 6 x3 + 7x2 + 5
I = ℝ*
I=ℝ
Remarquons que la dérivée d’un somme est la somme des dérivées :
La fonction f est un polynôme (somme de monôme axn) dérivable sur ℝ
et : pour x réel,
On dérive
5-1
3-1
2-1
chaque
f ’(x) = 6 ×5x + 4×3x + 2×2x + 3
f ‘(x) = 30 x4 + 12x2 + 4x + 3
monôme
sur ℝ+*
f’(x) = 
q) f(x) =
4x
8 x  3x
définie sur ]0 ; + [
r) f(x) =
2
x
sur ℝ*
2
Démonstration de : (uv)’ = u’v + uv’
p 63.
1
2x x
5
III - Etude des variations d’une fonction.
Méthode : Pour étudier les variations d’une fonction dérivable,

On calcule la dérivée de f

On étudie le signe de f ’

On en déduit les variations de f
Tracé de la courbe.
Rq : Placer les points et les tangentes déjà
obtenus puis obtenir avec la calculatrice
quelques points supplémentaires
Exemple 1 : Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x3 –3x +2
Etudier les variations de f
1) Dérivée de f :
f est une fonction polynôme dérivable sur ℝ et :
Pour tout x réel,
f ‘(x) = 3x2 –3
2) Signe de f ‘
Pour tout x réel,
f ‘(x) = 3(x2 -1)
f ’(x) = 3(x +1)(x –1)
Tableau de signe de f ‘:
…
3 )On en déduit le tableau de variation de f :
x -
-1
1
+
f ‘(x)
+ 0
0
+
4
?
f(x) ?
0
Exemple 2 : Soit g la fonction définie par : g(x) = x3
Etudier les variations de g.
…