Fonctions trigonométriques - ambition
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LFA/TerminaleS exercicesmathématiques Fonctions TerminaleS Ch.8 MmeMAINGUY trigonométriques →FICHED'EXERCICES Exercice1 ´Indiquersilesaffirmationssuivantessontvraiesoufausses.Justifierlesréponses. 1) Si une fonction h dérivable sur ! a pour période 2π , alors sa fonction dérivée h′ a aussi pour période 2π . 2) Si une fonction k dérivable sur ! est paire, alors sa dérivée k ′ est paire. () ( ) 3) Les fonctions f et g définies sur ! par f x = cos 2x et g ( x ) = 2 cos2 x ont la même dérivée. π 2kπ 5π 2 k ′π x + + sont : 0 ou ou 18 3 18 3 2 5) L'origine du repère est un centre de symétrie pour la courbe d'équation y = cos x sin x . () () 4) Si f x = x sin 3x alors les solutions de f x = ( k , k ′ entiers relatifs). Exercice2 () ( ) Soit f lafonctiondéfiniesur ! par f x = cos 2x − 7cos x − 3 . 1) Exprimer f en fonction de cos x seulement. 2) Donner une expression factorisée de f ( x ) . 3) Déterminer l'abscisse des points d'intersection de Cf avec l'axe des abscisses. Exercice3 Onveutétudierl'existenceetlenombred'extrémumdelafonction f définiesur ! par f ( x ) = x2 − 2sin x . Pourcela,onétudied'abordlafonction f ′ dérivéede f sur ! . 1) Étude de f ′ : () ( ) a / Vérifier que f ′ x = 2 x − cos x et étudier les variations de f ′ sur ! . b / Préciser les limites de f ′ en −∞ et en +∞ . 2) Montrer que l'équation f ′ ( x ) = 0 admet une et une seule solution dans ! , notée α . Déterminer une valeur approchée de α à 10−1 près. 3) Donner le signe de f ′ sur ! . En déduire le tableau de variations de f et justifier l'existence d'un seul minimum m pour f . 4) Montrer que m vérifie m = α 2 − 2 1− α 2 LFA/TerminaleS exercicesmathématiques MmeMAINGUY Exercice4 Ondéfinitunefonction f sur ! par f ( x ) = 1 + sin ( 2x ) + 2cos ( x ) . 1) Préciser en justifiant, la période de f . 2) Montrer que le point de la courbe de f d'abscisse π 2 est un centre de symétrie. Sur quel intervalle va-t-on étudier f ? 3) Calculer f ′ et prouver que pour tout réel x , . En déduire les variations de f . ⎡ π 3π ⎤ 4) Donner le sens de variation de la fonction g définie sur ⎢ − ; ⎥ par g ( x ) = 2x − cos ( 2x ) + 4sin x . ⎣ 2 2 ⎦ On justifiera soigneusement. Exercice5 Lafonctiontangenteestdéfiniepar tan ( x ) = sin x . cos x 1) Étudier la parité et la périodicité de f . En déduire que l'on peut réduire le domaine d'étude. 2) Montrer que la fonction tangente a pour dérivée tan' ( x ) = 1 + tan 2 x sur son domaine de définition. ⎤ π π⎡ 3) Dresser le tableau de variation complet de la fonction tangente sur ⎥ − ; ⎢ . ⎦ 2 2⎣ Exercice6 Soit C lacourbereprésentativedelafonctionsinusetsoit T satangenteen 0 . ÊMontrerquepourtoutréel x ≥ 0 , C esttoujoursen-dessousde T .
