Fonctions trigonométriques - ambition

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LFA/TerminaleS
exercicesmathématiques
Fonctions
TerminaleS
Ch.8
MmeMAINGUY
trigonométriques
→FICHED'EXERCICES
Exercice1
´Indiquersilesaffirmationssuivantessontvraiesoufausses.Justifierlesréponses.
1) Si une fonction h dérivable sur ! a pour période 2π , alors sa fonction dérivée h′ a aussi pour période 2π .
2) Si une fonction k dérivable sur ! est paire, alors sa dérivée k ′ est paire.
()
( )
3) Les fonctions f et g définies sur ! par f x = cos 2x et g ( x ) = 2 cos2 x ont la même dérivée.
π 2kπ
5π 2 k ′π
x
+
+
sont : 0 ou
ou
18
3
18
3
2
5) L'origine du repère est un centre de symétrie pour la courbe d'équation y = cos x sin x .
()
()
4) Si f x = x sin 3x alors les solutions de f x =
( k , k ′ entiers relatifs).
Exercice2
()
( )
Soit f lafonctiondéfiniesur ! par f x = cos 2x − 7cos x − 3 .
1) Exprimer f en fonction de cos x seulement.
2) Donner une expression factorisée de f ( x ) .
3) Déterminer l'abscisse des points d'intersection de Cf avec l'axe des abscisses.
Exercice3
Onveutétudierl'existenceetlenombred'extrémumdelafonction f définiesur ! par f ( x ) = x2 − 2sin x .
Pourcela,onétudied'abordlafonction f ′ dérivéede f sur ! .
1) Étude de f ′ :
() (
)
a / Vérifier que f ′ x = 2 x − cos x et étudier les variations de f ′ sur ! .
b / Préciser les limites de f ′ en −∞ et en +∞ .
2) Montrer que l'équation f ′ ( x ) = 0 admet une et une seule solution dans ! , notée α . Déterminer une valeur approchée
de α à 10−1 près.
3) Donner le signe de f ′ sur ! . En déduire le tableau de variations de f et justifier l'existence d'un seul minimum m
pour f .
4) Montrer que m vérifie m = α 2 − 2 1− α 2
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Exercice4
Ondéfinitunefonction f sur ! par f ( x ) = 1 + sin ( 2x ) + 2cos ( x ) .
1) Préciser en justifiant, la période de f .
2) Montrer que le point de la courbe de f d'abscisse π
2
est un centre de symétrie.
Sur quel intervalle va-t-on étudier f ?
3) Calculer f ′ et prouver que pour tout réel x , . En déduire les variations de f .
⎡ π 3π ⎤
4) Donner le sens de variation de la fonction g définie sur ⎢ − ; ⎥ par g ( x ) = 2x − cos ( 2x ) + 4sin x .
⎣ 2 2 ⎦
On justifiera soigneusement.
Exercice5
Lafonctiontangenteestdéfiniepar tan ( x ) =
sin x
.
cos x
1) Étudier la parité et la périodicité de f . En déduire que l'on peut réduire le domaine d'étude.
2) Montrer que la fonction tangente a pour dérivée tan' ( x ) = 1 + tan 2 x sur son domaine de définition.
⎤ π π⎡
3) Dresser le tableau de variation complet de la fonction tangente sur ⎥ − ; ⎢ .
⎦ 2 2⎣
Exercice6
Soit C lacourbereprésentativedelafonctionsinusetsoit T satangenteen 0 .
ÊMontrerquepourtoutréel x ≥ 0 , C esttoujoursen-dessousde T .
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