Fonctions trigonométriques - ambition

LFA$/$Terminale$S$exercices$mathématiques$Mme$MAINGUY$
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!
Exercice$1! !
´!Indiquer!si!les!affirmations!suivantes!sont!vraies!ou!fausses.!Justifier$les$réponses.!
!
1") Si une fonction
h
dérivable sur
!
a pour période
2 π
, alors sa fonction dérivée
h′
a aussi pour période
2 π
.
2") Si une fonction
k
dérivable sur
!
est paire, alors sa dérivée
k′
est paire.
3") Les fonctions
f
et
g
définies sur
!
par
f x
( )
=cos 2x
( )
et
( )
cos2 2gx x=
ont la même dérivée.
4") Si
f x
( )
=xsin 3x
alors les solutions de
f x
( )
=x
2
sont : 0 ou
π
18
+2k
π
3
ou
5 π
18
+2′
k π
3
(
k,′
k
entiers relatifs).
5") L'origine du repère est un centre de symétrie pour la courbe d'équation
cos sinyxx=
.
!
!
!
Exercice$2$ $
Soit!
f
!la!fonction!définie!sur!
!
!!par!
f x
( )
=cos 2x
( )
−7 cos x−3
!.!
1") Exprimer
f
en fonction de
cos x
seulement.
2") Donner une expression factorisée de
( )
fx
.
3") Déterminer l'abscisse des points d'intersection de
Cf
avec l'axe des abscisses.
!
!
!
Exercice$3$ $
On!veut!étudier!l'existence!et!le!nombre!d'extrémum!de!la!fonction!
f
!définie!sur!
!
!par!
( )
22sinfx x x=−
.!
Pour!cela,!on!étudie!d'abord!la!fonction!
f′
!dérivée!de!
f
!sur!
!
.!
1") Étude de
f′
:
a / Vérifier que
′
f x
( )
=2x−cos x
( )
et étudier les variations de
f′
sur
!
.
b / Préciser les limites de
f′
en
−∞
et en
+∞
.
2") Montrer que l'équation
( )
0fx
′=
admet une et une seule solution dans
!
, notée
α
. Déterminer une valeur approchée
de
α
à
1
10−
près.
3") Donner le signe de
f′
sur
!
. En déduire le tableau de variations de
f
et justifier l'existence d'un seul minimum
m
pour
f
.
4") Montrer que
m
vérifie
m=
α
2−2 1−
α
2
!
!
!
Terminale$S$
Fonctions
trigonométriques
→FICHE$D'EXERCICES
Ch.8$

LFA$/$Terminale$S$exercices$mathématiques$Mme$MAINGUY$
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!
Exercice$4$ $
On!définit!une!fonction!
f
!sur!
!
!par!
( ) ( ) ( )
1sin2 2cosfx x x=+ +
.!
1") Préciser en justifiant, la période de
f
.
2") Montrer que le point de la courbe de
f
d'abscisse
2
π
est un centre de symétrie.
Sur quel intervalle va-t-on étudier
f
?
3") Calculer
f′
et prouver que pour tout réel
x
, . En déduire les variations de
f
.
4") Donner le sens de variation de la fonction
g
définie sur
3
;
22
ππ
⎡⎤
−
⎢⎥
⎣⎦
par
( ) ( )
2cos2 4singx x x x=−+
.
On justifiera soigneusement.
!
!
Exercice$5$ $
La!fonction!tangente!est!définie!par!
( )
sin
tan
cos
x
x
x
=
!.!
1") Étudier la parité et la périodicité de
f
. En déduire que l'on peut réduire le domaine d'étude.
2") Montrer que la fonction tangente a pour dérivée
( )
2
tan' 1 tanxx=+
sur son domaine de définition.
3") Dresser le tableau de variation complet de la fonction tangente sur
;
22
ππ
⎤⎡
−
⎥⎢
⎦⎣
.
!
!
Exercice$6$ $
Soit!
C
!la!courbe!représentative!de!la!fonction!sinus!et!soit!
T
!!sa!tangente!en!
0
!.!
Ê!Montrer!que!pour!tout!réel!
0x≥
!,!
C
!!est!toujours!en-dessous!de!
T
!.!
!
!
!