1S4-DS8

Devoir surveillé de mathématiques n°8
1ère S
Exercice 3 :
Exercice 1 :
Partie A :
Une coopérative laitière a relevé la masse de
ses vaches laitières (arrondie à 50 kg près). On
donne le diagramme ci contre rendant compte
des résultats de ces mesures (en abscisse : les
poids en kg; en ordonnée : les effectifs).
x – x2
x1
a- Déterminer le domaine de définition de f
– x 2 – 2 x1
b- montrer que f '  x=
2
 x1
c- Déterminer les variations de f sur cet ensemble (donner les résultats dans un
tableau de variations SANS DONNER LES VALEURS DES EXTREMUMS
LOCAUX; pour la question suivante, on admettra que le maximum local de f est
positif.)
1°) Soit f la fonction définie par f x =
Calculer la médiane et les quartiles de cette
série (justifier)
Partie B:
La coopérative laitière fabrique un fromage qui doit contenir , selon les étiquettes, 50
% de matière grasse. Un organisme dont le rôle est de contrôler la qualité des
produits prélève 100 fromages afin d'en analyser leur taux de matière grasse. Les
résultats de l'analyse sont les suivants :
Taux (en %) [42;45[
[45;48[
[48;50[
[50;52[
[52;55[
Effectif
12
24
36
24
2°) ABCD est un carré de côté 1 .
E est un point de la demi droite [DA)
n'appartenant pas au segment [DA].
F est le point appartenant au segment
[DC] et vérifiant AE=CF.
Le point d'intersection des droites (AB) et
(EF) est noté I.
4
On note AE=CF=x.
1°) Calculer la moyenne x et l'écart type  de cette série (faire figurer les calculs
sur votre copie,donner la valeur de  arrondie à 10– 2 près)
2°) Une production de fromage peut-être vendue sous l'appellation « 50 % de matière
grasse » si les deux conditions suivantes sont remplies :
- 50 est dans l'intervalle [ x -2 ; x + 2 ]
- au moins 80 % des fromages analysés sont dans l'intervalle [ x -2 ; x + 2 ]
La production de la coopérative étudiée satisfait-elle à l'appellation ?
Exercice 2 : On considère la fonction f définie sur ℝ par f  x =x 3 – 3 x2
1°) a- Étudier les variations de la fonction f , et dresser son tableau de variation
complet (extremums locaux inclus)
b- Déterminer un encadrement précis de f sur [-2;2] puis sur [0;4].
2°) On considère le point A de C f d'abscisse a.
a- Exprimer en fonction de a l'équation de la tangente à C f en A.(sous forme
développée et réduite). On note T A cette tangente.
b- Soit M le point de coordonnées (2;0). Déterminer la ou les valeurs de a pour
lesquelles la tangente T A passe par M.
x – x2
.
x1
b- En déduire la position du point E
pour que la distance AI soit maximale.
a- Démontrer que AI =
Exercice 4 :
On considère la fonction f définie par f  x =x2 cos x 
1°) Déterminer les variations de la fonction f sur [ – ;  ]
2°) En déduire le plus petit des majorant entiers et le plus grand des minorants entiers
de f sur [ – ; ]
Correction du DS n°8
1ère S
Exercice 1 :
Partie A :
Le plus simple est de faire un tableau avec les effectifs cumulés croissants :
Exercice 2 : On considère la fonction f définie sur ℝ par f x =x 3 – 3 x2
1°) a- f est dérivable comme somme de fonctions dérivables.
f '  x=3 x 2−3×2 x=3 x 2 −6 x=x  3 x – 6
Masse
650
700
750
800
850
x
Effectifs
30
45
50
15
10
x
-
3x-6
-
x(3x–6)
+
Eff Cum Cr 30
75
125
140
150
Il y a un total de 150 vaches.
150
=75 La médiane est la moyenne entre les valeurs de rang 75 et 76, soit

2
700750
=725 kg
2
150
=37,5 le quartile 1 est la 38 ième valeur, soit 700 kg
4
 0,75×150=112,5 le quartile 3 est la 113ième valeur soit 750 kg

–∞
0
0
0
2
+
+∞
+
-
0
+
–
0
+
0
f(x)
-4
b- f – 1=– 23 – 3× – 22 =– 20
– 20 f  x0
Donc sur [-2;2] ,
f  4=4 3 – 3×4 2 =16
−4 f  x16
Donc sur [0;4]
Partie B:
Taux (en %) [42;45[
[45;48[
[48;50[
[50;52[
[52;55[
Effectif
24
36
24
4
12
12×43,524×46,536×4924×514×53,5
=48,4
100
La moyenne est de 48,4 % de matière grasse.
1°) x=
V=
12× 43,5– 48,42 24×46,5 – 48,42 36× 49 – 48,42 24×51 – 48,42 4×52,5 – 48,42
100
V = 6,54
=  V ≈ 2,56 %
2°) [ x -2 ; x + 2 ] ≈ [43,28;53,52]
50 appartient à cet intervalle.
L'intervalle [45;52[ est inclus dans [ x -2 ; x + 2 ] et il contient
24+36+24=84 formages sur 100 .
Donc la production de la coopérative étudiée satisfait à l'appellation .
2°) On considère le point A de C f d'abscisse a.
a- L'équation de la tangente est y= f ' a x – a  f  a soit :
y=3 a 2−6 a x – a a 3 – 3 a 2
⇔ y=3 a 2 x – 3 a 3 −6 ax6 a 2a 3 – 3 a 2
⇔ y=3 a 2 – 6 a  x – 2 a3 3 a 2
b- M appartient à la tangente donc ses coordonnées vérifient l'équation de la
tangente :
0=3 a 2 – 6 a ×2 – 2 a 3 3 a 2 ⇔ ⇔ – 2 a 39 a 2 – 12 a=0
⇔ a  – 2 a 29 a – 12=0 ⇔ a=0 ou – 2 a 29 a – 12=0
On calcule les racines du trinôme : =92 – 4× – 2× – 120 donc pas de
racine.
Il n'y a que pour a=0 que la tangente à la courbe passe par M.
Les coordonnées du point cherché sont (0;0)
Exercice 3 :
1°) a- une seule contrainte : le dénominateur doit être non nul.
Donc = D f ℝ-{-1}
b- On ne considère que la partie du tableau précédent pour les valeurs de x
positives (car x est une longueur) . On en déduit que AI sera maximale pour
x= 2 – 1 .
b- f est dérivable comme quotient de fonctions dérivables
Exercice 4 :
On considère la fonction f définie par f  x =x2 cos x 
1°) f est dérivable comme somme de fonctions dérivables
f ' x=12× – sin x=1 – 2 sin  x
u '  x=1 – 2 x
u  x =x – x 2
v  x= x1
v '  x =1
u
u' v – v ' u
'=
v
v2
2
1 – 2 x  x1 – 1× x− x 
– x 2 – 2 x1
f '  x=
= ... =
 x12
 x12

Pour déterminer le signe du trinôme au numérateur, il faut calculer ses racines :
On doit résoudre f '  x0 ⇔ 1 – 2 sin  x 0 ⇔ – 2 sin x – 1 ⇔

1
5
sin  x ceci est vrai si x ∈ – ;
;
∪[
6
6
2
[
[
]
]
2
= – 2 – 4×– 1×1=8 donc deux racines :
8 2– 22
– b– 
x 1=
=2 –  =
= 2 – 1
2a
–2
–2
x 2== 21
Cela donne :
x
On a alors :
f '(x)
–
∞
x
2
– x – 2 x1
2
– 2– 1
-
 x1
+
–x^2–2x+1
–
0
0
2 – 1
–1
+
+
+
+
+
+
0
On utilise
⇔ AI =
EA AI
x
AI
=
=
⇔
ED DF
x1 1−x
x 1 – x 
x – x2
AI
=
⇔
.
x1
x1
– 2 –
5
6
-
0

+
– 2
5

– 3
6
+
0
–
2°) a- On sait que (AD) et (FI) sont sécantes en E, et que (AI) est parallèle à
EA EI
AI
=
=
ED EF DF
0

 3
6
f(x)
f(x)
(DF).Donc d'après le théorème de Thalès :
+
+∞
-

6
–
2°)
– 2 –  ≈ -5,14

  3 ≈2,25
6
En déduire le plus petit des majorant entiers et 3, le plus grand des minorants entiers
est -6