Equations et inéquations

ω et φ sont
des réels
constants
Dérivation
On a étudié en classe de première la notion de nombre dérivé :
Si une fonction f est "dérivable" en un réel a et a pour représentation graphique Cf, le nombre dérivé de f en
a, noté f '(a), est égale à la limite de l'expression
h)f(h)f( aa 
lorsque h tend vers 0.
On retiendra que f '(a) est également le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d'abscisse a.
I) Dérivées de fonctions usuelles – Rappels
On résume les dérivées des fonctions usuelles par un tableau :
Fonction f
Fonction dérivée f '
Sur ℝ
x
k (k est une constante)
x
0
Sur ℝ
x
x n (n entier naturel non nul)
x
n x n – 1
Sur ℝ*
x
x
1
x
2
x
1
Sur ℝ+*
x
x
x
x2
1
Sur ℝ
x
cos x
x
– sin x
Sur ℝ
x
sin x
x
cos x
Sur ℝ
t
cos (ω t + φ)
t
– ω sin (ω t + φ)
Sur ℝ
t
sin (ω t + φ)
t
ω cos (ω t + φ)
II) Dérivées de sommes, produits, quotients de fonctions – Rappels
Propriété : Soient f, u et v trois fonctions définies et dérivables sur un intervalle I.
 SI f = u + v. ALORS f '= u' + v'.
 SI f = u  v. ALORS f '= u'  v + u  v'.
 SI f =
v
u
. ALORS f '=
2
v'vuvu '
.
Exemple : Soit f une fonction telle que :  x  ]1 ; +∞[, f(x) =
2x2 xx2
.
Donc f '(x) =
2
2
22x2
2xx22x12x
vu.v'u'.v
=
2
2
2
22
2x2 2x42x 2x2 x22x2x24x
Remarque : On tentera de factoriser cette dernière dérivée de manière à pouvoir étudier son signe.
III) Autres formules de dérivation
Propriété : Soient f, u et v trois fonctions définies et dérivables sur un intervalle I.
Soit k un réel constant et soit n un entier naturel constant.
 SI f = k  u. ALORS f '= k  u'.
 SI f =
u
1
. ALORS f '=
2
u
u'
.
 SI f = u o v ( c'est-à-dire f(x) = u(v(x)) ). ALORS f '= v'  (u' o v).
( c'est-à-dire f '(x) = v'(x)  u'(v(x)) )
 SI f = u n. ALORS f '= n  u'  u n–1.
v(x) doit appartenir à I

Exemples :  Soit f une fonction telle que :  x  ]0 ; +∞[, f(x) = cos
x
.
On a f = u o v avec u(x) = cos x et v(x) =
x
. De plus, u'(x) = – sin x et v'(x) =
x21
.
Donc f '(x) = v'(x)  u'(v(x)) =
x21
 (– sin
x
).
 Soit f une fonction telle que :  x  ℝ, f(x) = (5 x 2 – 2x + 1) 5.
On a f = u 5 avec u(x) = 5 x 2 – 2x + 1. De plus, u'(x) = 10 x – 2.
Donc f '(x) = 5  u'(x)  (u(x)) 4 = 5  (10 x – 2)  (5 x 2 – 2x + 1) 4 .
IV) Tangente
Formule : Soit f une fonction définie et dérivable en un nombre réel a donné.
La tangente à la courbe représentative de f en a a pour équation :
y = f '(a) (x – a) + f(a).
Exemple : On cherche l'équation de la tangente à la courbe de la fonction f : x (5 x 2 – 2x + 1) 5 en 1.
On a : f(1) = (5  1 2 – 2  1 + 1) 5 = 4 5 = 1024 et f '(1) = 5  (10  1 – 2)  4 4 = 10240.
Cette tangente a donc pour équation : y = 10240  (x – 1) + 1024 = 10240 x – 9216.