Equations et inéquations

Dérivation
On a étudié en classe de première la notion de nombre dérivé :
Si une fonction f est "dérivable" en un réel a et a pour représentation graphique Cf, le nombre dérivé de f en
f( a  h)  f( a)
a, noté f '(a), est égale à la limite de l'expression
lorsque h tend vers 0.
h
On retiendra que f '(a) est également le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d'abscisse a.
I) Dérivées de fonctions usuelles – Rappels
On résume les dérivées des fonctions usuelles par un tableau :
Fonction f
Sur ℝ
Sur ℝ
Sur ℝ*
Fonction dérivée f '
x  k (k est une constante)
x xn
(n entier naturel non nul)
x
1
x
x 0
x n xn–1
x 
1
x2
1
Sur ℝ+*
x x
x
Sur ℝ
x  cos x
x  – sin x
Sur ℝ
x  sin x
x  cos x
Sur ℝ
t  cos (ω t + φ)
t  – ω sin (ω t + φ)
Sur ℝ
t  sin (ω t + φ)
t  ω cos (ω t + φ)
2 x
ω et φ sont
des réels
constants
II) Dérivées de sommes, produits, quotients de fonctions – Rappels
Propriété : Soient f, u et v trois fonctions définies et dérivables sur un intervalle I.
 SI f = u + v.
ALORS
f '= u' + v'.
 SI f = u  v.
ALORS
f '= u'  v + u  v'.
u'  v  u  v '
u
 SI f = .
ALORS
f '=
.
v
v2
x2  x
Exemple : Soit f une fonction telle que :  x  ]1 ; +∞[, f(x) =
.
2x  2
2
u'.v  u.v' 2x  12x  2  x  x  2 4x 2  2x  2  2x 2  2x 2x 2  4x  2


Donc f '(x) =
=
v2
2x  22
2x  22
2x  22


Remarque : On tentera de factoriser cette dernière dérivée de manière à pouvoir étudier son signe.
III) Autres formules de dérivation
Propriété : Soient f, u et v trois fonctions définies et dérivables sur un intervalle I.
Soit k un réel constant et soit n un entier naturel constant.
 SI f = k  u.
ALORS
f '= k  u'.
u'
1
 SI f = .
ALORS
f '=  2 .
u
u
 SI f = u o v ( c'est-à-dire f(x) = u(v(x)) ).
ALORS
f '= v'  (u' o v).
v(x) doit appartenir à I
( c'est-à-dire f '(x) = v'(x)  u'(v(x)) )
n
n–1
 SI f = u .
ALORS
f '= n  u'  u .
Exemples :  Soit f une fonction telle que :  x  ]0 ; +∞[, f(x) = cos
On a f = u o v avec u(x) = cos x et v(x) =
Donc f '(x) = v'(x)  u'(v(x)) =
1
2 x
 x .
x . De plus, u'(x) = – sin x et v'(x) =
 (– sin
 x ).
1
.
2 x
 Soit f une fonction telle que :  x  ℝ, f(x) = (5 x 2 – 2x + 1) 5.
On a f = u 5 avec u(x) = 5 x 2 – 2x + 1. De plus, u'(x) = 10 x – 2.
Donc f '(x) = 5  u'(x)  (u(x)) 4 = 5  (10 x – 2)  (5 x 2 – 2x + 1) 4 .
IV) Tangente
Formule : Soit f une fonction définie et dérivable en un nombre réel a donné.
La tangente à la courbe représentative de f en a a pour équation :
y = f '(a) (x – a) + f(a).
Exemple : On cherche l'équation de la tangente à la courbe de la fonction f : x  (5 x 2 – 2x + 1) 5 en 1.
On a : f(1) = (5  1 2 – 2  1 + 1) 5 = 4 5 = 1024 et f '(1) = 5  (10  1 – 2)  4 4 = 10240.
Cette tangente a donc pour équation : y = 10240  (x – 1) + 1024 = 10240 x – 9216.