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Sommaire :
I NOMBRE DERIVE D'UNE FONCTION EN UN POINT :
1° Etude d'un exemple
2° Définition du nombre dérivé
3° Equation de la tangente
II FONCTION DERIVEE:
1° Définition
2° Règles de dérivation
3° Tableau des dérivées usuelles
4° Exercice
5° Notation différentielle
I NOMBRE DERIVE D'UNE
FONCTION EN UN POINT
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1° Etude d'un exemple
La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f(x) = x².
Déterminer les coordonnées des points A ( 1 ; 1 ), B ( 3 ; 9 ) , C ( 2 ; 4 ) et D ( 1,5 ; 2,25 ) puis tracer les
droites (A,B), (A,C) et (A,D).
Pour chacun des 3 cas, quel est le coefficient directeur de la droite ?
1 er cas : a = 4
2 ème cas : a = 3
3ème cas : a =
B
6
4
2
C
D
A
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2,5
Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A (1 ; 1 ) ,droite passant par A et
un point M (x ; x² ) le plus proche possible de A
a=
x² - 1
x–1
(x + 1 ( x - 1 )
x–1
D’où a = x + 1 on prend pour x la valeur 1 , l’abscisse la
plus proche de l’abscisse de A d’où a = 2
Conclusion
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe f(x) = x² au point d’abscisse x = 1
est égal à 2, c’est aussi le nombre dérivé.
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2° Définition du nombre dérivé
On appelle nombre dérivé de f en x0, le coefficient directeur a de la tangente à C
au point M0.
Le nombre dérivé est noté f’(x0) avec f’(x0) = a
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3° Equation de la tangente
L’équation de la tangente à la courbe au point M0( x0;y0 ) est :y - y0 = f’(x0) ( x – x0)
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Application : Donner l’équation de la tangente à la courbe f(x) = x² au point A et la
tracer sur le repère précédent.
A ( 1 ; 1 ) et a = f’(1) = 2
y – 1 = 2( x – 1)
y – 1 = 2x - 2
y = 2x – 1 : équation de la tangente au point A
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II FONCTION DERIVEE
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1° Définition
La fonction f’, qui a tout x associe le nombre dérivé de f en x est appelée
fonction dérivée de f .
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2° Règles de dérivation
Si
f=u+v
alors
f' =
u’ + v’
f = 1/u
alors
f' = -u’/u²
f=k×u
alors
f' =
k × u’
f= u/v
alors
f' =
u’ × v – u × v’
v²
f=uv
alors f' =
f=
alors
f' =
u’
u’×v + u × v’
u
2
f = un
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alors f' = n × u’ × u n - 1
u
3° Tableau des dérivées usuelles
f(x)
f’(x)
f(x)
a
0
3
ax + b
a
2x - 6
2
xn
10 x
ax² + bx + c
ax²
2ax
5x²
1/x
-1/x²
2/x
√ax + b
cos( ax +b)
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a /√ax+b
√3x + 5
-a sin(ax+b) cos(5x +4)
f(‘x)
0
-2/x²
3 /√3x+5
-5sin(5x+4)
f(x)
f’(x)
f(x)
f’(x)
ax
a
2x
2
n x n-1
x5
5x4
2ax+ b
2x² + 3x - 5
4x + 3
√x
1/2√x
3 √x
3/2√x
cos x
- sinx
sin x
cos x
sin(ax + b)
a cos(ax+b) sin(2x + 3)
2 cos(2x+3)
4° Exercice
Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe
d’équation f(x) = 2x² +3x - 1 au point d'abscisse x = - 2 ?
Ecrire l'équation de la tangente.
f’(x) =
f’(x) = 4x + 3
a = f’(-2) =
a = f’(-2) = 4 ×(-2) + 3
a=5
Ordonnée du point d’abscisse -2 ; y = f(-2) = 2×(-2)² +3 ×(-2) -1
y=1
y – 1 = 5(x –(-2))
y = 5x + 11
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5) Notation différentielle
df/dx est la notation différentielle de la dérivée à f
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Exemple : L'équation horaire d'un mobile dont le mouvement est rectiligne
uniformément varié est x = f(t)
avec f(t) =1/2 a .t² + v0.t + x0 .
La vitesse est la dérivée de cette fonction par rapport au temps
v = df/dt =
L'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps
dv/dt =
a étant l'accélération v0 la vitesse initiale x0 l'abscisse initiale .
On dit aussi que l'accélération est la dérivée seconde de l'équation horaire par
rapport au temps a = d²x/dt²
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