Mathématiques pour physiciens

Mathématiques pour physiciens - Ecole Européenne
Ecole Européenne de Francfort Page 1
NOMBRE DERIVE, DERIVEE ET TANGENTE
I) Nombre dérivé :
1) Taux de variation d'une fonction :
a) Aspect analytique :
Soit f(x) une fonction de la variable réelle x, définie et continue sur un intervalle I.
Le taux de variation (ou taux d'accroissement) de f(x) entre les valeurs x = a et x = b de
l'intervalle I est le quotient : τ =
a
b)a(f)b(f −
−
b) Aspect géométrique :
Soit (C) la courbe représentative de la fonction y = f(x) dans un système d'axes
orthogonaux, Ox et Oy.
On considère la droite (D) passant par les points M et N de coordonnées :
M [xM = a, yM = f(a)] et N [xN = b, yN = f(b)]
La pente (coefficient directeur) de la droite (D) a pour valeur :
τ(D) =
ab )a(f)b
(f −
−
c) Conclusion :
La pente de la sécante (D) passant par deux points, M d'abscisse a, et N d'abscisse b,
appartenant à la courbe représentative (C) d'une fonction y = f(x) est égale au taux de
variation de la fonction f(x) entre les valeurs a et b de x prisent sur un intervalle I où la
fonction est définie et continue.
2) Nombre dérivé :
a) Aspect analytique :
Soit f(x) une fonction de la variable réelle x, définie et continue sur un intervalle fermé I.
Le nombre dérivé de f(x) pour x = a est la limite, si elle existe, du taux de variation de f(x)
entre a et a+h lorsque h tend vers 0.
On le note f'(a) : f'(a) =
)a()ha( )a(f)ha(f
lim
0h
−+
−+
→
=
h)a(f)ha(f
lim0h
−+
→
b) Aspect géométrique :
Soit (C) la courbe représentative de la
fonction y = f(x) dans un système d'axes
orthogonaux, Ox et Oy.
On considère la droite (D) passant par les
points M et N de coordonnées :
M [xM = a, yM = f(a)] et N [xN = a +h , yN = f(a + h)]
Lorsque h → 0, le point N se rapproche du
point M (N → M) et la droite (D) devient la
tangente (T) à la courbe (C) au point M.
La pente de la tangente (T) a donc pour valeur :
τ(T) =
h)a(f)ha(f
lim0h
−+
→
= f'(a)

Nombre dérivé, dérivée et tangente
Page 2 Christian BOUVIER
c) Conclusion :
La pente de la tangente (T) au point M d'abscisse a, de la courbe représentative (C) d'une
fonction y = f(x) est égale au nombre dérivé f(a) de la fonction f(x) pour la valeur a de x
prisent sur un intervalle I où la fonction est définie et continue.
3) Tangente en un point à une courbe :
Si f(x) est dérivable en a, alors la courbe (C) admet au point M de coordonnées (a ; f(a)) une
tangente : c’est la droite passant par M et de coefficient directeur f'(a).
Une équation de cette tangente est : y = f'(a).(x − a) + f(a)
II) Dérivé d'une fonction :
1) Définition :
Soit f(x) définie sur un intervalle I.
Dire que f(x) est dérivable pour x ∈ I signifie que f(x) est dérivable en tout réel de I.
La fonction qui a chaque réel x de I associe f'(x) est appelée la fonction dérivée de f(x), elle
est notée f'(x) : on a f' : x → f'(x)
2) Dérivée de quelques fonctions usuelles :
Ensemble de définition Fonction Fonction dérivée
R f(x) = k où k ∈ R f'(x) = 0, sur  R
R f(x) = x f'(x) = 1, sur  R
R f(x) = xn, n ∈  N* f'(x) = n.xn − 1, sur  R , n ∈  N
] - ∞ ; 0 [ U ] 0 ; + ∞ [ f(x) =
x
1
f'(x) = −
2
x
1
, sur ] - ∞ ; 0 [
et sur ] 0 ; + ∞ [
] - ∞ ; 0 [ U ] 0 ; + ∞ [ f(x) =
n
x
1
, n ∈  N* f'(x) = −
1n
xn+
, sur ] - ∞ ; 0 [
et sur ] 0 ; + ∞ [
[ 0 ; + ∞ [ f(x) =
x
f'(x) = −
x.2 1
, sur ] 0 ; + ∞ [
R f(x) = sin x, x en radians f'(x) = cos x, sur  R
R f(x) = cos x, x en radians f'(x) = − sin x, sur  R
3) Opérations et dérivées :
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un même intervalleI :
dérivée d'une somme (u + v)' = u' + v'
dérivée du produit par une contante (k.u)' = k.u'
dérivée du produit (u.v)' = u'.v + u.v'
dérivée du carré de u (u2)' = 2.u.u'
dérivée d'une puissance n de u (un)' = n.un − 1.u'
dérivée de l'inverse de u (
u
1
)' = −
2
u'u
dérivée d'un quotient (
v
u
)' =
2
v'v.uv'.u−

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4) Dérivée d'une fonction composée :
a) Théorème :
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I, si g est une fonction dérivable sur J et si
f(x) ⊂ J pour x ∈ I : {g[f(x)]}x
' = [g(f)]f '.fx '
b) Notation de Leibniz :
- On a vu que la fonction qui a chaque réel x de I associe f'(x) est appelée la fonction
dérivée de f(x) pour x ∈ I, elle est notée f'(x) :
on a f' : x → f'(x)
avec f'(x) =
h)
x(
f)
h
x(
f
lim
0h
−
+
→
pour ∀ x ∈ I
La dérivée étant la limite d'un rapport, on convient de la noter sous la forme :
f'(x) =
h)
x(
f)
h
x(
f
lim0h
−+
→
=
dx )x(df
pour ∀ x ∈ I
- Pour une fonction composée notée g[f(x)] et telle que f(x) est dérivable pour x ∈ I et g(X)
est dérivable pour X ∈ J avec f(x) ⊂ J pour x ∈ I, on écrira sa dérivée sous la forme :
{g[f(x)]}x
' =
dx )]x(f[dg
= [g(f)]f
'.fx ' =
df )]f(dg
.
dx )x(df
b) Exemples :
* Exprimer la dérivée de cos(3.x2 − 2.x + 4) : [cos(3.x2 − 2.x + 4)]' =
dx )4x.2x.3cos(d
2
+−
On peut poser X = 3.x2 − 2.x + 4 défini pour pour ∀ x ∈  R, d'où
dx )4x.2x.3cos(d 2+−
=
dX )X
cos(d
.
dx )4x.2x
.3(
d2+−
= − sin(X).(6.x – 2)
Soit
dx )4x.2x.3cos(d
2
+−
= − (6.x − 2).sin(3.x2 − 2.x + 4) ∀ x ∈  R
* Exprimer la dérivée de
6x
.
5x
.4 1
2+
−
: (
6x.5x.4 1
2+−
)' =
dx
)
6
x
.5
x
.
41
(d 2+
−
On peut poser X = 4.x2 − 5.x + 6 défini pour pour ∀ X ∈ ] 0 ; + ∞ [, or le discriminent de
cette fonction est ∆ = − 72 < 0, X = 4.x2 − 5.x + 6 est donc positif pour tout x ∈  R
dx
)
6x
.5
x.4 1
(
d2+
−
=
dX
)
X
1
(d
.
dx )6x.5x.4(d
2
+−
=
dX
)X(d
2
1
−
.
dx )6x.5x.4(d
2
+−
= −
2
1
.
2
3
)X( −
.(8.x − 5) = −
2
1
.
3
2)6x
.5x.4( 1+−
.(8.x − 5)
Soit
dx
)
6x.
5x.
41
(d
2
+
−
= −
32 )6x.5x.
4(.2 5x.8 +−
−
∀ x ∈  R