Mathématiques pour physiciens

Mathématiques pour physiciens - Ecole Européenne
NOMBRE DERIVE, DERIVEE ET TANGENTE
I) Nombre dérivé :
1) Taux de variation d'une fonction :
a) Aspect analytique :
Soit f(x) une fonction de la variable réelle x, définie et continue sur un intervalle I.
Le taux de variation (ou taux d'accroissement) de f(x) entre les valeurs x = a et x = b de
f (b) − f (a)
l'intervalle I est le quotient :
τ=
b−a
b) Aspect géométrique :
Soit (C) la courbe représentative de la fonction y = f(x) dans un système d'axes
orthogonaux, Ox et Oy.
On considère la droite (D) passant par les points M et N de coordonnées :
M [xM = a, yM = f(a)] et N [xN = b, yN = f(b)]
La pente (coefficient directeur) de la droite (D) a pour valeur :
f (b) − f (a)
τ(D) =
b−a
c) Conclusion :
La pente de la sécante (D) passant par deux points, M d'abscisse a, et N d'abscisse b,
appartenant à la courbe représentative (C) d'une fonction y = f(x) est égale au taux de
variation de la fonction f(x) entre les valeurs a et b de x prisent sur un intervalle I où la
fonction est définie et continue.
2) Nombre dérivé :
a) Aspect analytique :
Soit f(x) une fonction de la variable réelle x, définie et continue sur un intervalle fermé I.
Le nombre dérivé de f(x) pour x = a est la limite, si elle existe, du taux de variation de f(x)
entre a et a+h lorsque h tend vers 0.
f (a + h) − f (a )
f (a + h) − f (a )
On le note f'(a) :
f'(a) = lim
= lim
h → 0 (a + h) − (a )
h→0
h
b) Aspect géométrique :
Soit (C) la courbe représentative de la
fonction y = f(x) dans un système d'axes
orthogonaux, Ox et Oy.
On considère la droite (D) passant par les
points M et N de coordonnées :
M [xM = a, yM = f(a)] et N [xN = a +h , yN = f(a + h)]
Lorsque h → 0, le point N se rapproche du
point M (N → M) et la droite (D) devient la
tangente (T) à la courbe (C) au point M.
La pente de la tangente (T) a donc pour valeur :
f (a + h) − f (a )
= f'(a)
h→0
h
τ(T) = lim
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Nombre dérivé, dérivée et tangente
c) Conclusion :
La pente de la tangente (T) au point M d'abscisse a, de la courbe représentative (C) d'une
fonction y = f(x) est égale au nombre dérivé f(a) de la fonction f(x) pour la valeur a de x
prisent sur un intervalle I où la fonction est définie et continue.
3) Tangente en un point à une courbe :
Si f(x) est dérivable en a, alors la courbe (C) admet au point M de coordonnées (a ; f(a)) une
tangente : c’est la droite passant par M et de coefficient directeur f'(a).
Une équation de cette tangente est : y = f'(a).(x − a) + f(a)
II) Dérivé d'une fonction :
1) Définition :
Soit f(x) définie sur un intervalle I.
Dire que f(x) est dérivable pour x ∈ I signifie que f(x) est dérivable en tout réel de I.
La fonction qui a chaque réel x de I associe f'(x) est appelée la fonction dérivée de f(x), elle
est notée f'(x) : on a f' :
x → f'(x)
2) Dérivée de quelques fonctions usuelles :
Ensemble de définition
R
R
R
]-∞;0[U]0;+∞[
]-∞;0[U]0;+∞[
[0;+∞[
R
R
Fonction
f(x) = k où k ∈R
f(x) = x
f(x) = xn, n ∈ N*
f(x) = 1
x
f(x) = 1n , n ∈ N*
x
f(x) =
x
f(x) = sin x, x en radians
f(x) = cos x, x en radians
Fonction dérivée
f'(x) = 0, sur R
f'(x) = 1, sur R
f'(x) = n.xn − 1, sur R , n ∈ N
f'(x) = − 12 , sur ] - ∞ ; 0 [
x
et sur ] 0 ; + ∞ [
f'(x) = − nn +1 , sur ] - ∞ ; 0 [
x
et sur ] 0 ; + ∞ [
f'(x) = − 1 , sur ] 0 ; + ∞ [
2. x
f'(x) = cos x, sur R
f'(x) = − sin x, sur R
3) Opérations et dérivées :
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un même intervalleI :
dérivée d'une somme
(u + v)' = u' + v'
dérivée du produit par une contante
(k.u)' = k.u'
dérivée du produit
(u.v)' = u'.v + u.v'
dérivée du carré de u
(u2)' = 2.u.u'
dérivée d'une puissance n de u
(un)' = n.un − 1.u'
dérivée de l'inverse de u
( 1 )' = − u2'
u
u
u
'.
v
−
u.v '
u
dérivée d'un quotient
( )' =
2
v
v
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Christian BOUVIER
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4) Dérivée d'une fonction composée :
a) Théorème :
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I, si g est une fonction dérivable sur J et si
f(x) ⊂ J pour x ∈ I :
{g[f(x)]}x' = [g(f)]'f.fx'
b) Notation de Leibniz :
- On a vu que la fonction qui a chaque réel x de I associe f'(x) est appelée la fonction
dérivée de f(x) pour x ∈ I, elle est notée f'(x) :
on a f' :
x → f'(x)
f ( x + h) − f ( x )
pour ∀ x ∈ I
avec
f'(x) = lim
h→0
h
La dérivée étant la limite d'un rapport, on convient de la noter sous la forme :
df ( x )
f ( x + h) − f ( x )
=
pour ∀ x ∈ I
f'(x) = lim
h→0
h
dx
- Pour une fonction composée notée g[f(x)] et telle que f(x) est dérivable pour x ∈ I et g(X)
est dérivable pour X ∈ J avec f(x) ⊂ J pour x ∈ I, on écrira sa dérivée sous la forme :
dg[ f ( x )]
dg( f )] df ( x )
{g[f(x)]}x' =
= [g(f)]'f.fx' =
.
dx
dx
df
b) Exemples :
* Exprimer la dérivée de cos(3.x2 − 2.x + 4) : [cos(3.x2 − 2.x + 4)]' =
d cos(3.x 2 − 2.x + 4)
dx
On peut poser X = 3.x2 − 2.x + 4 défini pour pour ∀ x ∈ R, d'où
d cos(3.x 2 − 2.x + 4)
d cos( X) d(3.x 2 − 2.x + 4)
=
.
= − sin(X).(6.x – 2)
dX
dx
dx
d cos(3.x 2 − 2.x + 4)
= − (6.x − 2).sin(3.x2 − 2.x + 4) ∀ x ∈ R
Soit
dx
1
)
d(
2
6
x
5
.
x
.
4
+
−
1
1
* Exprimer la dérivée de
:(
)' =
2
2
dx
4.x − 5.x + 6
4.x − 5.x + 6
On peut poser X = 4.x2 − 5.x + 6 défini pour pour ∀ X ∈ ] 0 ; + ∞ [, or le discriminent de
cette fonction est ∆ = − 72 < 0, X = 4.x2 − 5.x + 6 est donc positif pour tout x ∈ R
1
)
d(
d( 1 )
−1
2
d( 4.x 2 − 5.x + 6)
d( X) 2 d( 4.x 2 − 5.x + 6)
4.x − 5.x + 6
X
=
.
=
.
dX
dX
dx
dx
dx
− 32
1
1
1
= − . ( X) .(8.x − 5) = − .
.(8.x − 5)
2
2 ( 4.x 2 − 5.x + 6) 3
1
)
d(
2
4.x − 5.x + 6
8.x − 5
Soit
=−
∀ x ∈ R
dx
2. ( 4.x 2 − 5.x + 6) 3
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