Les Fonctions I. Fonctions continues 1. Définition De façon intuitive : la représentation graphique d’une fonction continue se fait « sans lever le crayon ». De façon plus théorique : f est continue en x = a si f(a-) = f(a+) = f(a). 2. Le Théorème des valeurs intermédiaires Thm : Soit f une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans J. Alors pour tout réel y ∈ J, l’équation f(x) = y a des solutions sur I si f est continue sur I. II. Fonctions dérivées 1. Dérivées de fonctions usuelles Fonction Fonction dérivée f(x) = a f ’(x) = 0 f(x) = ax f ’(x) = a f(x) = ax + b f ’(x) = a f ’(x) = n.xn-1 f(x) = xn 1 n f(x) = n f ’(x) = – n+1 x x 1 f ’(x) = f(x) = x 2 x (en particulier, (x²)’ = 2x) 1 1 (en particulier, ( )’ = – ) x x² (rmq : f n’est dérivable que sur ]0; + ∞[ ) 2. Opérations sur les dérivées u et v sont dérivables sur I, k ∈ IR : * (u + v)’ = u’ + v’ * (k×u)’= k×u’ * (u×v)’ = u’v + uv’ u u’v – uv’ * pour x tq v(x) ≠0 : ( )’ = v v² 3. Application de la dérivation Théorème : Soit f une fonction dérivable sur I, alors si ∀ x ∈ I, on a : f’(x) < 0 : f est décroissante sur I, f’(x) > 0 : f est croissante sur I, f’(x) = 0 : f est constante sur I. 4. Dérivée et tangente Propriété : La tangente à la courbe d’équation y = f(x) en A(a ; f(a)) a pour équation : y = f ’(a)(x – a) + f(a) Rmq : On remarque en particulier que f ’(a) est le coefficient directeur de la tangente en x = a.