FICHE METHODE sur la DERIVATION I) A quoi sert la « fonction

FICHE METHODE sur la DERIVATION
a) Exemples :
. Un solide se déplace sur un axe gradué ( en m ) et son abscisse en fonction du temps t ( en s )
est x(t) = –5t² + 12t ! Comment varie la vitesse V de ce solide en fonction du temps ?
→ x’(t) = V(t) = –10t + 12 (en m.s
–1
)
. Son compte en banque C en fonction du nombre de jours x par rapport à aujourd’hui est
donné par C(x) = 2000 + 30x ! De combien varie le compte chaque jour ?
→ C’(x) = 30 ( 30 euros par jours )
. La recette R d ’un restaurateur en fonction du nombre x de mois par rapport à ce mois est
R(x) = –10x² +300x + 1000 ! De combien varie la recette chaque mois ?
→ R’(x) = –20x + 300 ( elle varie d ’environ –20x + 300 )
b) Remarques :
Les fonctions permettent de décrire l’évolution de certains phénomènes naturels. ( position
d’un solide en chute libre en fonction du temps, p
osition d’une planète en fonction du temps, …).
Il est intéressant et souvent important de savoir si l’évolution ( la variation ) est rapide, lente,
nulle, positive ( croissance) ou négative ( décroissance ).
Des scientifiques tels que Newton (1642-1727),Leibniz ( 1646-1716), on trouvé que la dérivée
f ’ d’une fonction f donne toutes ces informations sur f .
Il reste à savoir comment on détermine à partir de la fonction f, la fonction dérivée de f notée f ’
( si elle existe ! ).
Il faut donc connaître certains résultats (qui suivent) concernant la dérivation .
Définition 1: ( Tangente à une courbe en un point )
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR.
Soit C
f
la courbe représentative de f .
Soit le nombre x
0
∈ I .
La droite d x
0
tangente à la courbe C
f
au point d’abscisse x
0
est, si
elle existe, la seule et unique droite qui passe par le point A (x
0
;f(x
0
))
de la courbe C
f
et qui « se confond » avec la courbe C
f
sur un
voisinage de ce point.
Remarque : Certaines courbes n’ont pas de tangente en certains points
I) A quoi sert la «
fonction dérivée» d’une fonction
?
II) Qu’est ce qu’une fonction dérivée
C
f
d x
0
x
0
A ( x
0
;f( x
0
))
f(
x
0
)
A
Cette courbe en « dent de scie » n’a
pas de tangente au point A

Définition 2 : ( Nombre dérivé )
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR. Soit C
f
la courbe représentative de f
Soit le nombre x
0
∈ I . Soit la tangente à la courbe C
f
au point d’abscisse x
0
.
Le nombre dérivé de f au point d’abscisse x
0
est le coefficient directeur de la droite d
x0
tangente à la courbe C
f
au point d’abscisse x
0
. Ce nombre est noté f ’(x
0
) ( « f prime de x
0
» )
Exemple :
Pour la fonction f dont la courbe est représentée ci contre :
Le nombre dérivé de f au point d’abscisse x
0
= 7 est
f ’(7) = coefficient directeur de la tangente à la courbe
au point d’abscisse x
0
= 7.
En prenant les points A(2 ,3) et B ( 12 ,10) on obtient :
f ’(7) = y
B
– y
A
x
B
– x
A
= 10
– 3
12 – 2 = 7 10 = 0,7.
■ Propriété 1 : ( Equation de la tangente )
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR. Soit C
f
la courbe représentative de f
L’équation de la droite tangente à la courbe de f au point A (x
0
;f(x
0
)) d’abscisse x
0
est de la
forme : y = ax + b avec a = f ’(x
0
) et y
A
= ax
A
+ b donc b = y
A
– ax
A
= f(x
0
) – f ’(x
0
) × x
0
.
( On peut aussi retenir : y = f ’(x
0
) (x – x
0
) + f(x
0
) )
Preuve : Une équation de droite ( non verticale ) est de la forme y = ax +b.
Par définition on a coefficient directeur de la tangente en x
0
= f ’(x
0
)
De plus la tangente passe par A (x
0
;f(x
0
)) donc y
A
= ax
A
+ b puis b = f(x
0
) – f ’(x
0
)× x
0 .
Exemple : ( Pour la fonction de l’exemple ci dessus )
L’équation de la tangente d
7
à la courbe de f au point
d’abscisse 7 est y = ax + b avec :
a = f ’(7) = 0,7 .
d
7
passe par A ( 7 ; f(7) = 6,5 ) donc
y
A
= ax
A
+ b donc 6,5 = 0,7× 7 + b
donc b = 6,5 – 4,9 = 1,6.
D’ou l’équation de la tangente cherchée : y = 0,7x + 1,6.
Définition 3 : ( fonction dérivée )
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Si pour toute valeur de x ∈
∈∈
∈ I, le nombre dérivé f ’(x) existe alors on dit que
la fonction f est dérivable sur I .
La fonction notée f ’ qui à tout x ∈ I associe le nombre f ’(x) est appelée la fonction dérivée
de f . On note : f ’ : I → IR
x
→
f ’(x)
2 12
3
10 d
1
B
A
10
–
3
12
–
2
x
0
= 7
2 12
3
10 d
1
B
A
10
–
3
12
–
2
x
0
= 7
f(7) = 6,5
d
x0
d
x0

Application :
Soit la fonction f dont la courbe est représentée ci dessous.
On a construit une partie des tangentes aux points d’abscisses –13 ; –9 ; –5 ; 0 ; 5 et 10.
La fonction dérivée f ’ de la fonction f est telle que l’on ait le tableau de valeurs ci dessous
Valeur de x –13 –9 –5 0 5 10
Valeur de f ’(x) 2 0 – 1
2 0 1 2 1
( f ’(x) est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse x )
■ Propriété 2 : ( Théorème du signe de la dérivée )
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de IR.
On distingue 3 cas :
Si f ’(x) ≥
≥≥
≥ 0 pour tout x ∈ I Alors f est croissante sur I.
Si f ’(x) ≤
≤≤
≤ 0 pour tout x ∈ I Alors f est décroissante sur I.
Si f ’(x) = 0 pour tout x ∈ I Alors f est constante sur I.
Preuve : (Admis)
Application : Soit la fonction f dont la courbe est représentée ci contre, on lit :
f ’(x) = 0 pour x ∈ {10 ; 20}.
f ’(x) ≥ 0 pour x ∈ [0 ; 10] ∪ [20 ; 35].
f ’(x) ≤ 0 pour x ∈ [10 ; 20].
Valeur de x 0 10 20 35
Signe de f ’(x) + 0 – 0 +
Variations
de f(x)
Remarque :
Il ne faut pas confondre le signe de f(x) (courbe au dessus ou en dessous de l’axe (Ox)) avec
le signe de f ’(x) ( fonction f croissante ou décroissante ).
Sur l’exemple ci dessus f(x) est positif pour x ∈ [0 ; 35] alors que le signe de f ’(x) varie en
fonction de x.
0 10 20
35
x
y
-15 -10 -5 0 5 10
-5
0
5
10

■ Propriété 3 : ( Tableau des dérivées usuelles )
f(x) ( se dérive en →
→→
→ ) f ’(x)
a ∈ IR 0
x 1
ax ( a ∈ IR ) a
x² 2x
x
3
3x
2
x
n
( n ∈ * ) nx
n –1
1
x –1 x²
1
x² –2 x
3
1
x
3
–3
x
4
1
x
n
( n ∈ * ) –n
x
n –1
x 1
2 x
U(x) + V(x)
( U et V deux fonctions dérivables ) U ’(x) + V ’(x)
a U(x)
( U une fonctions dérivable et ( a ∈ IR )) a U ’(x)
U(x) × V(x)
( U et V deux fonctions dérivables ) U ’(x) × V(x) + U(x) × V ’(x)
1
U(x)
( U une fonction dérivable )
– U ’(x)
[ U(x)]²
U(x)
V(x)
( U et V deux fonctions dérivables )
U ’(x) × V(x) – U(x) × V ’(x)
[ V(x)]²
Preuve : (Admis)
Applications :
 Si f(x) = 10x² + 5x + 12 Alors f ’(x) = 10×2x + 5×1 + 0 = 20x + 5.
 Si f(x) = 1
x + 2 x² + x = 1 x + 2× 1 x² + x Alors f ’(x) = –1 x² + 2× –2 x
3
+ 1
2 x = –1
x² – 4 x
3
+ 1
2 x .
 Si f(x) = x x Alors f = uv donc f ’ = u’v + uv’ avec u = x → u’ = 1
v = x → v’ = 1
2 x
donc f ’(x) = 1× x + x × 1
2 x = x + x 2 x .
 Si f(x) = 2x +3
5 – 2x alors f = u
v donc f ’ = u’v – uv’ v² avec
u = 2x +3 → u’ = 2
v = 5 –2x → v’ = –2
donc f ’(x) = 2(5 –2x) – (2x +3)(–2)
( 5 – 2x)² = 10 – 4x + 4x +6 ( 5 – 2x)² = 16 ( 5 – 2x)² .

Soit f (x) = x² – 6x + 10 pour x ∈ [0 , 6 ], étudions les variations de cette fonction.
1) On a f’(x) = 2x - 6
2) On étudie le signe de 2x – 6 en fonction de x
( 2x – 6 est un binôme dont on sait étudier le signe : . 2x – 6 ≥ 0 ⇔ x ≥ 6
2 = 3. )
Valeur de x 0 3 6
Signe de 2x – 6 – 0 +
3) On déduit de ce qui précède le tableau de variations de la fonction f
Valeur de x 0 3 6
Signe de 2x – 6 – 0 +
Variations
de f(x) 10 10 2
. f (0 ) = 0² - 6×0 + 10
= 10.
La fonction f admet donc un MINIMUM qui vaut 2 et qui est atteint pour x = 3.
EXERCICES DERIVATION :
Exercice 1 : ( Relire et mémoriser les définitions 1 et 2 du cours ).
1) Soit la fonction f dont la courbe est donnée ci dessous ainsi quelques tangentes .
a) Déterminer les nombres dérivés f ’(–12) , f ’(8) , f ’(–5) , f ’(0) , f ’(5) , f ’(10).