FICHE METHODE sur la DERIVATION I) A quoi sert la « fonction

FICHE METHODE sur la
DERIVATION
I) A quoi sert la « fonction dérivée» d’une fonction ?
a) Exemples :
. Un solide se déplace sur un axe gradué ( en m ) et son abscisse en fonction du temps t ( en s )
est x(t) = –5t² + 12t ! Comment varie la vitesse V de ce solide en fonction du temps ?
→ x’(t) = V(t) = –10t + 12 (en m.s –1)
. Son compte en banque C en fonction du nombre de jours x par rapport à aujourd’hui est
donné par C(x) = 2000 + 30x ! De combien varie le compte chaque jour ?
→ C’(x) = 30 ( 30 euros par jours )
. La recette R d ’un restaurateur en fonction du nombre x de mois par rapport à ce mois est
R(x) = –10x² +300x + 1000 ! De combien varie la recette chaque mois ?
→ R’(x) = –20x + 300 ( elle varie d ’environ –20x + 300 )
b) Remarques :
Les fonctions permettent de décrire l’évolution de certains phénomènes naturels. ( position
d’un solide en chute libre en fonction du temps, position d’une planète en fonction du temps, …).
Il est intéressant et souvent important de savoir si l’évolution ( la variation ) est rapide, lente,
nulle, positive ( croissance) ou négative ( décroissance ).
Des scientifiques tels que Newton (1642-1727),Leibniz ( 1646-1716), on trouvé que la dérivée
f ’ d’une fonction f donne toutes ces informations sur f .
Il reste à savoir comment on détermine à partir de la fonction f, la fonction dérivée de f notée f ’
( si elle existe ! ).
Il faut donc connaître certains résultats (qui suivent) concernant la dérivation .
II) Qu’est ce qu’une fonction dérivée
d x0
Définition 1: ( Tangente à une courbe en un point )
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR.
Soit Cf la courbe représentative de f .
Soit le nombre x0 ∈ I .
La droite d x0 tangente à la courbe Cf au point d’abscisse x0 est, si
elle existe, la seule et unique droite qui passe par le point A (x0;f(x0))
de la courbe Cf et qui « se confond » avec la courbe Cf sur un
voisinage de ce point.
Cf
f(x0)
A (x0 ;f(x0))
x0
Remarque : Certaines courbes n’ont pas de tangente en certains points
A
Cette courbe en « dent de scie » n’a
pas de tangente au point A
Définition 2 : ( Nombre dérivé )
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR. Soit Cf la courbe représentative de f
Soit le nombre x0 ∈ I . Soit la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse x0.
Le nombre dérivé de f au point d’abscisse x0 est le coefficient directeur de la droite dx0
tangente à la courbe Cf au point d’abscisse x0. Ce nombre est noté f ’(x0) ( « f prime de x0 » )
Exemple :
Pour la fonction f dont la courbe est représentée ci contre :
Le nombre dérivé de f au point d’abscisse x0 = 7 est
10
f ’(7) = coefficient directeur de la tangente à la courbe
au point d’abscisse x0 = 7.
En prenant les points A(2 ,3) et B ( 12 ,10) on obtient :
y – yA 10 – 3
7
f ’(7) = B
=
=
= 0,7.
xB – xA 12 – 2
10
3
dx0
B
d1
10 – 3
A
12 – 2
2
x0 = 7
12
■ Propriété 1 : ( Equation de la tangente )
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR. Soit Cf la courbe représentative de f
L’équation de la droite tangente à la courbe de f au point A (x0;f(x0)) d’abscisse x0 est de la
forme : y = ax + b avec a = f ’(x0) et yA = axA + b donc b = yA – axA = f(x0) – f ’(x0) × x0.
( On peut aussi retenir : y = f ’(x0) (x – x0) + f(x0) )
Preuve : Une équation de droite ( non verticale ) est de la forme y = ax +b.
Par définition on a coefficient directeur de la tangente en x0 = f ’(x0)
De plus la tangente passe par A (x0;f(x0)) donc yA = axA + b puis b = f(x0) – f ’(x0)× x0 .
Exemple : ( Pour la fonction de l’exemple ci dessus )
L’équation de la tangente d7 à la courbe de f au point
d’abscisse 7 est y = ax + b avec :
10
a = f ’(7) = 0,7 .
f(7) = 6,5
d7 passe par A ( 7 ; f(7) = 6,5 ) donc
yA = axA + b donc 6,5 = 0,7× 7 + b
donc b = 6,5 – 4,9 = 1,6.
D’ou l’équation de la tangente cherchée : y = 0,7x + 1,6. 3
B
d1
10 – 3
A
12 – 2
2
x0 = 7
12
Définition 3 : ( fonction dérivée )
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Si pour toute valeur de x ∈ I, le nombre dérivé f ’(x) existe alors on dit que
la fonction f est dérivable sur I .
La fonction notée f ’ qui à tout x ∈ I associe le nombre f ’(x) est appelée la fonction dérivée
 f ’ : I → IR
de f . On note : 
x
f ’(x)

→

dx0
Application :
Soit la fonction f dont la courbe est représentée ci dessous.
On a construit une partie des tangentes aux points d’abscisses –13 ; –9 ; –5 ; 0 ; 5 et 10.
10
y
5
x
0
-15
-10
-5
0
5
10
-5
La fonction dérivée f ’ de la fonction f est telle que l’on ait le tableau de valeurs ci dessous
Valeur de x
–13
–9
–5
0
5
10
1
1
–
0
1
Valeur de f ’(x)
2
0
2
2
( f ’(x) est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse x )
■ Propriété 2 : ( Théorème du signe de la dérivée )
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de IR.
On distingue 3 cas :
Si f ’(x) ≥ 0 pour tout x ∈ I Alors f est croissante sur I.
Si f ’(x) ≤ 0 pour tout x ∈ I Alors f est décroissante sur I.
Si f ’(x) = 0 pour tout x ∈ I Alors f est constante sur I.
Preuve : (Admis)
Application : Soit la fonction f dont la courbe est représentée ci contre, on lit :
f ’(x) = 0 pour x ∈ {10 ; 20}.
f ’(x) ≥ 0 pour x ∈ [0 ; 10] ∪ [20 ; 35].
f ’(x) ≤ 0 pour x ∈ [10 ; 20].
Valeur de x 0
10
20
Signe de f ’(x)
+ 0 – 0
Variations
de f(x)
35
+
0
10
20
Remarque :
Il ne faut pas confondre le signe de f(x) (courbe au dessus ou en dessous de l’axe (Ox)) avec
le signe de f ’(x) ( fonction f croissante ou décroissante ).
Sur l’exemple ci dessus f(x) est positif pour x ∈ [0 ; 35] alors que le signe de f ’(x) varie en
fonction de x.
35
■ Propriété 3 : ( Tableau des dérivées usuelles )
f(x) ( se dérive en → )
a ∈ IR
x
ax
( a ∈ IR )
x²
x3
xn ( n ∈ * )
1
x
1
x²
1
x3
1
(n∈ * )
xn
f ’(x)
0
1
a
2x
3x2
nxn –1
–1
x²
–2
x3
–3
x4
–n
xn –1
1
2 x
x
U(x) + V(x)
( U et V deux fonctions dérivables )
a U(x)
( U une fonctions dérivable et ( a ∈ IR ))
U(x) × V(x)
( U et V deux fonctions dérivables )
1
U(x)
( U une fonction dérivable )
U(x)
V(x)
( U et V deux fonctions dérivables )
U ’(x) + V ’(x)
a U ’(x)
U ’(x) × V(x) + U(x) × V ’(x)
– U ’(x)
[ U(x)]²
U ’(x) × V(x) – U(x) × V ’(x)
[ V(x)]²
Preuve : (Admis)
Applications :
Si f(x) = 10x² + 5x + 12 Alors f ’(x) = 10×2x + 5×1 + 0 = 20x + 5.
1 2
1
1
–1
–2
1
–1 4
1
Si f(x) = +
+ x = + 2× + x Alors f ’(x) = + 2× 3 +
= – 3+
.
x x²
x
x²
x²
x 2 x x² x 2 x
Si f(x) = x x Alors f = uv donc f ’ = u’v + uv’ avec
donc f ’(x) = 1× x + x ×
1
=
2 x
u
2x +3
alors f = donc
Si f(x) =
v
5 – 2x
donc f ’(x) =
x+
 u = x → u’ = 1
 v = x → v’ = 1
2 x

x
.
2 x
 u = 2x +3 → u’ = 2
u’v – uv’
f’=
avec 
 v = 5 –2x → v’ = –2
v²
2(5 –2x) – (2x +3)(–2)
10 – 4x + 4x +6
16
=
=
.
( 5 – 2x)²
( 5 – 2x)²
( 5 – 2x)²
Soit f (x) = x² – 6x + 10 pour x ∈ [0 , 6 ], étudions les variations de cette fonction.
1) On a f’(x) = 2x - 6
2) On étudie le signe de 2x – 6 en fonction de x
6
( 2x – 6 est un binôme dont on sait étudier le signe : . 2x – 6 ≥ 0 ⇔ x ≥ = 3.
2
0
3
6
Valeur de x
– 0
+
Signe de 2x – 6
3) On déduit de ce qui précède le tableau de variations de la fonction f
Valeur de x
0
3
Signe de 2x – 6
–
0
10
Variations
de f(x)
2
. f (0 ) = 0² - 6×0 + 10 = 10.
6
+
10
La fonction f admet donc un MINIMUM qui vaut 2 et qui est atteint pour x = 3.
EXERCICES
DERIVATION :
Exercice 1 : ( Relire et mémoriser les définitions 1 et 2 du cours ).
1) Soit la fonction f dont la courbe est donnée ci dessous ainsi quelques tangentes .
a) Déterminer les nombres dérivés f ’(–12) , f ’(8) , f ’(–5) , f ’(0) , f ’(5) , f ’(10).
)
10
y
5
x
0
-15
-10
-5
0
5
10
15
-5
2) Soit f la fonction dont la courbe est donnée ci dessous.
On sait de plus que f ’(– 0,5) = 0 ; f ’(– 3) = 5 ; f ’(3) = –7
y
5
x
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-5
-10
Construire les droite tangentes à la courbe aux points d’abscisses – 0,5 ; –3 et 3.
Exercice 2 : ( Relire et mémoriser la propriété 1 du cours ).
Soit f la fonction dont on sait que :
x –4 –2 0 3 5
f(x) 4 1 3 5 2
f ’(x) – 4 0 2 0 –3
1) Construire dans un repère, les 4 tangentes à la courbe de 4 ainsi qu’une courbe possible pour f.
2) Donner les équations des tangentes aux points d’abscisses – 4 ; –2 et 0.
Exercice 3 : ( Relire et mémoriser la définition 3 du cours ).
Pour la fonction f de l’exercice 1, compléter le tableau de valeurs suivant.
x
–12
–8
–5
0
5
10
f ’(x)
f (x)
Exercice 4 : ( Relire et mémoriser la propriété 2 du cours ).
Soit f la fonction dont la courbe est donnée ci dessous.
10
y
5
x
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-5
1) Mettre le long de la courbe de f et au dessus, des signes + ou – indiquant le signe de f(x).
( en rouge par exemple )
2) Mettre le long de la courbe de f et en dessous, des signes + ou – indiquant le signe de f ’(x).
( utiliser une autre couleur et indiquer la légende sur le graphique )
3) Construire un tableau indiquant le signe de f ’(x) et les variations de f(x) pour x ∈ [– 4,5 ; 5].
4) Résoudre les équations ou inéquations suivantes :
a) f (x) = 0
b) f ’ (x) = 0 c) f (x) ≤ 0 d) f ’ (x) ≤ 0.
Exercice 5 : ( Relire et mémoriser la propriété 3 du cours ).
1) Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes.
a) f(x) = x3 + x² + x + 10
b) f(x) = 10x4
c) f(x) = 15 x
1 1 1
d) f(x) = + + 3
x x² x
8 5
e) f(x) = +
x x²
f) f(x) = 5x² + 10x – 8
g) f(x) = 10 x3 – 15x² + 20x – 18
2) Etudier les variations de la fonction f définie par f(x) = –10x² +300x –18 sur [0 ; 31].