Newton contre Leibniz Newton

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Newton contre Leibniz
De la fonction position(t)
Isaac Newton (anglais, 1642-1727) dérive
la fonction vitesse(t)
De la fonction f(x)
Gottfried Wilhem Leibniz (allemand, 1644-1716) dérive
la fonction pente(x)
Newton
tt1
x
x1
∆x
∆t
x(t)∆t)x(tx
1
x∆x
−
+
=
−
=
Fonction position : x(t)
Vitesse moyenne entre t et t+∆t: ∆x/ ∆t

2
)(
dt
dx
∆t
∆x
lim
0∆ttx′
==
→
Vitesse(t) : dérivée de la fonction position
Dérivée en un point t
t
txttx
tx
∆
−
∆
+
=
′
→
)()(
lim)( 0∆t
x(t)∆t)x(tx
1
x∆x
−
+
=
−
=
Notation Leibniz
Notation Newton
x0
f(x0)
x
f(x)
Leibniz
Pente à la courbe de f(x) au point x0?
On fait tendre x vers x0 …

3
x0
f(x0)
tangente: y = f ’(x0)(x-x0) + f (x0)
Leibniz
()
0
0
0
0
() ( )
lim
xx
f
xfx
fx xx
→
−
′=−
Pente de la courbe = pente de la tangente :
Quel rapport avec la fonction trigonométrique tangente ?
Pente du segment AB =
α
α
α
tan
cos
sin ==
AC
CB
A
B
C
α
1
tan α> 0
B
α
tan α< 0

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Définition et notations : y= f(x)
x
xfxxf
xf x∆
−∆+
=
′
→∆
)()(
lim)( 00
0
0
0
0
0
)()(
lim)(
0xx
xfxf
xf xx −
−
=
′
→
)(
)(
)(
xf
dx
d
x
dx
df
dx
dy
y
y
xf
&
′
′
0
0)()(
lim
0xx
xfxf
xx −
−
<
→
Dérivée à gauche :
Lien entre dérivabilité et continuité
Théorème :
Si f est dérivable en un point alors elle est continue en ce point
FAUX
VRAI
Contraposé :
Si f n’est pas continue en un point alors elle n’est pas dérivable
en ce point
Réciproque :
Si f est continue en un point alors elle est dérivable en ce point

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f(x) = |x|
Fonction continue en 0 mais
non dérivable en 0
f(x) = x2
Dérivable en tout point donc
continue en tout point
Pas continue en x = 1
donc pas dérivable
1
Tangente verticale en x = 1
donc pas dérivable 1