Chapitre 3 – La dérivation

Chapitre 3 – La dérivation
A) Nombre dérivé
1) Limite d'une fonction en zéro
a) Exemple :
2
La fonction g : x →
x 1 x – 2
est définie sur R*.
x
g(0) n'existe pas, mais g(x) existe pour x aussi petit qu'on le désire.
On peut se demander ce qui se passe pour x très petit. Cela s'appelle "chercher la limite de
g(x) quand x tend vers zéro".
2
21 x  −2
24x2x²−2
4x2x²
Or, pour x non nul, on a
=
=
= 42x
x
x
x
Pour x = 0, cette expression vaut 4, et plus x est petit, plus elle s'approchera de 4.
On dit alors que 4 est la limite de g en 0 (ou "quand x tend vers zéro"), et on écrit
lim g  x =4 .
x 0
Plus précisément, on dit que la limite de g(x) quand x tend vers 0 est 4 parce que quel que soit
le nombre ε > 0, si petit qu'il soit, on peut trouver un nombre α tel que l'intervalle ]0 - α ; 0 +
α[ aura son image par g entièrement contenue dans l'intervalle ]4 – ε ; 4 + ε[.
Dans notre exemple, pour avoir 4 - ε < g(x) < 4 + ε , il suffit d'avoir – ε < 2x < ε, c'est à dire :
- ε/2 < x < ε/2. Une valeur possible pour α est donc ε/2 (remarquons que la valeur de α
dépend de celle du ε choisi).
Cas général :
Soit l un réel quelconque, on aura :
lim g  x =l ssi ∀ 0 , ∃0 tel que x ∈]− ; [ => g  x ∈] l − ; l  [
x 0
Remarques :
- Ce cas s'étend aisément à la limite de g(x) en a réel quelconque :
lim g  x =l ssi ∀ 0 , ∃ 0 tel que x ∈] a− ; a [ => g  x∈] l − ; l [
x a
.
- Pour toutes les fonctions courantes, lorsqu'une fonction f est définie pour x = a, la limite de f
en a est égale à f(a). Les fonctions qui ont cette propriété sont appelées fonctions continues en
a, ou continues tout court si c'est vrai pour tout a. Ce ci correspond à une fonction dont on
peut tracer le graphe sans lever le crayon (d'un trait continu).
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2) Fonction dérivable en un point
Soit une fonction f définie sur Df et a ∈D f
Pour tout h ≠ 0 tel que [ a ; ah]⊂ D f , on peut définir t h=
f ah− f a
h
Si la fonction t a une limite l en zéro, c'est-à-dire si lim t h=l , on dit que f est
h 0
dérivable en a et l est le nombre dérivé de f en a.
On note l = f'(a).
On peut donc écrire dans ce cas f '  a=lim
h 0


f  ah – f a
.
h
Exemples :
a) Soit f(x) = x², et on cherche f'(3), le nombre dérivé de f en 3.
2
On aura t  h=
3h −3² 96hh² −9 6h h²
=
=
=6h
h
h
h
Donc, si h tend vers zéro, t(h) tendra vers 6.
On a donc f'(3) = 6.
b) Soit f  x =
1
et on cherche le nombre dérivé f'(1)
x
1
1−1−h
−1
On aura
1h
1h
−h
−1
t  h=
=
=
=
h
h
h1h 1h
Quand h devient très petit, 1 + h s'approche de 1 donc t(h) s'approche de -1.
Donc f'(1) = -1.
Contre exemple :
Fonction en forme de ressort de plus en plus comprimé pour x = 0
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1
f  x =sin   : pas de nombre dérivé en zéro !
x
Remarque :
Il est possible que f(x) ait un nombre dérivé en a sur [a ; b] (on suppose b> a), et un autre
nombre dérivé sur [c ; a] (avec c < a).
Par exemple la fonction f(x) = |x| :
On calcule aisément que le nombre dérivé est égal à -1 à gauche de zéro et égàl à 1 à droite : f
n'est pas dérivable en zéro mais elle y est "dérivable à gauche" et "dérivable à droite".
Elle est continue en zéro puisque sa courbe "se trace sans lever le crayon".
B) Interprétation graphique de la dérivation
1) La tangente
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Si je trace la droite passant par A(a ; f(a)) et B(a + h ; f(a + h)), je m'aperçois que sa pente est
égale à
f ah− f a
, c'est à dire précisément le t(h) du A) !
h
Si h se rapproche de 0, B se rapproche de A en restant sur la courbe, et la droite va adopter la
même pente que la courbe en A.
La droite vers laquelle elle se rapproche s'appelle la tangente en A à la courbe de f, sa pente
est f'(a) et son équation s'écrit
:
y = f'(a) (x – a) + f(a)
Démonstration :
La pente (ou coefficient directeur) de la tangente est f'(a), donc son équation peut s'écrire (k
étant un réel à déterminer) : y = f'(a) x + k.
Or elle passe par le point A(a ; f(a)), d'où f(a) = af'(a) + k ou encore k = f(a) – a f'(a).
On en déduit que son équation est : y = f'(a) x + f(a) – a f'(a), soit y = f'(a) (x – a) + f(a).
CQFD
9/9/09
2) Approximation affine locale
L'approximation affine consiste à remplacer, au voisinage d'un point d'une courbe, cette
courbe par une droite.
Pour y arriver, le meilleur choix est de prendre pour cette droite la tangente en ce point. En
effet, elle est celle qui se rapproche le plus, qui "suit" le mieux la courbe en ce point.
Ceci est utile car il est toujours plus facile de calculer des points sur une droite que sur une
courbe.
Par extension, on peut aussi faire des approximations par des polynômes, ce qui permet de
mieux "coller" à la courbe. Il faut cependant toujours évaluer l'errreur maximum commise
dans l'intervalle étudié.
Exemples :
→ Exercices résolus page 61
17/9/07
C) Fonctions dérivées
1) Définition
Soit une fonction f définie sur un intervalle I.
Si f est dérivable en tout point de I, on dit qu'elle est dérivable sur I et on appelle dérivée, ou
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fonction dérivée de f, et on note f', la fonction qui à tout
de f en x.
x∈ I associe f'(x), nombre dérivé
Exemple
f(x) = x² est dérivable sur ℝ et sa dérivée est f'(x) = 2x
2
2
ah −a a2 2ahh2 −a2 2ahh2
=
=
=2ah
h
h
h
 2ah=2a , donc f'(a) = 2a pour tout a, ce qui amène bien f'(x) = 2x pour tout x.
Or lim
h 0
En effet, t a h=
2) Dérivées usuelles
Fonction
Dérivée
Domaine de définition
f  x =a
f '  x =0
ℝ
f '  x =a
ℝ
f  x =2ax
ℝ
−1
x²
ℝ*
1
ℝ*
f  x =axb
f  x =ax
f  x =
2
1
x
f  x =  x
f '  x =
f  x =
2 x
f  x =sin  x 
f  x =cos x 
ℝ
f  x =cos x 
f  x =−sin  x 
ℝ
→ Démontrer ces résultats par le calcul pour les lignes 2 et 4
La connaissance de la fonction dérivée permet de calculer aisément la pente de la courbe,
c'est-à-dire de sa tangente, en tout point.
En particulier, le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction !
On peut aussi trouver aisément l'équation de la tangente à la courbe en tout point donné.
D) Opérations sur les dérivées
On supposera que u et v sont deux fonctions définies et dérivables sur I, et k une constante
réelle.
1) Somme et différence
u + v et u – v sont alors définies et dérivables sur I, et :
(u + v)' = u' + v'
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(u – v)' = u' – v'
(démonstration évidente)
Exemple :
(2x² - 4x + 3)' = (2x²)' – (4x)' + (3)' = 4x - 4
2) Produit
uv est dérivable sur I, ainsi que ku et :
(uv)' = u'v + uv'
(ku)' = ku'
→ Démonstration
Exemples
( x sin x  )' =
( 2 x 1cos  x  )' =
1
(  x – 3∗ )' =
x
Conséquence
 x n ' = n x n−1
→ Démonstration par récurrence
Exemples :
 x 5 ' = ?
3x 7 '= ?
x8
 ' = ?
8
1
 4 ' = ?
x
1

 '= ?
x
3) Inverse

'
1
−v '
= 2
v
v
→ Démonstration (faire faire)
Exemples :
1
 2
' = ?
3 x −1
1

 '= ?
sin  x 
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4) Quotient

u
u ' v−u v '
'=
v
v2
→ Démonstration :
u
1
=u∗ )
(par
v
v
Exemples
3x–4
'= ?
2 x 21
sin  x 
'= ?
cos  x 




5) Puissances de u
u n '=n u ' u n−1
18/9/09
Exemples :
2 x – 37  '= ?
sin9  x  '= ?
(noter l'écriture sin9(x) qui signifie (sin(x))9 !)
6) Fonction composée
a) Dérivation
Soit (u(v(x)))' = v'(x) u' (v(x)) :
(u o v)' = v' . (u' o v)
Exemples :
I) u(x) = cosx
v(x) = 2x -3
u o v (x) = cos (2x -3)
(u o v)' (x) = 2 sin (2x -3)
II) u = sin x
v = 2x² -3x + 1
u o v (x) = sin (2x² -3x + 1)
(u o v)' (x) = (4x – 3) cos(2x² -3x + 1)
b) Cas particulier important
Soit v(x) = ax + b avec a et b réels :
(u(ax + b))' = a u' (ax + b)
Page 7/8
Exemples
  2 x1 '= ?
4
3 x – 2  '= ?
1
sin  '= ?
x
Exercices / Problèmes :
19/9/09
25/9/07
Page 73 ex 11 à 16
Page 74 ex 21 et 22, 24, 28, 29
Page 75 ex 30 à 36, 42 à 49, 50, 52, 53
Page 77 ex 65
Page 80 ex 89
Page 81 ex 104
Page 82 ex 106
Page 8/8