Exercices sur les intégrales (de Riemann)

Intégrale de Riemann – Calcul d’intégrales et de primitives
Objectifs :
1- Savoir utiliser dans des cas simples la définition de l’intégrale
2- Savoir utiliser les propriétés de l’intégrale comme la formule de la moyenne.
3- Les élèves doivent gérer seuls le calcul des primitives des fractions rationnelles.
Pour les autres cas, un minimum de réflexion est le bienvenu, et si cela ne suffit
pas, une indication de changement de variable par l’enseignant peut débloquer la
situation…
4- Il faut faire un ou deux calculs simples utilisant les exponentielles complexes.
THEME 1 : définition de l’intégrale (ne pas dépasser 1h 30 sur ce thème).
Exercice 1.
1. Calculer les limites en  des suites dont les termes généraux sont :
n
n
n-1
k 1/n
1
1 n-1
(2k)2
u n =
v n = 2  k e-k/n
t
=
w n = 3
n  (1+ )
3
n
n k=0
k=1 n+k
k=1
k=0 n +(2k)
2. Calculer

b
a
x²dx à l’aide de la définition de l’intégrale.
Exercice 2.
C’est aussi un problème de révision sur le programme du 1er semestre.
Soit α, α  1. Soit f: t ln(α2 -2αcos(t)+1) .
1. Pour quelle raison f est-elle intégrable sur  0 , π  ?
2. Montrer, en utilisant les racines 2n-ièmes de 1, que pour n  *, on a :
n-1
kπ
(α 2n -1)(α-1)
2
.
(α
-2αcos(
)+1)=

n
(α+1)
k=0
3. Calculer


0
f (t)dt pour α  1 , puis pour α  1 à l’aide de la définition de
l’intégrale.
THEME 2 : propriétés de l’intégrale (ne pas dépasser 2 séances de TD sur ce thème)
Exercice 3.
Soit f une fonction continue sur
0,1 .
On considère la suite (I n ) n
définie par
1
In =  x n f(x)dx . Montrer que (I n ) n est convergente.
0
Exercice 4.
A l’aide de la formule de la moyenne, déterminer un équivalent en  de I(x)= 
x+1
x
e-t
dt .
t+1
Exercice 5.
cos(t)
dt .
t
1. Montrer que f est définie sur * et de classe C1 sur *.
2. Montrer que f est paire.
3. A l’aide de la formule de la moyenne, montrer que Lim f(x)=ln(4) .
Soit f la fonction définie par f(x)= 
4x
x
x 0
4. On prolonge f en posant f(0)=ln(4) . Montrer que f ainsi prolongée est de classe C1
sur .
5. A l’aide d’une intégration par partie, montrer que Lim f(x)=0 .
x + 
Exercice 6.
Soit f une fonction continue sur un intervalle  a, b .
1. Montrer à l’aide d’un changement de variable que
3π 8
la valeur de I= π

b
a
b
f(x)dx=  f(a+b-t)dt . En déduire
a
ln(tan(x))dx .
8
2. Montrer que si f(a+b-x)=f(x) pour tout x  a, b , alors

b
a
b
x f(x) dx =  f(x) dx . En
a
xsin(x)
déduire la valeur de K= 
dx .
0 1+cos 2 (x)
π
Exercice 7.
x
Calculer les dérivées des fonctions de variable x définies par : f(x)=  (sint)5 dt ,
5
2
g(x)=   ch(t)  dt , h(x)=  arctan(u)du , k(x)= 
2
x
x²
sin(x)
x
cos(x)
  ln(1+u²)du  dt , l(x)= 
t
0
x
0
0
u²
e du
0
sh(t)dt .
Exercice 8.
et
dt .
0 t+x
1. Montrer que F est décroissante sur 0 ,   . Montrer que Lim+ F(x)=+ .
Soit F la fonction définie pour x>0 par F(x)= 
1
x 0
t
e -1
si t  0 et h(0)=1 .
t
e t -1
x
a. Montrer que : t   0 , 1 , x>0, h(t).
=h(t)
t+x
t+x
b. En déduire qu’il existe C>0 (indépendant de x) tel que :
t
1
1 e -1
1 x
0   h(t)dt-
dt  C
dt
0
0 t+x
0 x+t
2. Soit h la fonction définie sur  par : h(t)=
1
c. On pose A=  h(t)dt . Montrer que, au voisinage de 0  , on a : F(x)=-ln(x)+A+o(1) .
0
THEME 3 : calcul de primitives à choisir pour environ 2h de TD.
Exercice 9.
Calculer les intégrales suivantes :

π
0
ei t dt ;

π
0
e-t cos(2t)dt ;

π
0
e2x sin(3x)dx .
Exercice 10.
Calculer les primitives et intégrales suivantes (pour les primitives il faudra préciser les
1
2x+1
1
dx ; 
intervalles où le calcul est valide) :  2
dx ;  2
dx ;
2
x +4x+13
(x-2) (x-1)
(x +1)3
e
1
arctan(x)
1
2
 ln (x) dx ;  x 2 dx ; 1 cos(πln(x))dx ; 0 arctan(x)dx ;  arcsin(x) dx ;  tln 2 (t) dt ;
1
1
1
sin(2x)
tan(x)
2
2
2
 x+ x dx ; -1 t 1-t dt ;  4-x dx ;  ex +e-x dx ;  3+sin(x) dx ;  4+cos2 (x) dx .
THEME 4 : problèmes de synthèse.
Exercice 11. (intégrales de Wallis)
π
Pour n  , on pose In =  2  sin(x)  dx .
n
0
1. Montrer que la suite (I n ) n est convergente.
 π


2. Soit a   0 ,  . Montrer que pour tout naturel n : 0  I n  a(sina)n    a  . En
 2
2

remplaçant a par un an bien choisi, montrer que Lim I n =0 .
n + 
3. Montrer que pour tout n  , I n+2 =
n+1
In .
n+2
4. Déduire de 3 :
a. Pour p  ,, la valeur de I 2p et celle de I 2p+1 à l’aide de factorielles.
b. n I n I n-1 ne dépend pas de n et vaut

.
2
I n+1
π
=1 . En déduire que In
.
n +  I

2n
n
1×3×5×L×(2p-1) 1
6. Montrer que Lim p
=
p + 
2×4×6×L×(2p)
π
5. Montrer que Lim
Exercice 12.
1. Soit  un réel  0 .
a. Montrer, à l’aide du théorème des accroissements finis, que pour tout n  ,
1
1 1
1 
n>1, on a : α+1 < 
- α
α
n
α  (n-1) n 
n
1
b. On pose, pour n  *, u n =  α+1 . Montrer que la suite (u n ) n * est
k=1 k
convergente.
2. Soit f une fonction de classe C1 sur un intervalle  a, b . Montrer, en commençant par
b
une intégration par parties, que Lim  f(t)sin(λt)dt=0 . (Remarque : on a aussi
λ +  a
b
Lim  f(t)cos(λt)dt=0 ).
λ +  a
3. Trouver des réels  et  tels que : n  *,

π
0
(βt+γt 2 )cos(nt)dt=
1
.
n2
βt+γt 2
. Trouver la valeur qu’il faut donner à f(0) pour
t
sin  
2
que f soit continue en 0. Montrer qu’alors f est de classe C1 sur 0, π .
4. Pour t  0, π , on pose f(t)=
5. Montrer
que
pour tout réel
  1   
 sin  n+  t 
n
1    2   
cos(kt)=
-1


2
t
k=1
 sin  2 



t
non
multiple
n
1
. La suite (v n ) n
2
k=1 k
6. On pose, pour n  *, v n = 
*
de
2,
on
a:
converge d’après 1. Montrer que
π2
sa limite est
en utilisant les questions précédentes.
6