Calcul intégral Primitive Définition La fonction F est une primitive de f sur I ∁ ℝ. F’(x) = f(x) ∀ x ∈ I On note alors : ∫ f(x)dx = F(x) + c avec c ∈ ℝ Linéarité ∫[α f(x) + β g(x)] dx = α ∫ f(x) dx + β ∫ g(x) dx Primitives ∫ a dx = ax + c xn+1 ∫ x n dx = n + 1 + c ∫ cos(x) dx = sin(x) + c ∫ sin(x) dx = – cos(x) + c ∫ dx x = ln|x| + c ∫ ex dx = ex + c dx ∫ 1 + x² = arctan(x) + c ∫√ dx 1 − x² = arcsin(x) + c dx ∫ 1 − x² = argtanh(x) + c dx ∫√ 1 + x² ∫√ x² − 1 dx = argsinh(x) + c = argcosh(x) + c Intégrale définie sur un intervalle Aire entre la courbe et l’axe des abscisses b ∫a f(x) dx = [f(x)]ba = F(b) – F(a) Aire entre 2 courbes qui se croisent b ∫a (f(x) − g(x)) dx avec a et b points d’intersections des 2 courbes Valeur moyenne b ∫a f(x) dx = f̅ × (b – a) avec f̅ valeur moyenne D’où 1 b f̅ = b – a ∫a f(x) dx Intégrer en pratique Méthode Intégration directe Intégration par partie Intégration par changement de variable Intégration par partie On sait d’après le cours sur la dérivée que : (u v)’ = u’ v + u v’ u v = ∫ u′ v dx + ∫ u v′ dx ∫ u′ v dx = (u v) – ∫ u v′ dx Donc ∫ v du = [u v] – ∫ u dv On pose u= dv = du = v= On remplace dans la formule précédente et on obtient un nouveau résultat. Intégration par changement de variable Exemple : On a une intégrale de la forme : π 3 I = ∫0 ∫ cos(3x) dx On pose u = 3x 1ière étape : On a u = 3x Donc du = 3dx du Ainsi dx = 3 2ième étape : cos(3x) = cos(u) On obtient π I = ∫0 cos(u) du 3 1 = 3 [sin(u)]π0 = 0 3ième étape : x=0u=0 π x=3u=π