Calcul intégral

Calcul intégral
Primitive
Définition
La fonction F est une primitive de f sur I .
F’(x) = f(x)  x  I
On note alors :
 = F(x) + c avec c  
Linéarité
  = α  + β 
Primitives
 = ax + c
 = 
 + c
 = sin(x) + c
 = – cos(x) + c
 = ln|x| + c
 = ex + c
 = arctan(x) + c
 = arcsin(x) + c
 = argtanh(x) + c
 = argsinh(x) + c
 = argcosh(x) + c

Intégrale définie sur un intervalle
Aire entre la courbe et l’axe des abscisses
 = 
 = F(b) – F(a)
Aire entre 2 courbes qui se croisent
 avec a et b points d’intersections des 2 courbes
Valeur moyenne
 =  × (b – a) avec  valeur moyenne
D’où
 = 
Intégrer en pratique
Méthode
 Intégration directe
 Intégration par partie
 Intégration par changement de variable
Intégration par partie
On sait d’après le cours sur la dérivée que :
(u v)’ = u’ v + u v’
u v =  + 
 = (u v) – 
Donc
 = [u v] – 
On pose
u = dv =
du = v =
On remplace dans la formule précédente et on obtient un nouveau résultat.
Intégration par changement de variable
Exemple :
On a une intégrale de la forme :
I =   
On pose u = 3x
1ière étape :
On a u = 3x
Donc du = 3dx
Ainsi dx = 
2ième étape :
cos(3x) = cos(u)
3ième étape :
x = 0  u = 0
x = 
  u = π
On obtient
I = 
 = 
 = 0