Mr :Khammour.K 4èmeSc-exp et Math Série n°6 : Primitives Janvier 2015 Exercice n°1 : Déterminer les primitives F de f sur I sur chacune des fonctions suivantes. 1) f ( x) 5 x 4 x 2 2 x 3 I=IR 2) f ( x) x 2 4) f ( x) 2 x 1 3 I= 1, 5) f ( x) x 3x 2 1 2 3 1 1 I= ,0 3) f ( x) 3 2 2 x I = IR* 2 x x x I=IR 6) f ( x ) 1 tg 2 x 2015 I 0, 7) f ( x) x 3 I=IR 4 tg x 2 4 1 8) f ( x) x x x 2 I= IR 9) f ( x) sin(2x 1)cos5 2x 1 I = IR 10) f ( x) 2 11) f ( x) I , 12) f ( x) sin x cos x 1 5 x x2 1 I = IR 1 sin 2 x I , . sin x I = I , 13) f ( x) 2 cos x cos x 2 2 2 2 Exercice n°2: Vérifier que la fonction f possède des primitives F sur I et déterminer la primitive vérifiant F x0 y0 . 1) . f ( x) tan x tan 3 x I 0, , F 1 . 2 4 I 0, , F 1 . 2 4 1 tan x cos 2 x 2) f ( x) 3) f ( x) sin x sin 3 x I=IR F 1 . 4 4) f ( x) x x2 3 27 4 I 3, F (1) 2 . Exercice n°3 : Soit f la fonction définie sur 0, par : f ( x) 2 x3 5 x 2 4 x 2 x 1 2 1) Déterminer les réels a et b tels que pour tout x de 0, , f ( x) ax b c x 1 2 . 2) En déduire les primitives de f sur 0, . Exercice n°4 : Soit f la fonction définie sur ]-1,1[ par : f ( x) 1 1 x2 et F sa primitive sur ]-1,1[qui s’annule en 0, et g la fonction définie sur I , par g ( x) F (sin x) . 2 2 1) Montrer que g dérivable sur I , et déterminer sa fonction dérivée. 2 2 2) En déduire que pour tout x de I , , g(x) = x. 2 2 2 3 3) Calculer F ; F . 2 2 Exercice n°5 : Soit f la fonction définie sur [-2,2] par : f ( x) 4 x2 . 1) a) Montrer que f admet au moins une primitive sur [-2,2] . 2) b) Soit F la primitive de f sur [-2,2] qui s’annule en 0. Etudier la parité de F. 3) Soit G la fonction définie sur 0, par G(x) = F (2cosx) et C sa courbe dans un repère orthonormé O, i, j . a) Montrer que I , 0 est un centre de symétrie de C. 2 b) Calculer G’(x). En déduire que pour tout x de 0, G( x) 2 x sin 2 x . c) Calculer F(1) F(2) et F( 2 ). Exercice n°6 : Soit f la fonction définie sur IR par : f ( x) 1 et F sa primitive qui s’annule en 0. 1 x2 1) Montrer que F est impaire. 1 2) On pose pour tout x de IR* g ( x) F ( x) F . x * a) Calculer g’(x) pour tout x de IR . En déduire que g(x) est constante. b) Montrer que lim g ( x) 2F (1) . x 3) On pose u(t) = F (tant) , t , . Calculer u’(t) et en déduire u(t). 2 2 4) Déterminer F(1) et en déduire lim g ( x) et lim F ( x) . x x 5) Construire la courbe F dans un repère orthonormé O, i, j .