primitives

Mr :Khammour.K Série n°6 : Primitives 4èmeSc-exp et Math Janvier 2015
Exercice n°1 :
Déterminer les primitives F de
f
sur I sur chacune des fonctions suivantes.
1)
42
( ) 5 2 3f x x x x    
I=IR 2)
2
3
( ) 2f x x x
I=
,0
3)
32
11
( ) 2f x x
xx
I = IR*
4)
3
2
() 1 fx x
I=
1, 
5)
2
2
3
() 1
x
fx x
I=IR 6)
2
4
1
() tg x fx tg x
0, 2 I
7)
2015
( ) 3f x x   
I=IR
8)
4
2
1
() 2 f x x x x
I= IR 9)
5
( ) sin(2 1)cos 2 1f x x x  
I = IR 10)
2
() 1
x
fx x
I = IR
11)
5
sin
() cos 1
x
fx x
,I
12)
2
1
( ) sin
cos
f x x
x
I =
,
22
I
13)
sin2
() cos x fx x
,
22
I
.
Exercice n°2:
Vérifier que la fonction
f
possède des primitives F sur I et déterminer la primitive vérifiant
00
F x y
.
1) .
3
( ) tan tan 0, , 1
24
f x x x I F
.
2)
2
1 tan
( ) 0, , 1
cos 2 4
x
f x I F
x
.
3)
3
( ) sin sin I=IR 1
4
f x x x F
.
4)
2
4
3
( ) I 3, (1) 2
27
x
f x F
x
.
Exercice n°3 :
Soit
f
la fonction définie sur
0,
par :
32
2
2 5 4 2
() 1
x x x
fx x
1) Déterminer les réels a et b tels que pour tout x de
0,
,
2
() 1
c
f x ax b x
.
2) En déduire les primitives de
f
sur
0,
.
Exercice n°4 :
Soit
f
la fonction définie sur ]-1,1[ par :
2
1
() 1 fx x
et F sa primitive sur ]-1,1[qui s’annule en 0, et g la
fonction définie sur
,
22
I
par
( ) (sin )g x F x
.
1) Montrer que g dérivable sur
,
22
I
et déterminer sa fonction dérivée.

2) En déduire que pour tout x de
,
22
I
, g(x) = x.
3) Calculer
23
;
22
FF
.
Exercice n°5 :
Soit
f
la fonction définie sur [-2,2] par :
2
( ) 4f x x
.
1) a) Montrer que
f
admet au moins une primitive sur [-2,2] .
2) b) Soit F la primitive de
f
sur [-2,2] qui s’annule en 0. Etudier la parité de F.
3) Soit G la fonction définie sur
0,
par G(x) = F (2cosx) et C sa courbe dans un repère orthonormé
,,O i j
.
a) Montrer que
,0
2
I
est un centre de symétrie de C.
b) Calculer G’(x). En déduire que pour tout x de
0,
( ) 2 sin2G x x x
.
c) Calculer F(1) F(2) et F(
2
).
Exercice n°6 :
Soit
f
la fonction définie sur IR par :
2
1
() 1 fx x
et F sa primitive qui s’annule en 0.
1) Montrer que F est impaire.
2) On pose pour tout x de IR*
1
( ) ( )g x F x F x
.
a) Calculer g’(x) pour tout x de IR*. En déduire que g(x) est constante.
b) Montrer que
lim ( ) 2 (1)
xg x F
.
3) On pose u(t) = F (tant) ,
,
22
t
. Calculer u’(t) et en déduire u(t).
4) Déterminer F(1) et en déduire
lim ( ) et lim ( )
xx
g x F x
.
5) Construire la courbe F dans un repère orthonormé
,,O i j
.