Le Calcul Intégral - Daniel Farquet

Le Calcul Intégral
niveau maturité
Daniel Farquet
Eté 2008

Table des matières
1 Introduction 2
2 Intégrale indéfinie 3
2.1 Définitionsetgénéralités................................ 3
2.1.1 Déf.d’uneprimitive .............................. 3
2.1.2 Primitives d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.3 Déf. d’une intégrale indéfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.4 Quelquespropriétés .............................. 4
2.2 Recherchedeprimitives ................................ 5
2.2.1 Intégration par identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.3 Intégration par changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.4 Intégration des fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Intégrale définie 10
3.1 Aireanalytique..................................... 10
3.2 SommedeRiemann .................................. 11
3.3 IntégraledeRiemann.................................. 12
3.3.1 Déf. d’une fonction intégrable au sens de Riemann . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.2 Condition pour qu’une fonction soit intégrable . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.3 Propriétés de l’intégrale définie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.4 Théorème de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.5 Déf. d’une primitive sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.6 Lemme ..................................... 13
3.3.7 Théorème fondamental du calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3.8 Notation..................................... 15
3.3.9 Propriété de l’intégrale d’une fonction positive . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.10 Corollaire .................................... 17
3.3.11 Intégrale fonction de ses bornes (facultatif) . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 Techniquesdecalcul .................................. 19
3.4.1 Calcul d’une intégrale définie à l’aide d’un changement de variable . . . . 19
3.4.2 Intégration par partie d’une intégrale définie . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Intégrale généralisée 21
4.1 Intégrants singuliers sur des intervalles bornés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Intégrale d’une fonction continue et bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3 Intégrale sur des intervalles fermés non bornés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.4 Intégrale sur des intervalles ouverts non bornés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5 Applications 25
5.1 Aireentredeuxcourbes ................................ 25
5.2 Volumederévolution.................................. 26
1

1 Introduction 2
1 Introduction
Ce document a pour but de présenter les fondements du calcul intégral. Il contient toutes les
connaissances requises pour la maturité concernant l’intégrale (et même un peu plus). Autant
que possible les démonstrations seront proposées dans ce texte. Je pense en effet qu’il est très
important de comprendre la démonstration d’un théorème afin de bien le maîtriser.
Ce polycopié diffère donc du livre officiel pour la maturité (CRM, [5]) par le fait qu’il contient
les démonstrations des théorèmes proposés. De plus, afin que le lecteur puisse mieux saisir le sens
de ce qu’il lit, de nombreux exemples sont fournis. Des remarques viennent également complé-
ter les points importants. Ces choix sont avant tout pédagogiques car, selon moi, ils aideront
fortement à comprendre la matière traitée.
L’intégrale est trop souvent présentée comme étant «l’inverse» de la dérivée, vue un peu
simpliste à mon goût. Ce genre d’affirmation est le résultat de théorèmes, d’où l’utilité de les
démontrer.
La première partie traite de l’intégrale indéfinie, dont les concepts sont assez simples à saisir.
La seconde porte sur l’intégrale définie, qui est la «grosse» partie du calcul intégral. Puis on
s’intéressera aux intégrales généralisées et aux applications.

2 Intégrale indéfinie 3
2 Intégrale indéfinie
Cette section comprend une idée générale de ce qu’est l’intégrale ainsi que les moyens d’en
calculer. Elle permet une première approche en douceur.
2.1 Définitions et généralités
2.1.1 Déf. d’une primitive
Soit fune fonction continue sur I⊂R. On appelle primitive de f, une fonction Fdérivable
tel que
F0(x) = f(x),∀x∈I.
Exemple
f(x) = 2(x+ 1), I =R
F(x)=(x+ 1)2G(x) = x2+ 2x
Fet Gsont deux primitves de f. Une primitive de f n’est donc pas unique.
2.1.2 Primitives d’une fonction
Soit f une fonction continue sur I⊂Ret Fune primitive de f. Alors toutes les primitives de
fsont de la forme F(x) + Coù C=C(x)est une fonction constante (on note parfois C∈R).
Démonstration. Montrons d’abord que si Fest une primitve ⇒F+Cest une primitve.
En effet,
(F(x) + C)0=F0(x) + C0
|{z}
0
=f(x)
Montrons maintenant que si Gest primitive ⇒ ∃C∈Rt.q. G=F+C.
(G−F)0(x) = G0(x)−F0(x) = f(x)−f(x)=0
Si la dérivée de (G−F)est nulle, on a que (G−F) = C,C∈R. Donc G=F+C.
Exemple
Posons F:R→Rtel que F(x) = x2et F0(x) = f(x), on a donc clairement que f(x)=2x.
Mais en posant G:R→Rtel que G(x) = x2+ 3, on a aussi que G0(x)=2x=f(x). Ainsi Fet
Gsont deux primitives de f, de plus, elles ne diffèrent que d’une constante. En effet
(G−F)(x) = G(x)−F(x) = x2+ 3 −x2= 3.

2.1 Définitions et généralités 4
2.1.3 Déf. d’une intégrale indéfinie
Soit fune fonction continue sur I⊂R. On appelle intégrale indéfinie de fl’ensemble de
toutes les primitves de f.
L’intégrale indéfinie de fse note : Zf(x)dx
où Rest le signe d’intégration, f(x)est l’intégrant et dx la notation différentielle. A noter : xest
la variable d’intégration.
Remarque : En utilisant 2.1.2 on peut écrire que
Zf(x)dx
| {z }
Intégrale indéfinie
=F(x) + C
où Fest une primitive particulière et C∈R. Cette notation sera justifiée par la suite. On effectue
une «somme».
2.1.4 Quelques propriétés
Soient fet g, deux fonctions continues.
1. Zf0(x)dx =f(x) + C
2. Zf(x)dx0=f(x)
3. Z(f(x) + g(x))dx =Zf(x)dx +Zg(x)dx,
4. Z(λf(x))dx =λZf(x)dx,∀λ∈R
Remarque : Les propriétés 3 et 4 sont appelées linéarité de l’intégrale.
Démonstration.
1. fétant la primitve de f0, le résultats est direct.
2. Zf(x)dx =F(x) + Coù Fest une primitive de f
ainsi, (Zf(x)dx)0= (F(x) + C)0=F0(x)
|{z}
f(x)
+C0
|{z}
0
=f(x)
3. Soient Fet Gdes primitives de fet grespectivement :
F0(x) = f(x)G0(x) = g(x)
Alors (F(x)+G(x)+C)0=f(x)+g(x)donc Z(f(x)+g(x))dx =Z(F(x)+G(x)+C)0dx (2) =
F(x) + G(x) + C=Zf(x)dx +Zg(x)dx