Le Calcul Intégral - Daniel Farquet

Le Calcul Intégral
niveau maturité
Daniel Farquet
Eté 2008
Table des matières
1 Introduction
2
2 Intégrale indéfinie
2.1 Définitions et généralités . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Déf. d’une primitive . . . . . . . . . . .
2.1.2 Primitives d’une fonction . . . . . . . .
2.1.3 Déf. d’une intégrale indéfinie . . . . . .
2.1.4 Quelques propriétés . . . . . . . . . . .
2.2 Recherche de primitives . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Intégration par identification . . . . . .
2.2.2 Intégration par parties . . . . . . . . . .
2.2.3 Intégration par changement de variable
2.2.4 Intégration des fonctions rationnelles . .
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3
3
3
3
4
4
5
5
6
7
9
3 Intégrale définie
3.1 Aire analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Somme de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Déf. d’une fonction intégrable au sens de Riemann . .
3.3.2 Condition pour qu’une fonction soit intégrable . . . .
3.3.3 Propriétés de l’intégrale définie . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Théorème de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Déf. d’une primitive sur un intervalle . . . . . . . . . .
3.3.6 Lemme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.7 Théorème fondamental du calcul intégral . . . . . . .
3.3.8 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.9 Propriété de l’intégrale d’une fonction positive . . . .
3.3.10 Corollaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.11 Intégrale fonction de ses bornes (facultatif) . . . . . .
3.4 Techniques de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Calcul d’une intégrale définie à l’aide d’un changement
3.4.2 Intégration par partie d’une intégrale définie . . . . .
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de variable
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10
10
11
12
12
12
12
12
13
13
15
15
16
17
18
19
19
20
4 Intégrale généralisée
4.1 Intégrants singuliers sur des intervalles bornés .
4.2 Intégrale d’une fonction continue et bornée . .
4.3 Intégrale sur des intervalles fermés non bornés .
4.4 Intégrale sur des intervalles ouverts non bornés
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21
21
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23
5 Applications
5.1 Aire entre deux courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Volume de révolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
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26
1
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1 Introduction
1
2
Introduction
Ce document a pour but de présenter les fondements du calcul intégral. Il contient toutes les
connaissances requises pour la maturité concernant l’intégrale (et même un peu plus). Autant
que possible les démonstrations seront proposées dans ce texte. Je pense en effet qu’il est très
important de comprendre la démonstration d’un théorème afin de bien le maîtriser.
Ce polycopié diffère donc du livre officiel pour la maturité (CRM, [5]) par le fait qu’il contient
les démonstrations des théorèmes proposés. De plus, afin que le lecteur puisse mieux saisir le sens
de ce qu’il lit, de nombreux exemples sont fournis. Des remarques viennent également compléter les points importants. Ces choix sont avant tout pédagogiques car, selon moi, ils aideront
fortement à comprendre la matière traitée.
L’intégrale est trop souvent présentée comme étant «l’inverse» de la dérivée, vue un peu
simpliste à mon goût. Ce genre d’affirmation est le résultat de théorèmes, d’où l’utilité de les
démontrer.
La première partie traite de l’intégrale indéfinie, dont les concepts sont assez simples à saisir.
La seconde porte sur l’intégrale définie, qui est la «grosse» partie du calcul intégral. Puis on
s’intéressera aux intégrales généralisées et aux applications.
2 Intégrale indéfinie
2
3
Intégrale indéfinie
Cette section comprend une idée générale de ce qu’est l’intégrale ainsi que les moyens d’en
calculer. Elle permet une première approche en douceur.
2.1
2.1.1
Définitions et généralités
Déf. d’une primitive
Soit f une fonction continue sur I ⊂ R. On appelle primitive de f , une fonction F dérivable
tel que
F 0 (x) = f (x), ∀x ∈ I.
Exemple
f (x) = 2(x + 1),
F (x) = (x + 1)2
I=R
G(x) = x2 + 2x
F et G sont deux primitves de f. Une primitive de f n’est donc pas unique.
2.1.2
Primitives d’une fonction
Soit f une fonction continue sur I ⊂ R et F une primitive de f . Alors toutes les primitives de
f sont de la forme F (x) + C où C = C(x) est une fonction constante (on note parfois C ∈ R).
Démonstration. Montrons d’abord que si F est une primitve ⇒ F + C est une primitve.
En effet,
(F (x) + C)0 = F 0 (x) + |{z}
C 0 = f (x)
0
Montrons maintenant que si G est primitive ⇒ ∃ C ∈ R t.q. G = F + C.
(G − F )0 (x) = G0 (x) − F 0 (x) = f (x) − f (x) = 0
Si la dérivée de (G − F ) est nulle, on a que (G − F ) = C, C ∈ R. Donc G = F + C.
Exemple
Posons F : R → R tel que F (x) = x2 et F 0 (x) = f (x), on a donc clairement que f (x) = 2x.
Mais en posant G : R → R tel que G(x) = x2 + 3, on a aussi que G0 (x) = 2x = f (x). Ainsi F et
G sont deux primitives de f , de plus, elles ne diffèrent que d’une constante. En effet
(G − F )(x) = G(x) − F (x) = x2 + 3 − x2 = 3.
2.1
2.1.3
Définitions et généralités
4
Déf. d’une intégrale indéfinie
Soit f une fonction continue sur I ⊂ R. On appelle intégrale indéfinie de f l’ensemble de
toutes les primitves de f.
L’intégrale indéfinie de f se note :
Z
f (x)dx
R
où est le signe d’intégration, f (x) est l’intégrant et dx la notation différentielle. A noter : x est
la variable d’intégration.
Remarque : En utilisant 2.1.2 on peut écrire que
Z
f (x)dx = F (x) + C
| {z }
Intégrale indéfinie
où F est une primitive particulière et C ∈ R. Cette notation sera justifiée par la suite. On effectue
une «somme».
2.1.4
Quelques propriétés
Soient f et g, deux fonctions continues.
Z
1.
f 0 (x)dx = f (x) + C
Z
0
2.
f (x)dx = f (x)
Z
Z
Z
3.
(f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx,
Z
Z
4.
(λf (x))dx = λ f (x)dx, ∀λ ∈ R
Remarque : Les propriétés 3 et 4 sont appelées linéarité de l’intégrale.
Démonstration.
1. f étant la primitve de f 0 , le résultats est direct.
Z
2.
f (x)dx = F (x) + C où F est une primitive de f
Z
C 0 = f (x)
ainsi, ( f (x)dx)0 = (F (x) + C)0 = F 0 (x) + |{z}
| {z }
f (x)
0
3. Soient F et G des primitives de f et g respectivement :
G0 (x) = g(x)
F 0 (x) = f (x)
Z
Z
(2)
0
Alors (F (x)+G(x)+C) = f (x)+g(x) donc (f (x)+g(x))dx = (F (x)+G(x)+C)0 dx =
Z
Z
F (x) + G(x) + C = f (x)dx + g(x)dx
2.2
Recherche de primitives
5
4. Soit F une primitive de f et λ ∈ R quelconque :
F 0 (x) = f (x)
Z
Z
(2)
Alors (λF (x))0 = λf (x) donc (λf (x))dx = (λF (x))0 dx = λF (x) + C1 = λ(F (x) +
Z
C2 ) = λ f (x)dx
2.2
Recherche de primitives
Maintenant que nous avons une idée un peu plus précise de ce qu’est une intégrale, ainsi que
de certaines de ses propriétés, nous allons nous attacher au calcul de celles-ci. Plusieurs méthodes
sont présentées dans ce qui suit.
2.2.1
Intégration par identification
On regarde si l’on reconnait l’intégrant comme la dérivée d’une fonction (ou fonction composée) connue.
Z
0
– si f (x) = F (x), alors on a directement
f (x)dx = F (x) + C
Z
– si f (x) = H 0 (u(x)) u0 (x), alors on a f (x)dx = H(u(x)) + C.
| {z }
Zdérivée p.r. à uZ
Z
0
0
En effet,
f (x)dx = H (u(x))u (x)dx = (H(u(x)))0 dx = H(u(x)) + C
Exemples
Z
1.
cos x dx =?
Comme nous savons que sin0 x = cos x, on a :
Z
Z
cos x dx = sin0 x dx = sin x + C,
Z
2.
x(ax2 + b)n dx =?
C∈R
a, b ∈ R fixés, n ∈ N fixé.
En faisant apparaître la dérivée de (ax2 + b) dans l’expression, nous serons dans le cas où
il y a une dérivée de fonction composée, et le tour est joué !
Z
Z
1
1
2
n
x(ax + b) dx =
2ax(ax2 + b)n dx =
(ax2 + b)n+1 + C,
C∈R
2a
2a(n + 1)
Le dernier passage se fait en «voyant» le résultat.
Remarques :
– Tout d’abord ne pas se décourager quand vous voyez écrit des choses comme «On voit que»,
en «remarquant» ou en «voyant». Il est difficile au début de voir les dérivées de fonctions
composées à l’avance et de bien anticiper la méthode à utiliser. . . Ce sont des réflexes qui
viennent très rapidement, avec un minimum d’entraînement sous forme d’exercices.
2.2
Recherche de primitives
6
– La variable x d’intégration estR dite muette : si on Rremplaçait le x par t, par exemple, cela
ne changerait rien au calcul : cos x dx = sin x et cos t dt = sin t
– Je suis conscient que les exemples traités ne sont pas forcément simples. Toutefois je suis
convaincu que comprendre un exemple difficile aide fortement à faire des exercices de tous
niveaux !
2.2.2
Intégration par parties
Rappel : dérivée d’un produit de fonctions u(x)v(x) : (uv)0 = u0 v + uv 0
En intégrant,
Z
(u(x)v(x))0 dx =
Z
u0 (x)v(x)dx +
Z
u(x)v(x)dx
Z
Z
u0 (x)v(x)dx + u(x)v(x)dx
Z
Z
u0 (x)v(x)dx = u(x)v(x) − u(x)v 0 (x)dx
u(x)v(x) =
Ou, par abus de notation :
Z
u0 vdx = uv −
Z
uv 0 dx
L’idée est de choisir les fonctions u0 et v formant l’intégrant telles que u0 et uv 0 soient plus faciles
à intégrer. Le plus simple pour comprendre reste l’exemple.
Exemples
Z
1.
x sin 2x dx =?
En posant
1
u0 = sin 2x → u = − cos 2x
2
v = x → v0 = 1
on obtient que
Z
x sin
|{z}
| {z2x} dx
v
=
u0
=
=
Z
1
1
x
·
−
cos
2x
−
− cos 2x |{z}
1 dx
|{z}
2
|2 {z } v0
v
|
{z
}
u
u
Z
x
1
− cos 2x +
cos 2x dx
2
2
x
1
− cos 2x + sin 2x + C,
C∈R
2
4
Remarque : La primitve de u0 est à choisir, à une constante arbitraire près, selon ce qui
nous arrange. Dans ce cas C = 0, comme c’est d’ailleurs presque toujours le cas.
2.2
Recherche de primitives
Z
2. I =
7
ex sin x dx =?
Une des propriétés de la fonction ex est que, si on la dérive, cela change rien : (ex )0 = ex .
Donc posons :
u0 = ex
→ u = ex
→ v 0 = cos x
v = sin x
Ainsi, on a :
Z
x
ex cos x dx
I = e sin x −
Re-intégrons une fois par partie :
u0 = ex
→
u = ex
v = cos x → v 0 = − sin x
Cette fois, on obtient :
Z
i
h
x
I = e sin x − e cos x + ex sinx dx
{z
}
|
x
I+C
Il nous suffit donc d’isoler I pour avoir le résultat voulu :
2I = ex (sin x − cos x) − C1 ,
C1 ∈ R
1 x
e (sin x − cos x) + C,
2
C∈R
I=
2.2.3
Intégration par changement de variable
On peut considérer x comme une fonction d’une variable t : x = ϕ(t). Le changement de
variable peut rendre l’intégrant plus facilement intégrable. La difficulté réside dans le choix de
la fonction ϕ(t).
Remarque(importante) : Le changement de variable doit impérativement être inversible, ϕ
doit être bijective, t = ϕ−1 (x).
Z
Posons x = ϕ(t) pour calculer f (x)dx, où ϕ est bijective. On obtient clairement que f (x) =
f (ϕ(t)). Sans en donner la démonstration, on a :
dx = ϕ0 (t)dt
Donc l’intégrale devient :
Z
Z
f (x)dx =
f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt
2.2
Recherche de primitives
8
Soit H(t) une primitive de f (ϕ(t))ϕ0 (t), alors, comme t = ϕ−1 (x) car ϕ est bijective :
Z
f (x)dx = H(t) + C = H(ϕ−1 (x)) + C
Exemples
Z
x
√
dx =?, x ∈]0, ∞[
1.
1+x √
Posons t = 1 + x ∈]0, ∞[. Ceci définit une bijection entre x et t, x = ϕ(t) = t2 − 1.
Comme dx = 2t dt :
√
3 Z
Z 2
Z
x
t −1
2t
2 1+x
t
√
dx =
2t dt = 2 (t2 −1)dt = 2
−t +C = (t2 −3)+C =
(x−2)
t
3
3
3
1+x
Z
2.
x3
p
1 − x2 dx =?,
x ∈ [−1, 1]
π π
Posons x = sin t, t ∈ − 2 , 2 , ainsi on obtient :
p
1 − sin2 t = | cos t| = cos t, car cos t > 0, ∀t ∈ − π2 , π2
t = arcsin x
dx = cos t dt
En n’oubliant pas que sin2 t + cos2 t = 1, ∀t ∈ R :
Z
Z
p
3
2
x 1 − x dx =
sin3 t cos t cos t dt
Z
=
sin3 t cos2 t dt
Z
=
sin t (1 − cos2 t) cos2 t dt
|
{z
}
sin2 t
Z
=
=
=
=
sin t(cos2 t − cos4 t)dt
Z
Z
sin t cos2 t dt − sin t cos4 t dt
1
1
− cos3 t + cos5 t + C
3
5
1 p
1 p
− ( 1 − x2 )3 + ( 1 − x2 )5 + C,
3
5
C∈R
Quelques changements de variable usuels
P (x1 ,...,xn )
, où P (x1 , . . . , xn ) et Q(x1 , . . . , xn ) sont deux
Posons tout d’abord R(x1 , . . . , xn ) = Q(x
1 ,...,xn )
polynômes. Lorsque f est de la forme de R(x1 , . . . , xn ), certains changements peuvent s’avérer
utile.
Les changements de variable donnés ici sont des changements possibles, mais non obligatoire.
Avant de faire un changement «compliqué», vérifiez toujours s’il n’y en a pas un qui est évident !
– f (x) = R(sin x, cos x, tan x, cot x)
x
Changement de variable recommandé : x = ϕ(t) = 2 arctan t ⇐⇒ t = tan , et −π < x < π
2
2.2
Recherche de primitives
On obtient : dx =
9
2
dt
1 + t2
2t
1 − t2
Et la trigonométrie nous donne : sin x =
et
cos
x
=
.
1 + t2
1 + t2
p
– f (x) = R(x, α2 − β 2 x2 )
α
α
Changement de variable recommandé : x = sin t ou x = cos t
β
β
Ne pas oublier que sin2 x + cos2 x = 1, ∀x ∈ R.
1
1
– f (x) = R(x, x k1 , . . . , x kn )
Changement de variable recommandé : x = tk avec k = ppmc[k1 , . . . , kn ]
– etc. . .
Remarque : Bien d’autres changements de variable peuvent être considérés, en particulier ceux
utilisant les fonctions hyperboliques. Ceux-ci peuvent s’avérer très utiles. Ces fonctions n’étant
pas supposées connues, il me semble inutile de les citer ici.
Exemple
Z
1
dx =?
sin2 x
x
2t
2
Posons t = tan , on retrouve sin x =
et dx =
dt
2
2
1+t
1 + t2
Il nous suffit de substituer tout ceci dans l’intégrale et de la calculer, ce qui donne :
Z
Z
(1 + t2 )2 2
1
dt
dx
=
4t2
1 + t2
sin2 x
Z
1 + t2
=
dt
2t2
Z 1
1
=
+
1
dt
2
t2
1 1
− +t
=
2 t
1
x
1
=
tan −
2
2 tan x2
2.2.4
Intégration des fonctions rationnelles
P (x)
Les fonctions du type f (x) = Q(x)
peuvent être intégrées de manière efficace, mais parfois fastidieuse, grâce à une décomposition dite en éléments simples. Une fois la fonction «décomposée»,
il suffit d’intégrer les éléments simples.
Cette méthode est, à mes yeux, pas très difficile à comprendre, mais malheureusement très
lourde au niveau calculatoire. Ainsi, je ne souhaite pas en faire un exposé ici. Le lecteur motivé
est conseillé de se référer à [2] afin d’avoir une explication détaillée ainsi que des exemples.
3 Intégrale définie
3
10
Intégrale définie
Cette section concernant l’intégrale définie comporte une grande partie théorique, permettant
de montrer énormément de résultats concernant l’intégrale.
3.1
Aire analytique
Soit f une fonction de I dans R, a et b deux points de l’intervalle I, tels que a < b. On cherche
Rb
à définir le symbole a f (t)dt pour que ce nombre représente l’aire comprise entre le graphe de
f , l’axe Ox, et les droites verticales x = a et x = b.
Figure 1 – L’aire en jaune représente le nombre
Rb
a
f (t)dt 1
Pour répondre à certaines propriétés (propriétés de mesures) il nous faut rajouter plusieurs
conditions. Une de ces conditions nous indique que l’aire se trouvant en dessous de l’axe Ox doit
être comptée négativement :
Figure 2 – Aire analytique de f entre a et b 2
L’aire analytique est positive (respectivement négative) sur les parties du domaine où f (t)
Rb
est positive (resp. négative). a f (t)dt doit donc représenter l’aire analytique de f (t) entre les
deux points a et b. Pour y arriver nous allons :
1. Source : http ://www.uel.education.fr/consultation/reference/mathematiques/integration/
2. Source : ibid.
3.2
Somme de Riemann
11
– Diviser l’intervalle [a, b]
– Encadrer la fonction par une constante, sur chaque intervalle. (f doit donc être bornée).
– Additionner les aires correspondantes
3.2
Somme de Riemann
Divisons l’intervalle [a, b] en N intervalles [xk−1 , xk ], k = 1, . . . , N avec x0 = a et xn =
b. Choisissons de plus ck ∈ [xk−1 , xk ] dans chaque intervalle. La constante nous permettant
d’«encadrer» la fonction sera donnée par f (ck ).
L’aire analytique Ak d’un rectangle est donc : Ak = f (ck )(xk − xk−1 )
Figure 3 – Somme de Riemann de f entre a et b. Hachuré : aire analytique d’un rectangle 3
Posons ∆xk = xk − xk−1 et :
Sn =
N
X
f (ck )∆xk
k=1
Sn est appelée la somme de Riemann de f sur [a,b]. C’est une approximation de l’aire analytique
cherchée, la somme des aires positives (bleu) et négatives (jaune) de la figure 3. Sn dépend du
découpage en N intervalles et du choix des ck . Plus les ∆xk sont petits, plus l’approximation est
bonne.
3. Source : http ://www.uel.education.fr/consultation/reference/mathematiques/integration/
3.3
Intégrale de Riemann
3.3
12
Intégrale de Riemann
3.3.1
Déf. d’une fonction intégrable au sens de Riemann
Si pour N → ∞ chaque ∆xk → 0 et si limN →∞ Sn existe (6= ±∞) et est indépendante du
découpage et du choix des ck alors on dit que f est intégrable au sens de Riemann sur [a,b].
Rb
La limite limN →∞ Sn est appelée intégrale définie de f sur [a, b]. On la note a f (t)dt :
lim Sn = lim
N →∞
N →∞
N
X
Z
b
f (t)dt
f (ck )∆xk =
a
k=1
Rb
Ainsi a f (t)dt est l’aire analytique du domaine délimité par le graphe de f , l’axe Ox et les
droites x = a et x = b. C’est bien ce que nous voulions ! !
Remarques :
– Dorénavant on parlera de fonctions intégrables, sans préciser au sens de Riemann.
– On pourrait maintenant se demander quel est le rapport entre une aire et la dérivée. Ceci
est le résultat d’un théorème.
3.3.2
Condition pour qu’une fonction soit intégrable
Toute fonction continue et définie sur l’intervalle [a, b] est intégrable.
Démonstration. Il n’est pas possible de fournir une démonstration ici. Elle repose entre autre
sur le fait que, quel que soit le découpage et, quel que soit le ck choisi, f (ck ) existe car ck ∈ [a, b]
et f est définie sur [a, b].
3.3.3
Propriétés de l’intégrale définie
Z b
Z c
Z b
– Si c ∈ [a, b], on a
f (t)dt =
f (t)dt +
f (t)dt avec pour convention :
aZ
c
Z aa
Z c
c
f (t)dt = −
f (t)dt.
f (t)dt = 0 et
c
c
a
Z b
Z b
Z b
– Comme dit plus haut, l’intégration est linéaire.
αf (t)dt = α
f (t)dt et
(f (t) +
a
a
a
Z b
Z b
g(t))dt =
f (t)dt +
g(t)dt si f et g sont continues sur [a, b].
a
a
Z
– m(b − a) ≤
b
f (t)f t ≤ M (b − a) si m = min f (x) et M = max f (x).
x∈[a,b]
a
3.3.4
x∈[a,b]
Théorème de la moyenne
Soit a < b deux nombres réels et f une fonction définie et continue sur [a, b]. Alors il existe
c ∈ [a, b] tel que
Z b
f (t)dt = f (c)(b − a).
a
3.3
Intégrale de Riemann
13
Démonstration. f étant continue sur [a, b], les deux nombres m = minx∈[a,b] f (x) et M =
maxx∈[a,b] f (x) existent. En utilisant une des propriétés données en 3.3.3 :
b
Z
m(b − a) ≤
f (t)f t ≤ M (b − a)
a
ou encore
Rb
m≤
f (t)dt
≤ M.
b−a
a
La fonction f étant continue sur [a, b], elle prend toute valeur comprise entre m et M (Théorème
de la valeur intermédiaire, voir [1],[2] ou [5]). Ce qui revient à dire qu’il existe un nombre c ∈ [a, b]
tel que
Rb
f (t)dt
f (c) = a
b−a
D’où le résultat.
Exemple
R2
Soit f : R → R tel que f (x) = x, et posons a = 0 et b = 2. Comme nous avons défini 0 f (t)dt
comme étant l’aire du domaine compris entre le graphe de f , l’axe Ox et les droites verticales
x = 0 et x = 2, et que nous savons que cette aire est celle d’un triangle de base 2 et de hauteur
2, on a que
Z 2
Z 2
2·2
f (x)dx =
x dx =
= 2.
2
0
0
De plus, nous savons également que 1 ∈ [0, 1] et que f (1) = 1. Ainsi, ∃ c = 1 ∈ [0, 1] tel que
Z
f (c)(b − a) = f (1)(2 − 0) = 1 · 2 = 2 =
Z
x dx =
0
3.3.5
2
b
f (x)dx.
a
Déf. d’une primitive sur un intervalle
Soit a < b deux nombres réels et f une fonction définie et continue sur [a, b].
Alors nous dirons qu’une fonction continue F : [a, b] → R est une primitive de la fonction f sur
[a, b] si ∀x ∈]a, b[ :
F 0 (x) = f (x)
3.3.6
Lemme
Soit a < b deux nombres réels et f une fonction définie et continue sur [a, b]. Alors la fonction
F : [a, b] → R définie par
Z
x
F (x) =
f (t)dt
a
est une primitive de la fonction f sur [a, b].
3.3
Intégrale de Riemann
14
Démonstration. Tout d’abord, montrons que pour tout x ∈]a, b[ : F 0 (x) = f (x). Pour cela,
fixons-nous arbitrairement un élément x0 de ]a, b[. RPar le théorème de la moyenne, il existe
x
c = c(x) dans l’intervalle d’extrémité x0 et x tel que x0 f (t)dt = f (c(x))(x − x0 ). Ainsi :
Z x0
Z x
f (t)dt
f (t)dt −
F (x) − F (x0 ) =
a
a
Z x0
Z a
f (t)dt
f (t)dt −
= −
a
Zxx0
= −
f (t)dt
x
Z x
=
f (t)dt
x0
f (c(x))(x − x0 )
=
ce qui implique que
F (x) − F (x0 )
= f (c(x)).
x − x0
Comme c(x) se trouve entre x0 et x, on a que limx→x0 c(x) = x0 . De plus, f étant continue en
x0 , limx→x0 f (x) = f (x0 ), et par définition de la dérivée, il vient :
F 0 (x0 ) = lim
x→x0
F (x) − F (x0 )
= lim f (c(x)) = f (x0 )
x→x0
x − x0
x0 étant un élément aribitraire de [a, b], on a donc que F 0 (x) = f (x), ∀x ∈ [a, b].
Il nous reste à montrer que F est continue à droite en a et à gauche en b. En prenant x0 = a et
en utilisant de nouveau le théorème de la moyenne, il existe d(x) ∈ [a, x], x > a tel que :
Z x
F (x) − F (a) =
f (t)dt = f (d(x))(x − a)
a
En utilisant le même argument que ci-dessus, on retrouve :
lim f (d(x)) = f (a) et comme de plus lim (x − a) = 0
x→a+
x→a+
Il est clair que
lim (F (x) − F (a)) = lim+ f (d(x)) (x − a) = 0
x→a | {z } | {z }
x→a+
→f (a)
→0
Donc
lim F (x) = lim F (a) = F (a)
x→a+
x→a+
En d’autres mots, F est continue à droite en a.
De même pour b, en simplifiant un peu la démarche, et en utilisant le même argument qu’avant
on a


Z b


lim− F (x) = lim− 
F (b) −
f (t)dt

 = F (b)
x→b
x→b
| x {z }
→0
Ainsi, F est continue à gauche en b.
3.3
Intégrale de Riemann
15
Remarque : La primitive d’une fonction étant bien définie, définition 3.3.5, ce théorème nous
donne de manière formelle un moyen de calculer la primitive d’une fonction. C’est la justification
qui était attendue à la section 2.1.3. Mais alors, comment fait-on pour calculer une intégrale avec
des bornes ?
3.3.7
Théorème fondamental du calcul intégral
Soit f : [a, b] → R continue avec a < b et soit F : [a, b] → R une primitve de f sur [a, b]. Alors
on a
Z
b
f (x)dx = F (b) − F (a)
a
Rx
Démonstration. Par le lemme 3.3.6, on sait que G(x) = a f (t)dt est une primitive de f .
Mais comme F est également une primitive de f , on sait (2.1.2) que ∃C ∈ R tel que F (x) =
G(x) + C, ∀x ∈ [a, b]. Mais comme (3.3.3)
Z a
G(a) =
f (t)dt = 0
a
on a
F (a) = G(a) +C = C.
| {z }
0
Et donc
F (x) = G(x) + F (a).
Ainsi, on obtient que
Z
a
b
f (t)dt = G(b) = G(b) − G(a) = (G(b) + F (a)) − (G(a) + F (a)) = F (b) − F (a)
| {z } |
{z
} |
{z
}
0
F (b)
F (a)
3.3.8
Notation
Nous utiliserons très souvent la notation suivante :
b
f (b) − f (a) = f (x) .
a
Remarque : Soit F une primitive de f sur [a, b]. On aurait donc pu écrire
Z
a
b
b
f (x)dx = F (x) .
a
Cette notation est très utilisée pour améliorer la lisibilité des calculs.
3.3
Intégrale de Riemann
16
Exemples
1. On se propose de vérifier le résultat 3.3.6 par un exemple.
Z
Soit f : R → R définie par f (x) = cos x. Soit A la fonction définie par A(x) =
x
f (t)dt.
0
Grâce au théorème fondamental du calcul intégral (3.3.7), nous pouvons calculer explicitement A :
Z x
Z x
x
cos t dt = sin t = sin x − sin
f (t)dt =
A(x) =
|{z}0 = sin x.
0
0
0
0
Le lemme 3.3.6 affirme que A est une primitive de f , et effectivement :
A0 (x) = (sin x)0 = cos x = f (x).
2. Pour calculer
Z π une intégrale avec des bornes il suffit de s’appuyer sur le théorème 3.3.7.
Soit I =
2 sin2 x dx. En sachant que
0
sin2 x =
1 − cos 2x
,
2
∀x ∈ R.
On calcule que
π
Z
I
2 sin2 x dx
=
0
π
1 − cos 2x
dx
2
0
Z
π
π
=
1 dx +
cos 2x dx
0
0
π
π 1
= x − sin 2x 2
0
0
1
1
= (π − 0) −
sin 2π − sin 0
|2 {z } |2 {z }
Z
=
2
Z
0
0
= π
3.3.9
Propriété de l’intégrale d’une fonction positive
Soit a < b deux nombres réels et f une fonction définie et continue sur [a, b] telle que ∀x ∈
[a, b], on ait : f (x) ≥ 0. Alors,
Z c
∀c ∈ [a, b] :
f (t)dt ≥ 0.
a
Démonstration. Considérons la primitive F : [a, b] → R définie par (3.3.6)
Z x
F (x) =
f (t)dt.
a
Ainsi, pour tout x ∈ ]a, b[ :
F 0 (x) = f (x) ≥ 0 ,
3.3
Intégrale de Riemann
17
ce qui implique que la fonction F est croissante sur [a, b] (car sa dérivée est toujours positive).
Donc pour tout c ∈ [a, b] :
Z c
f (t)dt.
0 = F (a) ≤ F (c) =
a
Exemple
La fonction sinus étant positive pour des valeurs comprises entre 0 et π, nous pouvons affirmer
Z π2
3
que la fonction f définie par f (x) = sin x l’est aussi. Ainsi, selon le théorème 3.3.9,
sin3 x dx
est positive ; c’est ce que nous allons montrer.
Comme sin2 x + cos2 x = 1, alors sin2 x = 1 − cos2 x. En substituant, on a
Z
π
2
sin3 x dx =
0
Z
0
π
2
(1 − cos x) sin x dx.
o
Il nous suffit de calculer les deux intégrales qui en découlent :
π
2
Z
sin3 x dx =
0
Z
π
2
Z
π
2
sin x dx −
0
sin x cos2 x dx
0
La première donne :
Z
0
π
2
π2
π
sin x dx = − cos x = − cos + |cos
{z 0} = 1.
0
| {z 2}
1
0
La deuxième est également facile :
Z
π
2
0
π2
1
1
1
π 1
sin x cos2 x dx = − cos3 x = − cos3 + cos 0 = .
3
3
2
3
3
0
Finalement
Z
π
2
sin3 x dx = 1 −
0
3.3.10
1
2
=
3
3
Corollaire
Soit a < b deux nombres réels et f, g : [a, b] → R deux fonctions continues telles que ∀x ∈ [a, b],
on ait : f (x) ≤ g(x). Alors,
Z b
Z b
f (t)dt ≤
g(t)dt.
a
a
3.3
Intégrale de Riemann
18
Démonstration. Soit h : [a, b] → R définie par h(x) = g(x) − f (x). On a clairement que
∀x ∈ [a, b] : h(x) ≥ 0. Ainsi en utilisant le résultat du paragraphe 3.3.9 et la linéarité de
l’intégrale, on peut écrire
Z
0≤
b
b
Z
a
Z
(g − f )(t)dt =
h(t)dt =
a
b
Z
g(t)dt −
a
b
f (t)dt.
a
Ce qui implique
Z
b
Z
f (t)dt ≤
a
b
g(t)dt.
a
3.3.11
Intégrale fonction de ses bornes (facultatif )
Soit a < b deux nombres réels et f une fonction définie et continue sur [a, b]. Soit I un
intervalle ouvert de R et g, h : I → [a, b] deux fonctions différentiables sur I. Alors, la fonction
K : I → R définie par
Z g(x)
f (t)dt
K(x) =
h(x)
est différentiable sur I. De plus, ∀x ∈ I, on a :
K 0 (x) = f (g(x))g 0 (x) − f (h(x))h0 (x).
Démonstration. Si F : [a, b] → R est une primitive de f , alors (3.3.7)
K(x) = F (g(x)) − F (h(x))
Ainsi, par les règles de dérivation
K 0 (x) = F 0 (g(x))g 0 (x) − F 0 (h(x))h0 (x) = f (g(x))g 0 (x) − f (h(x))h0 (x).
Exemple
Z
x2
1
dt. Nous voulons simplement calculer la dérivée def .
+ 1)3
x
Par le théorème que nous venons de voir, on trouve immédiatement que
Soit f définie par f (x) =
f 0 (x) =
(t2
1
((x2 )2
+
1)3
(x2 )0 −
(x2
1
2x
1
(x)0 = 4
− 2
3
3
+ 1)
(x + 1)
(x + 1)3
Remarque : Afin d’éviter les confusions, lorsqu’une intégrale est fonction de ses bornes, on
n’utilisera pas la même variable pour les bornes et pour l’intégrant. Par exemple, on n’écrit pas
R x2
R x2
K(x) = x cos x dx, mais K(x) = x cos t dt.
3.4
3.4
Techniques de calcul
19
Techniques de calcul
Les techniques de calcul des intégrales avec bornes sont les mêmes que celles qui ont été
données dans la section 2.2. La seule différence réside dans le fait qu’il faut traiter les bornes.
3.4.1
Calcul d’une intégrale définie à l’aide d’un changement de variable
Rb
Soit f une fonction définie et continue sur [a, b], nous cherchons à calculer a f (x)dx par un
changement de variable. Ce qui a été mentionné au point 2.2.3 reste valable ; changeons donc les
bornes. Sans en donner la démonstration, on obtient alors :
Si x = ϕ(t) où ϕ est une bijection, alors dx = ϕ0 (t)dt et on a
Z
b
Z
ϕ−1 (b)
f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt
f (x)dx =
a
ϕ−1 (a)
Exemple
Z 4 √
x
I=
dx =?
1
+
x
0
√
Comme il était proposé au point 2.2.3, posons x = ϕ(t) = t2 , ainsi t = ϕ−1 (x) = x. Ce
changement étant bijectif sur l’intervalle [1, 4], nous pouvons utiliser les formules de changement
de variable. De plus dx = 2t dt, ainsi :
Z 4 √
x
I =
dx
1
+
x
0
Z ϕ−1 (4)
t
=
· 2t dt
2
ϕ−1 (0) 1 + t
Z √4
t2
= 2 √
dt
2
0 1+t
Z 2
1 + t2 − 1
(technique utile) = 2
dt
1 + t2
0
Z 2
1 + t2
1 = 2
−
dt
1 + t2
1 + t2
0
Z 2
Z 2
1
(linéarité de l’intégrale) = 2
1 dt − 2
dt
2
0
1 1+t
2
2
1 (arctan t)0 =
= 2t − 2 arctan t 2
1+t
0
0
= 4 − 0 − 2 arctan 2 + 2 arctan
| {z 0}
0
=
2(2 − arctan 2)
3.4
Techniques de calcul
3.4.2
20
Intégration par partie d’une intégrale définie
Soient u, v : [a, b] → R, deux fonction différentiables. Alors,en recopiant simplement la justification donnée au point 2.2.2, et en y rajoutant les bornes, on trouve
Z
a
b
b Z
u (x)v(x)dx = u(x)v(x) −
b
0
a
u(x)v 0 (x)dx
a
Exemple
Z 1
1.
arctan x dx =?
0
En posant :
u0 = 1 → u = x
v = arctan x → v 0 =
On obtient :
Z
0
1
1
1 + x2
1 Z
arctan x dx = x arctan x −
0
1
0
x
dx.
1 + x2
1
Mais comme nous savons que (ln x)0 = nous pouvons intégrer le deuxième terme, ce qui
x
donne :
1
Z 1
ln 1 + x2 π ln 2 1
π ln 2
arctan x dx = 1 · arctan
1} −0 · arctan 0 −
= −
+ |{z}
ln 1 = −
.
|
{z
2
4
2
2
4
2
0
0
π
0
4
Z
2.
π
2
x2 sin x dx =?
0
Posons :
u0 = sin x →
v=x
2
→
u = − cos x
v 0 = 2x
Ainsi, on a :
Z
0
π
2
Z π2
π2 Z π2
x sin x dx = −x cos x −
2x(− cos x) dx =
2x cos x dx
0
0
0
|
{z
}
2
2
0
On intègre une nouvelle fois par partie :
u0 = cos x
v = 2x
→ u = sin x
→ v0 = 2
4 Intégrale généralisée
21
Ce qui donne :
π
2
Z
x2 sin x dx =
0
Z
π
2
0
π2 Z π2
π2 2x cos x dx = 2x sin x −
2 sin x dx = π− −2 cos x
= π−2.
0
0
0
| {z }
|
{z
}
π
4
2
Intégrale généralisée
4.1
Intégrants singuliers sur des intervalles bornés
Soit f : [a, b[→ R une fonction continue sur l’intervalle [a, b[ , où a < b, mais non continue ou
non définie en b. Si x ∈ [a, b[, on peut calculer :
Z x
F (x) =
f (t)dt.
a
Si, de plus, limx→b− F (x) existe, on dit que
Z
Rb
a
f (t)dt existe (ou converge) et on pose par définition
b
Z
x
f (t)dt = lim
a
x→b−
Si limx→b− F (x) n’existe pas, on dit que l’intégrale
f (t)dt.
a
Rb
a
f (t)dt diverge.
Exemples
Z 1
1
dx =?
1.
3
x
0
La fonction f (x) = x13 n’étant pas définie en 0, nous avons affaire à une intégrale généralisée. Donc on pose :
Z 1
Z 1
1
1 1 1 1
1
1 dx
=
lim
dt
=
lim
−
·
=
lim
−
+
= +∞
3
3
2
2 t x
2 2x2
x→0+ x t
x→0+
x→0+
0 x
L’intégrale diverge.
Z 1
1
√ dx =?
2.
x
0
Nous avons de nouveau affaire à une intégrale généralisée. Ainsi
Z 1
Z 1
√ 1 √ 1
1
√ dx = lim
√ dt = lim 2 t = lim 2 − 2 x = 2
x
x→0+ x
x→0+
x
x→0+
t
0
L’intégrale converge.
4.2
Intégrale d’une fonction continue et bornée
22
Remarque : Ces deux exemples sont des cas particuliers de l’intégrale suivante :
Z 1
1
dx, avec α > 0.
α
0 x
En exercice, le lecteur peut facilement montrer que si α ∈]0, 1[ cette intégrale converge ; de
plus, elle vaut
Z 1
1
1
dx =
α
1−α
0 x
4.2
Intégrale d’une fonction continue et bornée
Z
Si f : [a, b[→ R est continue et bornée, alors
b
f (t)dt existe.
a
Démonstration. Il n’est pas possible, dans le cadre de ce polycopié, de donner une démonstration de ce théorème. Voir [1] pour la démonstration ainsi que pour les outils nécessaires à
celle-ci.
Exemple
Z
1
1
dt converge.
t
0
Des propriétés de la fonction cosinus, on sait que :
1 ∀t ∈ ]0, 1] : cos < 1.
t
Montrons que
cos
La fonction f (t) = cos 1t est donc bornée sur ]0, 1], de plus elle est continue, ce qui implique que
Z 1
1
cos dt converge.
t
0
4.3
Intégrale sur des intervalles fermés non bornés
Rx
Soit f : [a, +∞[→ R une fonction continue et considérons la fonction F (x) = a f (t)dt où
x ∈ [a, +∞[ . Si la fonction F admet une limite lorsque x → +∞, on dit que l’intégrale généralisée
R +∞
f (t)dt existe ou converge. On pose
a
Z +∞
Z x
f (t)dt = lim
f (t)dt.
a
x→+∞
a
Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale n’existe pas ou qu’elle diverge.
Exemple
Z +∞
√
1
1
dt =?
t(1 + t2 )
4.4
Intégrale sur des intervalles ouverts non bornés
23
Comme nous en avons déjà l’habitude, faisons un changement de variable. Posons s =
qui donne s2 = t et 2s ds = dt :
Z √x
Z +∞
Z √x
2s
1
1
√
dt = lim √
ds
ds = lim 2
2)
2)
x→+∞
x→+∞
s(1
+
s
1
+
s2
t(1
+
t
1
1
1
√
t, ce
Calculons maintenant l’intégrale :
Z √x
√x
√
1
ds = arctan s = arctan x − arctan
2
| {z 1} .
(1 + s )
1
1
π
4
Donc on obtient
Z +∞
√
1
√
√
1
π
π
π
dt
=
lim
2
arctan
=
2
lim
arctan
x
−
x− =
x→+∞
x→+∞
4
2
2
t(1 + t2 )
|
{z
}
π
2
4.4
Intégrale sur des intervalles ouverts non bornés
Soient a ∈ R, et f : ]a, +∞[→ R une fonction continue et c > a. Si les deux intégrales
généralisées
Z c
Z +∞
f (t)dt et
f (t)dt
a
c
R +∞
convergent, on dit que l’intégrale généralisée a f (t)dt existe (ou converge), et on pose, par
définition,
Z +∞
Z c
Z +∞
Z c
Z x
f (t)dt =
f (t)dt +
f (t)dt = lim
f (t)dt + lim
f (t)dt.
a
a
x→a+
c
x
x→+∞
c
Cette égalité est indépendante du choix de c. Lorsque l’une ou l’autre des intégrales généralisées
Z c
Z +∞
f (t)dt ou
f (t)dt
a
c
diverge, on dit que l’intégrale généralisée
+∞
Z
f (t)dt
a
n’existe pas (ou diverge).
Remarques : Raisonnablement, les définitions données pour les intégrales généralisées traitées
sont facilement adaptables pour d’autres intégrales généralisées.
Par exemple, supposons que les intégrales voulant être calculées convergent, alors :
Z b
Z b
– f : ]a, b] → R continue.
f (t)dt = lim+
f (t)dt.
x→a
a
Z +∞ x
Z c
Z +∞
– f définie et continue sur R et c ∈ R.
f (t)dt =
f (t)dt +
f (t)dt
– etc. . .
−∞
−∞
c
4.4
Intégrale sur des intervalles ouverts non bornés
24
Exemple (avancé)
La manière dont nous allons calculer l’intégrale suivante est assez originale, c’est pour cela
que j’ai décidé de la mettre. Toutefois, il est extrêmement compliqué de pouvoir anticiper une
telle démarche. Je demande simplement au lecteur de comprendre les opérations effectuées et les
différentes étapes, ce qui lui donnera encore plus d’entraînement.
Z +∞
ln t
dt =?
1 + t2
0+
La première étape est de «casser» l’intégrale en deux :
Z +∞
Z 1
Z +∞
ln t
ln t
ln t
dt =
dt +
dt
2
2
1
+
t
1
+
t
1
+ t2
+
+
0
0
1
Nous nous occupons de la première en croisant les bornes (3.3.3) :
Z 1
Z x
Z 1
ln t
ln t
ln t
dt
=
lim
dt
=
−
lim
dt
2
2
2
+
+
x→0
x→0
x 1+t
1 1+t
0+ 1 + t
En posant s = 1t , on a que t = 1s = s−1 et que dt = − s12 ds. En utilisant le fait que ln xa = a ln x,
nous pouvons faire le changement de variable :
Z x
Z x1
Z x1
Z x1
ln t
ln s−1 1
− ln s
1
ln s
dt =
−
ds =
− 1 2
ds =
ds
1
2
2
2
2
1
s
1 + s2 s
1 1+t
1
1 1+s
s2 (s + 1)
1
Donc
Z x1
Z +∞
ln s
ln t
ln s
dt = − lim+
ds = −
ds
2
2
1 + s2
x→0
1
0+ 1 + t
1 1+s
En remplaçant le résultat que nous venons de trouver dans l’intégrale de départ, quelque chose
de «magique» se produit :
Z +∞
Z +∞
Z +∞
ln t
ln s
ln t
dt
=
−
ds
+
dt = 0 ?
2
2
1+t
1+s
1 + t2
0+
1
1
Z
1
Nous aurions tendance à conclure un peu vite que le résultat vaut 0, ce qu’il ne faut pas faire.
En effet, au point 4.4 nous avons dit que, après le «cassage», si l’une des deux intégrales diverge,
alors la première intégrale diverge également ; or nous n’avons pas vérifié la convergence.
Z
+∞
ln t
dt. Nous allons commencer par borner la fonction
1 + t2
1
ln x
f définie par f (x) = 1+x
2 par une autre fonction. En utilisant la propriété de la fonction ln citée
plus haut, et en sachant que ∀t ≥ 1 : 0 ≤ ln t < t, nous pouvons écrire que
Vérifions donc la convergence de
1
0≤
Z
+∞
1
∀t ≥ 1.
Z
+∞
ln t
dt = I
1
+ tt
t
1
1
converge(pourquoi ?). Ainsi avec ce que nous avons montré plus haut, on peut écrire :
Z +∞
ln t
dt = −I + I = 0.
1
+ t2
+
0
Or comme
2
1
2 ln t 2
2t 2
2t 2
2
ln t
=
<
< 2 = 3,
2
2
2
1+t
1+t
1+t
t
t2
3
2
dt converge (à montrer), on peut donc affirmer que
5 Applications
5
25
Applications
Je ne ferai que rappeler deux applications basiques du calcul intégral ; il en existe évidemment
beaucoup d’autres.
5.1
Aire entre deux courbes
Soient f et g deux fonctions continues sur [a, b] telles que f (x) > g(x), ∀x ∈ [a, b]. L’aire A
du domaine limité par les graphes de f et g et les deux droites verticales x = a et x = b est
donnée par
Z b
A=
(f (t) − g(t))dt
a
Figure 4 – Hachuré : Aire A du domaine limité par les graphes de f et g et les deux droites
verticales x = a et x = b 5
Exemple
√
Soient les trois fonctions suivantes : f , g et h définies par f (x) = x, g(x) = x12 et h(x) =
3
7
8 x − 2 . Nous cherchons à calculer l’aire du domaine fermé délimité par les deux droites verticales
x = 1, x = 4, ainsi que les graphes des courbes de f , g et h. En d’autres mots, nous voulons
connaître la somme de l’aire en vert et de l’aire en jaune se trouvant sur la fig. 5.
Le calcul est scindé en deux, car ils nous faut tout d’abord l’aire entre g et f (en vert), puis
l’aire entre g et h (en jaune). Commençons par calculer l’aire en vert :
2
Z 2
√
2 3
1
1 1 2
4√
7
2 3
x − 2 dx = x 2 + = 2 2 + − − 1 =
2−
Avert =
x
3
x 1
3
2 3
3
6
1
Puis l’aire en jaune :
Z
Ajaune =
4
√
2
x−
7
3
x−
8
2
dx =
4
2 3
7
3 4√
37
x 2 − x2 + x = −
2+
3
16
2 2
3
12
Donc l’aire A voulue est :
A = Avert + Ajaune =
4√
7 4√
37
23
2− −
2+
=
3
6 3
12
12
5. Créée par François Farquet
7. Source : http ://www.philipperey.net/maths3-4/calculIntegral/surfaceDelimiteeCourbes.php
5.2
Volume de révolution
26
Figure 5 – Graphe des courbes de f , g et h. Nous voulons calculer la somme de l’aire verte et
de l’aire jaune. 7
5.2
Volume de révolution
Soit f une fonction continue sur [a, b]. Posons D le domaine limité par le graphe de f , l’axe
Ox et les droites verticales x = a et x = b. Le volume V du corps C engendré par la rotation de
D autour de l’axe Ox est donné par
Z b
V =π
f 2 (t)dt.
a
Figure 6 – En bleu le domaine D limité par le graphe de f , l’axe Ox et les droites verticales
x = a et x = b 9
9. Source : http ://users.rcn.com/mwhitney.massed
10. Source : ibid.
5.2
Volume de révolution
27
Figure 7 – Corps de révolution C engendré par la rotation de D autour de Ox 10
Exemple
√
Soit f : [0, 1] → R définie par f (x) = 1 − x. Soit D le domaine délimité par le graphe de f
(fig. 8), l’axe Ox ainsi que les droites verticales x = 0 et x = 1.
Figure 8 – Graphe de f , et domaine D en bleu. 11
Nous cherchons à calculer le volume V créé par la révolution de D autour de l’axe Ox. Ce volume
est représenté sur la fig. 9.
Ainsi, selon la formule que nous connaissons, le volume est donné par :
Z 1
√
V =π
(1 − x)2 dx
0
En développant le carré, et en utilisant la linéarité de l’intégrale, on trouve que
Z 1
Z 1
Z 1
√
V =π
1 dx −
2 x dx +
x dx .
0
11. Source : ibid.
12. Source : ibid.
0
0
RÉFÉRENCES
28
Figure 9 – Volume engendré par la révolution de D autour de l’axe Ox. 12
√ 2
On notera que x devient x et non pas |x|, car nous travaillons sur des valeurs positives. Il
nous suffit donc d’intégrer.
π
1 4 32 1 1 2 1
V =π x − x + x = .
3
2
6
0
0
0
Note : Pour toutes remarques, commentaires, suggestions, questions ou autres, je suis disponible à l’adresse e-mail suivante : [email protected].
Références
[1] Jacques Rappaz. EPFL, section de Mathématique :Calcul différentiel et intégral, Notes de
cours. Presses polytechniques et universitaires romandes. Edition 2007.
[2] Jacques Douchet & Bruno Zwahlen. Calcul différentiel et intégral, Fonctions réelles d’une ou
plusieurs variables réelles. Presses polytechniques et universitaires romandes. Edition 2007.
[3] Guido Burmeister. Notes de cours d’Analyse, prises pendant le semestre de printemps, année
2006/2007.
[4] Jacques Douchet. Analyse, Receuil d’exercices et aide-mémoire vol.1. Presses polytechniques
et universitaires romandes. Deuxième édition.
[5] Commission romande de mathématique. Fundamentum de mathématique, analyse. Editions
du Tricorne, année 2002.