27-Integrales Impropres

Math´ ematiques - ECS1
27
Int´ egrales impropres
Lyc´ ee LaBruy ` ere
30 avenue de Paris
78000 Versailles
c
2013, Polycopié du cours de mathématiques de première année.

27 Intégrales impropres
27.1 Objectifs
Intégration sur un intervalle semi-ouvert.
Convergence de l’intégrale d’une fonction continue
sur [a,b[ (−∞ <a<b6+∞).
On dira que Zb
a
f(t) dtconverge si lim
x→bZx
a
f(t) dt
existe et est finie.
On pose alors Zb
a
f(t)dt=lim
x7→bZx
a
f(t)dt.
Règles de calcul sur les intégrales convergentes, li-
néarité, relation de Chasles, positivité, inégalités.
Cas d’une fonction continue, positive sur [a,b[ et
d’intégrale nulle.
Les techniques de calcul (intégration par parties,
changement de variables non affine) seront prati-
quées sur des intégrales sur un segment.
Cas des fonctions positives. L’intégrale Zb
a
f(t) dtconverge si et seulement si
x7→ Zx
a
f(t) dtest majorée sur [a,b[.
Théorèmes de convergence pour fet gpositives au
voisinage de b, dans les cas où f6get f∼bg.
Théorèmes admis.
Définition de la convergence absolue.
La convergence absolue implique la convergence. On remarquera que toute fonction continue est la
différence de deux fonctions continues positives.
Théorèmes de convergence dans le cas f=o(g) avec
gpositive au voisinage de b.
Théorème admis.
Extension des notions précédentes aux intégrales sur
un intervalle quelconque.
Brève extension aux fonctions définies et conti-
nues sur ]a1,a2[∪]a2,a3[∪···∪]ap−1,ap[.
Convergence des intégrales Z+∞
1
dt
tα,Zb
a
dt
(t−a)αet
Z+∞
0
e−αtdt.
27.2 Rappels d’intégration
Primitives usuelles.
Notation : si fest continue sur un intervalle Ialors Zf(t) dtdésigne la valeur en t
de l’une quelconque des primitives de f. La lettre Cdésigne une constante arbitraire.
2

27.2 Rappels d’intégration 3
Zeαtdt=eαt
α
+C(α,0) I=R
Ztαdt=tα+1
α+1+C(α,−1) I=]0,+∞[
Z1
1+t2dt=Arctan t+C I =R
Zcos(αt) dt=sin(αt)
α
+C(α,0) I=R
Zsin(αt) dt=−cos(αt)
α
+C(α,0) I=R
Z1
cos2tdt=tan t+C I =−π
2+kπ, π 2+kπ,k∈Z
Ztan tdt=−ln |cos t|+C I =−π
2+kπ, π 2+kπ,k∈Z
Z1
tdt=ln |t|+C I =]− ∞,0[ ou ]0,+∞[
Z1
1−t2dt=1
2ln 
1+t
1−t+C I =]− ∞,−1[ ou ] −1,1[ ou ]1,+∞[
Zln tdt=tln t−t+C I =]0,+∞[
Formes usuelles à connaître.

4Intégrales impropres
Zu0(t)u(t)ndt=u(t)n+1
n+1+C(n,−1)
Zu0(t)
u(t)2dt=−1
u(t)+C
Zu0(t)
u(t)dt=ln(|u(t)|)+C
Zu0(t)
u(t)ndt=−1
(n−1)u(t)n−1+C(n,1)
Zu0(t)
2√u(t)dt=√u(t)+C
Zu0(t) cos(u(t)) dt=sin(u(t)) +C
Zu0(t) sin(u(t)) dt=−cos(u(t)) +C
Zu0(t) eu(t)dt=eu(t)+C
Zu0(t)
1+u(t)2dt=Arctan u(t)+C
Zu0(t)f(u(t)) dt=F(u(t)) +C F est une primitive de f
27.3 Intégrales impropres
27.3.1 Cas des fonctions définies sur un intervalle semi-ouvert
Définition 1. Soit aun réel et fune fonction continue sur un intervalle [a,b[ où best
soit un réel strictement plus grand que a, soit +∞.
On dit que l’intégrale de fest convergente sur [a,b[ si Zx
a
f(t) dtpossède une limite
finie lorsque xtend vers bpar valeurs inférieurs.
Dans ce cas, on pose Zb
a
f(t) dt=lim
x→bZx
a
f(t) dt.
Lorsque Zx
a
f(t) dtne possède pas de limite finie lorsque xtend vers b, on dit que
l’intégrale de fest divergente.
L’intégrale Zb
a
f(t) dtest appelée intégrale impropre et le point best dit point d’impro-
priété.
Remarque 1. La définition de la convergence de l’intégrale Zb
a
f(t) dtest analogue dans le
cas où la fonction fest continue sur l’intervalle semi-ouvert ]a,b].

27.3 Intégrales impropres 5
Exemple 1. Z+∞
1
1
t4dtExemple 2. Z+∞
1
ln t
tdt
Exemple 3. Z+∞
0
1
1+t2dtExemple 4. Z+∞
0
t
1+t2dt
Exemple 5. Zπ
2
0
tan2xdtExemple 6. Z+∞
0
e−tdt
Proposition 1. Soit λ∈R.
L’intégrale Z+∞
0
e−λtdt converge si et seulement si λ > 0.
Proposition 2. On suppose que f est continue sur un intervalle [a,b[avec une extrémité
b finie et que f possède une limite finie en b. La fonction f se prolonge par continuité
en une fonction ˆ f continue sur [a,b].
L’intégrale Zb
a
f(t) dt est alors convergente sur [a,b[et on a l’égalité
Zb
a
f(t) dt=Zb
a
ˆ
f(t) dt
On dit alors que l’intégrale Zb
a
f(t) dt est faussement impropre.
Exemple 7. Z1
0
sin t
tdtExemple 8. Z2
1
t−1
ln tdt
Convergence des intégrales de Riemann . Soit α∈R.
(1) L’intégrale Z+∞
1
1
tαdt converge si et seulement si α > 1
(2) L’intégrale Zb
a
1
(t−a)αdt converge si et seulement si α < 1
(3) L’intégrale Zb
a
1
(t−b)αdt converge si et seulement si α < 1
(4) L’intégrale Z−1
−∞
1
|t|αdt converge si et seulement si α > 1
En particulier, l’intégrale Z1
0
1
tαdtconverge si et seulement si α < 1
Remarque 2. Contrairement au cas des séries, il n’est pas nécessaire que ftende vers 0en
+∞pour que l’intégrale Z+∞f(t) dtconverge.
De même, le fait que la fonction fne tende pas vers 0en +∞ne suffit pas pour affirmer la
divergence de l’intégrale Z+∞f(t) dt.