Mathématiques - ECS1
27
Intégrales impropres
Lycée La Bruyère
30 avenue de Paris
78000 Versailles
c 2013, Polycopié du cours de mathématiques de première année.
27 Intégrales impropres
27.1
Objectifs
Z
Intégration sur un intervalle semi-ouvert.
Convergence de l’intégrale d’une fonction continue
sur [a, b[ (−∞ < a < b 6 +∞).
On dira que
b
Z
f (t) dt converge si lim
x→b
a
existe et est finie.
Z b
On pose alors
f (t)dt = lim
a
Règles de calcul sur les intégrales convergentes, linéarité, relation de Chasles, positivité, inégalités.
Cas d’une fonction continue, positive sur [a, b[ et
d’intégrale nulle.
x7→b
Z
x
f (t) dt
a
x
f (t)dt.
a
Les techniques de calcul (intégration par parties,
changement de variables non affine) seront pratiquées sur des intégrales sur un segment.
Z b
L’intégrale
f (t) dt converge si et seulement si
a
Z x
x 7→
f (t) dt est majorée sur [a, b[.
Cas des fonctions positives.
a
Théorèmes de convergence pour f et g positives au
voisinage de b, dans les cas où f 6 g et f ∼b g.
Théorèmes admis.
Définition de la convergence absolue.
La convergence absolue implique la convergence.
On remarquera que toute fonction continue est la
différence de deux fonctions continues positives.
Théorèmes de convergence dans le cas f = o(g) avec
g positive au voisinage de b.
Théorème admis.
Extension des notions précédentes aux intégrales sur
un intervalle quelconque.
Z b
Z +∞
dt
dt
,
et
Convergence des intégrales
α
α
t
a (t − a)
1
Z
Brève extension aux fonctions définies et continues sur ]a1 , a2 [∪]a2 , a3 [∪ · · · ∪]a p−1 , a p [.
+∞
e−αt dt.
0
27.2
Rappels d’intégration
Primitives usuelles.
Z
Notation : si f est continue sur un intervalle I alors
f (t) dt désigne la valeur en t
de l’une quelconque des primitives de f . La lettre C désigne une constante arbitraire.
2
27.2
Z
Z
Z
eαt dt
=
eαt
α
+C
(α , 0)
tα dt
=
tα+1
α+1
+C
(α , −1)
1
dt
1 + t2
=
Arctan t
+C
cos(αt) dt
=
sin(αt)
α
+C
(α , 0)
I=R
sin(αt) dt
=
−
+C
(α , 0)
I=R
1
dt
cos2 t
=
tan t
+C
tan t dt
=
− ln |cos t|
+C
1
dt
t
=
ln |t|
+C
I =] − ∞, 0[ ou ]0, +∞[
1
dt
1 − t2
=
1
2
1+t
1−t
+C
I =] − ∞, −1[ ou ] − 1, 1[ ou ]1, +∞[
ln t dt
=
t ln t − t
+C
I =]0, +∞[
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Rappels d’intégration
Z
cos(αt)
α
ln
Formes usuelles à connaître.
I=R
I =]0, +∞[
I=R
π
π
I = − + kπ, + kπ , k ∈ Z
2
2
π
π
I = − + kπ, + kπ , k ∈ Z
2
2
3
4
Intégrales impropres
u0 (t)u(t)n dt
=
u(t)n+1
n+1
+C
u0 (t)
dt
u(t)2
=
−
1
u(t)
+C
u0 (t)
dt
u(t)
=
ln(|u(t)|)
+C
u0 (t)
dt
u(t)n
=
−
u0 (t)
dt
√
2 u(t)
=
√
u(t)
+C
u0 (t) cos(u(t)) dt
=
sin(u(t))
+C
u0 (t) sin(u(t)) dt
=
− cos(u(t))
+C
u0 (t) eu(t) dt
=
eu(t)
+C
u0 (t)
dt
1 + u(t)2
=
Arctan u(t)
+C
u0 (t) f (u(t)) dt
=
F(u(t))
+C
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
27.3
27.3.1
1
(n − 1)u(t)n−1
(n , −1)
+C
(n , 1)
F est une primitive de f
Intégrales impropres
Cas des fonctions définies sur un intervalle semi-ouvert
Définition 1. Soit a un réel et f une fonction continue sur un intervalle [a, b[ où b est
soit un réel strictement plus grand que a, soit +∞.
Z x
On dit que l’intégrale de f est convergente sur [a, b[ si
f (t) dt possède une limite
a
finie lorsque x tend vers b par valeurs inférieurs.
Z b
Z x
Dans ce cas, on pose
f (t) dt = lim
f (t) dt.
x→b a
a
Z x
Lorsque
f (t) dt ne possède pas de limite finie lorsque x tend vers b, on dit que
a
l’intégrale de f est divergente.
Z b
L’intégrale
f (t) dt est appelée intégrale impropre et le point b est dit point d’impropriété.
a
Z
Remarque 1. La définition de la convergence de l’intégrale
b
f (t) dt est analogue dans le
a
cas où la fonction f est continue sur l’intervalle semi-ouvert ]a, b].
27.3
+∞
Z
Exemple 1.
Z1 +∞
Exemple 3.
0
π
2
Z
Exemple 5.
Intégrales impropres
Z
1
dt
t4
1
dt
1 + t2
+∞
Exemple 2.
Z1 +∞
Exemple 4.
0
Z
tan2 x dt
+∞
Exemple 6.
0
5
ln t
dt
t
t
dt
1 + t2
e−t dt
0
Proposition 1. Soit λ ∈ R.
Z +∞
L’intégrale
e−λt dt converge si et seulement si λ > 0.
0
Proposition 2. On suppose que f est continue sur un intervalle [a, b[ avec une extrémité
b finie et que f possède une limite finie en b. La fonction f se prolonge par continuité
en une fonction fˆ continue sur [a, b].
Z b
L’intégrale
f (t) dt est alors convergente sur [a, b[ et on a l’égalité
a
Z
b
f (t) dt =
Z
a
b
fˆ(t) dt
a
b
Z
f (t) dt est faussement impropre.
On dit alors que l’intégrale
a
Z
Exemple 7.
0
1
Z
sin t
dt
t
Exemple 8.
1
2
t−1
dt
ln t
Convergence des intégrales de Riemann . Soit α ∈ R.
Z +∞
1
(1) L’intégrale
dt converge si et seulement si α > 1
α
t
1
Z b
1
dt converge si et seulement si α < 1
(2) L’intégrale
α
a (t − a)
Z b
1
(3) L’intégrale
dt converge si et seulement si α < 1
α
a (t − b)
Z −1
1
dt converge si et seulement si α > 1
(4) L’intégrale
α
−∞ |t|
Z
En particulier, l’intégrale
0
1
1
dt converge si et seulement si α < 1
tα
Remarque 2. Contrairement
Z au cas des séries, il n’est pas nécessaire que f tende vers 0 en
+∞ pour que l’intégrale
+∞
f (t) dt converge.
De même, le fait que la fonction
f ne tende pas vers 0 en +∞ ne suffit pas pour affirmer la
Z
+∞
divergence de l’intégrale
f (t) dt.
6
Intégrales impropres
Reste d’une intégrale convergente
. Soit f une fonction continue sur un intervalle
Z b
[a, b[ telle que l’intégrale
f (t) dt soit convergente.
a
Z b
Z b
L’intégrale (convergente)
f (t) dt est appelée reste de l’intégrale
f (t) dt.
x
a
Proposition 3. Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b[ telle que l’intégrale
Z
b
f (t) dt soit convergente. Alors :
a
b
Z
lim
x→b
f (t) dt = 0
x
Proposition 4. Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b[ et F une primitive
de f sur [a, b[.
Z b
L’intégrale
f (t) dt converge si et seulement si F possède une limite finie en b et dans
a
ce cas
Z b
f (t) dt = lim F(x) − F(a)
a
x→b
Remarque 3. Tous ces résultats s’adaptent, bien entendu, au cas des fonctions continues sur
un intervalle de la forme ]a, b].
1
Z
Exercice 1. Nature (et valeur si possible) de l’intégrale
ln t dt.
0
Z
Exercice 2. Nature (et valeur si possible ) de l’intégrale
1
27.3.2
2
1
dt.
t ln t
Cas des fonctions définies sur un intervalle ouvert
Définition 2. Soit a, b, c trois réels tels que a < c < b et f une fonction continue sur
]a, b[.
Z b
On dit que l’intégrale de f est convergente sur ]a, b[ si les intégrales
f (t) dt et
c
Z c
f (t) dt sont simultanément convergentes.
a
Z b
Z c
Z b
On pose alors
f (t) dt =
f (t) dt +
f (t) dt
a
a
c
27.4
Propriétés
7
Remarque 4. La définition précédente ne dépend pas du choix du point c entre a et b.
Proposition 5. Soit f une fonction continue sur un intervalle ]a, b[ et F une primitive
de f sur ]a, b[.
Z b
L’intégrale
f (t) dt converge si et seulement si F possède des limites finies en a et b
a
et dans ce cas
Z
b
f (t) dt = lim F(x) − lim F(x)
Z
+∞
Exemple 9.
−∞
27.3.3
x→a
x→b
a
1
dt
1 + t2
Cas des fonctions définies sur une union d’intervalles ouverts
Définition 3. Soit f une fonction continue sur une union d’intervalles de la forme
]a, a1 [∪]a1 , a2 [∪ · · · ∪]an−2 , an−1 [∪]an−1 , b[ où −∞ 6 a = a0 < a1 · · · < an−1 < b =
an 6 +∞.
Z b
Z ak+1
On dit que l’intégrale
f (t) dt est convergente si chacune des intégrales
f (t) dt
ak
a
est convergente. Dans ce cas, on pose
Z b
n−1 Z
X
f (t) dt =
a
Z
0
27.4
27.4.1
+∞
f (t) dt
ak
k=1
Exemple 10. Nature de l’intégrale
ak+1
ln t
dt.
t2 − 1
Propriétés
Linéarité
Proposition 6. On suppose que −∞ 6 a < b 6 +∞ et que f et g sont deux fonctions
continues sur l’intervalle [a, b] privé d’un nombre fini de points.
Z b
Z b
Si les intégrales
f (t) dt et
g(t) dt sont convergentes alors quelque soient les réels
λ et µ, on a
a
a
Z
b
(λ f (t) + µg(t)) dt = λ
a
Z
a
b
f (t) dt + µ
Z
b
g(t)) dt
a
Z b
Z b
Remarque 5. Si parmi les intégrales
f (t) dt et
g(t) dt, l’une est convergente et l’autre
a
Z b a
est divergente alors l’intégrale
( f (t) + g(t)) dt est divergente.
a
8
Intégrales impropres
Z
b
Z
b
Remarque 6. Si les intégrales
f (t) dt et
g(t) dt sont divergentes alors on ne peut rien
a
a
Z b
dire quant à la nature de l’intégrale
( f (t) + g(t)) dt.
a
Corollaire 7. L’ensemble des fonctions f continues
sur un intervalle ]a, b[ privé d’un
Z b
nombre fini de points telles que l’intégrale
f (t) dt soit convergente est un R-espace
a
Z b
vectoriel et l’application f 7→
f (t) dt est une forme linéaire sur cet espace.
a
27.4.2
Relation de Chasles
Proposition 8. On suppose que −∞ 6 a < b 6 +∞ et que f une fonction continue sur
l’intervalle ]a, b[ privé d’un nombre fini de points et c ∈]a, b[.
Z b
Si l’intégrale
f (t) dt est convergente alors il en va de même des intégrales
Z c
Z ba
f (t) dt et
f (t) dt et de plus
a
c
Z
b
f (t) dt =
a
Z
a
c
f (t) dt +
Z
b
f (t) dt
c
Remarque 7. Attention à l’hypothèse c ∈]a, b[, nécessaire pour obtenir la convergence des
deux intégrales.
27.4.3
Positivité et stricte-positivité
Proposition 9. On suppose que −∞ 6 a < b 6 +∞ et que f est une fonction
Z continue
b
sur l’ intervalle ]a, b[ privé d’un nombre fini de points telle que l’intégrale
converge.
Z
Si f est positive sur l’intervalle ]a, b[ privé d’un nombre fini de points alors
0.
f (t) dt
a
b
f (t) dt >
a
Corollaire 10. On suppose que −∞ 6 a < b 6 +∞ et que f et g sont deux fonctions
continues
sur Z
l’intervalle ]a, b[ privé d’un nombre fini de points telles que les intégrales
Z b
b
f (t) dt et
g(t) dt soient convergentes.
a
a
Z b
Si f 6 g sur ]a, b[ sauf peut-être en un nombre fini de points alors
f (t) dt 6
a
Z b
g(t) dt
a
27.5
Critères de convergences pour les fonctions positives
9
Proposition 11. On suppose que −∞ 6 a < b 6 +∞ et que f est une fonction continue
sur
Z b l’ intervalle ]a, b[ privé d’un nombre fini de points a1 , a2 , . . . , an telle que l’intégrale
f (t) dt converge.
a
Z b
Si f est positive sur l’intervalle ]a, b[ privé des points a1 , a2 , . . . , an et si
f (t) dt = 0
alors f est nulle sur l’intervalle ]a, b[ privé des points a1 , a2 , . . . , an .
27.5
a
Critères de convergences pour les fonctions positives
Les critères ci-dessous sont énoncés pour des fonctions continues sur un intervalle de
la forme [a, b[ donc pour des intégrales admettant une seule impropriété en b.
Il est aisé d’étendre ces critères aux intégrales admettant une impropriété en leur borne
inférieure, puis aux intégrales admettant un nombre fini d’impropriété.
Théorème . Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a, b[.
Z b
Z x
L’intégrale
f (t) dt converge si et seulement si x 7→
f (t) dt est majorée sur [a, b[.
a
27.5.1
a
Critère de convergence par inégalité
Proposition 12. Soient f et g deux fonctions continues sur l’intervalle [a, b[ telles que
0 6 f 6 g sur [a, b[.
Z b
Z b
(1) Si
f (t) dt diverge alors
g(t) dt diverge.
a
a
Z b
Z b
(2) Si
g(t) dt converge alors
f (t) dt converge.
a
a
Z
+∞
Exemple 11.
1
Z
Exemple 13.
0
27.5.2
π
2
cos2 t
dt
t2
Z
+∞
Exemple 12.
√
0
Z
1
dt
sin t
Exemple 14.
+∞
1
1 + et
2
e−t dt
0
Critère de convergence par équivalents
Proposition 13. Soient f et g deux fonctions continues et positives sur l’intervalle [a, b[.
Z b
Z b
Si f (x) ∼ g(x) alors les intégrales
f (t) dt et
g(t) dt sont de même nature.
(b)
a
a
Remarque 8. Si f et g sont continues sur une union de la forme [a, b[∪]b, c] alors la comparaison doit être faite en étudiant séparément les comportements à gauche et à droite de
b.
dt
10
Intégrales impropres
Z
Exemple 15.
π
2
Z
0
27.6
2
Exemple 16.
ln(sin t) dt
0
1
dt
√
|x(x − 1)|
Cas des fonctions de signe quelconque
Définition 4. Soit f une fonction continue sur un intervalle ]a, b[ privé d’un nombre
fini de points.
Z b
Z b
On dit que l’intégrale
f (t) dt converge absolument si l’intégrale
| f (t)| dt est
a
a
convergente
Z
b
Théorème . Si l’intégrale
Z
b
f (t) dt converge absolument alors
a
f (t) dt converge.
a
b
Z
Proposition 14. Si l’intégrale
f (t) dt converge absolument alors
a
Z
b
b
Z
f (t) dt 6
a
Z
Exemple 17.
1
+∞
| f (t)| dt
a
cos t
dt
t2
Remarque 9. Il existe des intégrales convergentes non absolument convergentes. Par exemple :
Z
+∞
sin t
dt
t
0
Exercice 3. Extrait EML 2003.
(1)
(a) Montrer, pour tout réel x ∈ [1; +∞[ :
Zx
1
Z
(b)
(2)
(a)
(b)
(c)
+∞
sin t
cos x
dt = cos 1 −
−
t
x
Zx
cos t
dt.
t2
1
sin t
En déduire que l’intégrale
dt est convergente.
t
0
1
Montrer, pour tout réel t ∈ [0; +∞[ : |sin t| > sin2 t = (1 − cos(2t)).
2
Z+∞
cos(2t)
Montrer que l’intégrale
dt converge.
2t
1
Z +∞
sin t
Déduire des deux questions précédentes que l’intégrale
dt n’est
t
0
pas absolument convergente.
27.7
27.6.1
Techniques de calcul
11
Critère de convergence par o
Proposition 15. Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a, b[.
On suppose que g est positive au voisinage de b et que f = o(g) au voisinage de b.
Z b
Z b
Si
g(t) dt converge alors
f (t) dt converge (absolument).
a
a
Z
Exercice 4. Montrer que pour tout entier n ∈ N, l’intégrale
gente.
27.7
27.7.1
+∞
tn e−t dt est conver-
0
Techniques de calcul
Intégration par parties
Z
b
f (t)g0 (t) dt on peut réaliser une intégration
Pour calculer une intégrale impropre
a
par parties sur le segment [a, x] (en revenant à des intégrales définies), puis étudier les
limites quand on fait tendre x vers b.
Proposition 16. Soit f et g deux fonctions de classe C 1 sur un intervalle [a, b[.
On
possède une limite finie en b. Alors les intégrales impropres
Z b suppose que fZ(x)g(x)
b
0
0
f (t)g (t) dt et
f (t)g(t) dt sont de même nature, et en cas de convergence, on a
a
a
Z
b
f (t)g0 (t) dt = lim f (x)g(x) − f (a)g(a) −
a
x→b
Exercice 5. Pour tout entier n ∈ N, on pose Γ(n) =
Montrer que Γ(n + 1) = nΓ(n) puis Γ(n) =!
Z
b
f 0 (t)g(t) dt.
a
Z
+∞
tn e−t dt.
0
Exercice 6. A l’aide d’une intégration parties, montrer que l’intégrale suivante
Z 1
ln(1 − x2 )
I=
dx
x2
0
converge et calculer sa valeur.
Exercice 7. Pour n ∈ N et a > 0 on pose
Z +∞
In (a) =
e−ax (sin x)n dx.
0
12
Intégrales impropres
Etablir une relation de récurrence entre In (a) et In−2 (a).
En déduire le calcul In (a).
Exercice 8. Extrait EML, 2006
(1) Justifier, pour tout n ∈ N :
2
tn e−t = o
1
.
t2
Z +∞
(+∞)
2
tn e−t dt est convergente.
−∞
Z +∞
2
(3) En déduire que, pour tout polynôme P de R[X], l’intégrale
P(t) e−t dt
−∞
converge.
Z +∞
√
2
On admet dans tout le problème :
e−t dt = π.
−∞
Z +∞
2
On note, dans tout le problème, pour tout n ∈ N : In =
tn e−t dt.
(2) Montrer que, pour tout n ∈ N, l’intégrale
−∞
(4) Établir, à l’aide d’une intégration par parties, pour tout n ∈ N :
I2p+1 = 0.
(2p)! √
π.
Montrer, pour tout p ∈ N : I2p = 2p
2 p!
In+2 =
n+1
In .
2
(5) Montrer, pour tout p ∈ N :
27.7.2
Changement de variable
Proposition 17. Soit f :]a, b[−→ R une fonction continue et ϕ :]α, β[−→]a, b[ une
fonction de classe C 1 bijective.
Z b
Z β
Les intégrales
f (t) dt et
f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt sont de même nature et en cas de convera
α
gence :
Z b
Z β
•
f (t) dt =
f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt si ϕ est strictement croissante,
a
α
Z b
Z β
•
f (t) dt = −
f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt si ϕ est strictement décroissante.
a
α
Exercice
9. A l’aide d’un
de variable, montrer que les intégrales I =
Z +∞
Z +∞changement
1
x2
dx et J =
dx sont égales et les calculer grace au changement
1 + x4
1 + x4
0
0
de variable x = et .
27.8
Exercices.
Utilisation de la définition
27.8
Exercices.
13
Exercice 10. Etudier la nature des intégrales impropres suivantes et calculer la valeur de
celles dont vous êtes assuré de leur convergence.
Z π
Z π
2
2
1
1
dx
(h)
dx
(a)
2x
sin
x
cos x
cos
0
Z0 +∞
Z 1
x
1
(b)
dx
(i)
dx
√
2
1
+
x
0
0
1−x
Z π
Z
1
2
sin x
(c)
dx
√
(j)
ln x dx
cos x
− π2
0
Z +∞
Z π
2
1
(d)
dx
(k)
tan x dx
x
−
1
2
Z 0+∞
Z 2
1
1
(l)
dx
(e)
dx où n ∈ N∗
n
2−x+1
x(ln
x)
x
0
√
Z 1+∞
Z
+∞ − x
(ln x)n
e
(f)
dx où n ∈ N∗
(m)
√ dx
x
x
0
Z1 +∞
Z
+∞
1
2
dx
(g)
(n)
x e−x dx
(x + 1)(x + 2)
0
0
Utilisation des critères de comparaison
Exercice 11. Etudier la nature des intégrales impropres suivantes en utilisant les critères
de comparaison (on ne demande pas la valeur des intégrales) :
√
Z 1
Z +∞ √
x
− x
(j)
dx
(a)
dx
e
ln(1
−
x)
0
0
Z +∞
Z 2
ln(x + x2 )
x
(k)
dx
(b)
√ dx
1
(1 + x2 ) x
0
1 (x − 1) 3
Z 1
Z +∞
| ln x|α
(l)
dx
(c)
sin(ln x) dx
2
0 1−x
Z1 +∞
Z +∞ 2
ln x
x
(d)
dx
(m)
dx
2−1
x
ln
x
0
Z 0 +∞
Z 1
x sin x
ln(sin x)
(e)
dx
(n)
dx
x2 + x + x
x
0
Z +∞
Z0 +∞
x ln x − sin x
ln x
dx
(f)
(o)
√ dx
1 + x2
0
(1
+
x) x
0
Z +∞ √
Z +∞ 2
x
ln x
(g)
dx
1
(p)
√ dx
x
0
e
x
0
Z +∞
Z
1
1
1−x
1
−
e
(h)
dx
2
(q)
dx
ln x
0
ln x
0
Z +∞
2
ln(1 + x )
(r)
(i)
dx
1 + x2
−∞
Z
Exercice 12. Pour quelles valeurs de a, l’intégrale
0
+∞
1
dx converge-t-elle ?
1 + xa
14
Intégrales impropres
Z
+∞
Exercice 13. Pour quelles valeurs de a, l’intégrale
xa e−x dx converge-t-elle ?
0
Z
+∞
Exercice 14. Pour quelles valeurs de a, l’intégrale
−∞
e−ax
dx converge-t-elle ?
1 + ex
Utilisation des formules d’intégration par parties et du changement de variable
Exercice 15. A l’aide d’un intégration parties, établir la convergence et calculer la valeur
de l’intégrale
!
Z +∞
1
I=
ln 1 + 2 dx
x
0
Exercice
16. A l’aide du changement de variable t = tan x, montrer que l’intégrale
Z π
2 √
tan x dx converge.
0
Exercice 17. A l’aide d’une intégration parties, établir la convergence et calculer la
valeur de l’intégrale
Z 1
ln(1 − x2 )
I=
dx
x2
0
Exercice 18. Etablir la convergence et calculer la valeur de l’intégrale
Z +∞
1
I=
dx.
(1 + x2 )2
0
On pourra commencer par écrire la trivialité 1 = 1 + x2 − x2 .
Exercice 19. A l’aide du changement de variable 2 − x = u2 , calculer l’intégrale
Z
2
ln x
dx après avoir établi sa convergence.
√
0
4 − 2x
Exercice 20. Montrer que l’intégrale I =
ler.
Z
1
√
1
1
dx converge et la calcu(x + 1)(x − 1)
27.8
En déduire l’intégrale I =
Z
b
√
a
Exercices.
15
1
dx
(x − a)(x − b)
Z
Exercice 21. Montrer que les intégrales
π
2
Z
ln(sin x) dx et
0
π
2
ln(cos x) dx sont conver0
gentes et les comparer.
!
Z π
2
sin 2x
Montrer que 2I =
ln
dx et en déduire la valeur de I
2
0
Exercice 22. Pour tout couple (p, q) d’entiers naturels, on pose I(p, q) =
1
Z
x p lnq x dx.
0
Montrer que I(p, q) est convergente puis, en utilisant une intégration parties, déterminer
une relation entre I(p, q) et I(p, q − 1) et calculer I(p, q).
+∞
1
dx.
Exercice 23. On se propose de calculer la valeur de
1
+
x3
0
Z +∞
1
(a) Montrer que
dx converge
1
+
x3
0
(b) Déterminer a, b, c tels que pour tout u , −1,
a
1
bu + c
=
+
1 + u3 1 + u u2 − u + 1
Z +∞
1
(c) Calculer la valeur de
dx.
1 + x3
0
Z
Z
+∞
Exercice 24. On se propose de calculer la valeur de
1
x3 ln x
dx.
(1 + x4 )3
(a) Déterminer a, b, c tels que pour tout u < {−1, 0},
1
a
b
c
= +
+
u(1 + u)2 u 1 + u (1 + u)2
(b) A l’aide d’une
intégration par parties et d’un changement de variable, montrer que
Z +∞
x3 ln x
l’intégrale
dx converge et calculer sa valeur.
(1 + x4 )3
1
Z
Exercice 25. On se propose de calculer la valeur de
π
4
cos x ln(tan x) dx.
0
(a) Déterminer a, b tels que pour tout u < {−1, 1},
a
b
1
=
+
2
1−u 1+u
1−u
16
Intégrales impropres
Z π
4
1
(b) A l’aide du changement de variable u = sin x, calculer l’intégrale
dx.
0 cos x
Z π
4
cos x ln(tan x) dx.
(c) Etablir la convergence et la valeur de l’intégrale
0
Z +∞
ln x
Exercice 26. L’intégrale
√ dx est convergente. En comparant les
(1
+
x)
0
Z 1x
Z +∞
ln x
ln x
intégrales
√ dx et
√ dx, déterminer la valeur de
(1 + x) x
0 (1 + x) x
1
Z +∞
ln x
√ dx.
(1 + x) x
0
Exercice 27. On pose f (x) =
Z
x
ln(cos t) dt.
0
1
(a) Montrer que : ∀u ∈]0, 1[, | ln u| 6 √
u
π
(b) En déduire que f (x) est défini pour 0 6 x 6 .
2
π
π
(c) Etablir la continuité de f sur 0,
et montrer qu’elle est de classe C 1 sur 0,
2
2π (d) Démontrer que pour tout x ∈ 0, ,
2
π x
π x
f (x) = x ln 2 + 2 f ( + ) − 2 f ( − )
4 2
4 2
Z π
2
ln(cos t) dt.
(e) En déduire la valeur de
0
Z
(n+1)π
| sin t|
dt.
t
(a) Déterminer lim un , puis donner un équivalent de un
Z +∞
| sin t|
(b) Etudier la nature de l’intégrale
dt.
t
0
Z +∞
sin t
dt converge (on pourra s’aider d’une
(c) Montrer néanmons que l’intégrale
t
0
intégration par parties).
Exercice 28. Pour tout n ∈ N∗ , on pose un =
nπ
+∞
Z
Exercice 29. Etudier la nature de l’intégrale
0
sin( e x ) dx. On pourra utiliser le chan-
gement de variable u = e x et utiliser l’exercice précédent.
27.8
Exercice 30. Pour tout n ∈ N∗ , on pose un =
1
Z
0
Exercice 31. Pour tout n ∈ N∗ , on pose In =
Z
Exercices.
17
xn ln x
dx. Déterminer lim un .
xn − 1
+∞
x2
xn e− 2 dx.
0
(a) Montrer que l’intégrale In est bien définie.
(b) Pour tout n ∈ N, calculer I2n et I2n+1 .
(c) Montrer que, pour tout n ∈ N∗ :
Z +∞
Z +∞
2
nx2
n+1 − nx2
(i)
x e
dx =
xn−1 e− 2 dx,
0
!
Z0
nx2
In+1
In
1 +∞ n
1
(ii) √ n+2 − √ n+1 =
x x + − 2 e− 2 dx,
2 0
x
n
n
√
(iii) et en déduire que 0 < nIn < In+1 .
2n
√
1
n
< nπ n < 1.
(d) Montrer que pour tout n ∈ N∗ : 1 −
2n
4
(e) Conclure.
Exercice 32. Cet√ exercice a pour objet d’établir la valeur de l’intégrale de Gauss :
Z
+∞
π
2
e−t dt =
.
2
0
Z 1
ht (x)
2 2
Pour tout x ∈ R et tout t ∈ [0, 1], on pose ht (x) = e−x (t +1) et g(x) =
dt
2
0 1+t
2
3
(a) Montrer que pour tout x ∈ R et tout t ∈ [0, 1], |h00t (x)| 6 4(4x2 + 1) e−x 6 16 e− 4 .
(b) A l’aide de la formule de Taylor avec reste intégral, montrer que
Z 1 0
ht (x)
g(x + u) − g(x)
lim
dt = 0
−
2
u→0
u
0 1+t
Z 1 0
ht (x)
et en déduire que g est dérivable et g0 (x) =
dt.
1
+ t2
0
!2
Z x
−t2
(c) On pose pour tout x ∈ R, f (x) =
e dt . Montrer que f est dérivable sur R
et que f 0 (x) + g0 (x) = 0.
0
(d) En déduire la valeur de f (x) + g(x).
(e) Calculer la limite lim g(x) et en déduire que
x→+∞
√
Z +∞
π
−t2
e dt =
2
0
Exercices divers.
18
Intégrales impropres
Exercice 33. Soit b ∈ R. On pose ϕ(x) = (x + b) e−x . On cherche les fonctions f continues sur R+ solutions du problème :
Z ∞
f (x) = ϕ(x) +
ϕ(x + t) f (t) dt.
0
(a) On pose F1 (x) = e−x et F2 (x) = x e−x . Montrer que (F1 , F2 ) est une famille libre
dans l’espace vectoriel des fonctions continues sur R+ .
(b) On
R ∞note E l’espace vectoriel engendré par F1 et F2 et Φ : f ∈ E 7→ g où g : x 7→
ϕ(x+t) f (t) dt. Montrer que Φ est bien définie, puis que c’est un automorphisme
0
de E. On pourra exprimer sa matrice dans la base (F1 , F2 ).
(c) Montrer que si f est continue sur R+ et est solution du problème alors f ∈ E.
(d) Déterminer les solutions du problème.
Exercice 34. Dans tout l’exercice, f désigne une fonction continue et bornée de R+ dans
R et (an )n∈N une suite à valeurs dans R+∗ qui converge vers 0.
Z +∞
an f (x)
dx.
Soit A ∈ R+ ; pour tout n ∈ N, on note : In (A) =
a2n + x2
A
(a) Etablir l’existence de In (A) pour tout n ∈ N.
Z +∞
an
(b) Pour n ∈ N, calculer :
dx.
2
an + x2
0
(c) On suppose dans cette question que A > 0. Montrer que lim In (A) = 0.
n→∞
(d) On suppose dans cette question que f (0) = 0.
Soit ε > 0. Montrer qu’il existe A > 0 tel que, pour tout n ∈ N :
Z
0
A
an f (x)
dx 6 ε
a2n + x2
En déduire que lim In (0) = 0.
n→+∞
π
(e) On ne suppose plus que f (0) = 0. Montrer que l’on a : lim In (0) = f (0).
n→+∞
2
√
Z +∞
n e− t
(f) Déterminer la limite de la suite de terme général un =
dt.
1 + n2 t 2
0
