listes d`exercices

Analyse I
2013–2014 – 1BM
Liste 1
Théorie naïve des ensembles & Espace euclidien Rd
Exercice 1. Nier les expressions suivantes :
(a) « Il fait beau tous les jours. »
(b) « Tous les lundis, je roule en VTT et je me douche. »
(c) « Tous les mardis, je joue au tennis ou au football. »
(d) « Certaines années, je joue au squash tous les mercredis. »
Exercice 2. Notons E l’ensemble des étudiants de l’ULg, et S l’ensemble des jours de la semaine.
Pour l’étudiant x ∈ E, on note hj (x) son heure de réveil le jour j ∈ S.
(a) Ecrire avec des quantificateurs la proposition : « Tout étudiant se réveille au moins un jour
de la semaine avant 7h. »
(b) Ecrire ensuite la négation de cette proposition avec des symboles mathématiques, puis en
français.
Exercice 3. Considérons la phrase « il a dit qu’il viendrait s’il ne pleut pas ». Peut-on affirmer
la phrase « il pleut, donc il ne viendra pas » ? Justifier.
Exercice 4. Considérons les deux phrases
– S’il ne lui dit pas, elle ne le découvrira pas ;
– Si elle ne demande pas, il ne lui dira pas.
En se basant sur ces phrases, peut-on affirmer la phrase « elle l’a découvert, donc elle a demandé
» ? Justifier.
Exercice 5. Si A et B sont des parties de l’ensemble X, établir que
{X (A ∩ B) = {X A ∪ {X B.
et
A 4 B = A ∩ {X B ∪ B ∩ {X A
où A 4 B désigne la différence symétrique de A et B, c’est-à-dire l’ensemble des éléments de
A ∪ B qui n’appartiennent pas à A ∩ B.
Exercice 6. Des parties Aj (j ∈ J) d’un ensemble A forment une partition de A si elles sont
non-vides, disjointes deux à deux et si leur union est égale à A.S
Soient A1 , . . . , An des parties de l’ensemble X. On note A = nj=1 Aj . Montrer que, si les ensembles


p−1
[
B 1 = A1 ,
Bp = Ap ∩ {A 
Aj  , p = 2, . . . , n,
j=1
ne sont pas vides, ils constituent une partition de A.
Exercice 7. Soient les ensembles A et B et soit l’application f : A → B.
(a) Si Bj ⊂ B pour tout j ∈ J, montrer que


[
[
f −1 
Bj  =
f −1 (Bj ).
j∈J
j∈J
(b) Si A0 ⊂ A, a-t-on toujours
f (A \ A0 ) = B \ f (A0 )?
Justifier. Si ce n’est pas le cas, déterminer une condition sur f pour l’obtenir.
Exercice 8. Montrer que, pour tout (x, y) ∈ [−1, 1] × [−1, 1], on a l’inégalité
p
p
x 1 − y 2 + y 1 − x2 ≤ 1.
Quand a-t-on l’égalité ?
Exercice 9. Si xk , yk ∈ Rd (k = 1, . . . , K avec K ∈ N0 ), montrer que

K
2
! K
K
X
X
X
hxk , yk i ≤
|xk |2 
|yj |2  .
k=1
j=1
k=1
Exercice 10.
(a) Si x et y sont des points de Rd différents de 0, démontrer que
x
y |x − y|
|x|2 − |y|2 = |x||y| .
(b) En déduire que
|x||y − z| ≤ |y||z − x| + |z||x − y|
d
pour tous x, y, z ∈ R .
Exercices proposés
Exercice 11. Nier les expressions suivantes :
(a) « Tous les lundis où il fait beau, je joue au tennis. »
(b) « Tous les lundis, s’il fait beau, je joue au tennis. »
(c) « Je joue au squash au moins une fois par semaine. »
Exercice 12. Si A et B sont des parties de l’ensemble X, établir que
{X (A ∪ B) = {X A ∩ {X B.
Exercice 13. Soit A, B et C, des parties de l’ensemble X, vérifier que
(A4B)4C = (C4A)4B
et
A4(X\A) = X.
Exercice 14. Soient A et B des parties de l’ensemble X. Montrer que A = B si et seulement si
A ∩ {X B ∪ B ∩ {X A = ∅.
Exercice 15. Si x et y sont deux points de Rd , démontrer que
|x + y|
|x|
|y|
≤
+
1 + |x + y|
1 + |x| 1 + |y|
et
1 + |x + y|2 ≤ 2 1 + |x|2
1 + |y|2 .
T. Kleyntssens et A. Deliège – Répétition 1
Analyse I
2013–2014 – 1BM
Liste 2
Borne supérieure, borne inférieure et distance
Exercice 1. Trouver, si elles existent, les bornes supérieures et inférieures des ensembles suivants et
établir si elles sont réalisées :
(a) {x ∈ R : x ≤ 2}
(c) {(−1)m /m : m ∈ N0 }
(b) {0} ∪ {x ∈ R : 3 < x < 4}
(d) {1 − 1/m : m ∈ N0 }
Exercice 2. Si a, b, c, d ∈ R tels que a < b et c < d, calculer la distance entre les ensembles ]a, b] et [c, d]
et établir si elle est réalisée.
Exercice 3. Soient x, y, z des points de Rn et notons d la distance euclidienne de Rn . Montrer que
d(x, y) = d(x, z) + d(z, y) si et seulement s’il existe r ∈ [0; 1] tel que z = rx + (1 − r)y.
Exercice 4.
(a) Soient A et B deux parties non vides et bornées de R. Montrer que si A et B sont inclus dans
]0, +∞[, alors on a sup (xy) = sup (x) sup (y).
x∈A,y∈B
x∈A
y∈B
(b) Soit A une partie non vide et bornée de R. Nous posons −A = {−a : a ∈ A}. Montrer que
sup (x) = − inf (y).
x∈−A
y∈A
(c) En déduire des points précédents que si A et B sont deux parties non vides et bornées de R telles
que A est inclus dans ]0, +∞[ et B est inclus dans ] − ∞, 0[ alors on a inf (xy) = sup (x) inf (y).
x∈A,y∈B
x∈A
y∈B
Exercice 5. Montrer que si E est un borné non vide de R, alors diam(E) = sup x − inf x.
x∈E
x∈E
Exercices proposés
Exercice 6. Trouver, si elles existent, les bornes supérieures et inférieures des ensembles suivants et
établir si elles sont réalisées :
(−1)k k
(a) ]10, 36]
(b)
:k∈N
(c) {x2 : x ∈] − 1, 1/2[}
k+1
Exercice 7. Soit B une partie non vide et bornée de Rd . Démontrer que l’ensemble
n
o
Br = x ∈ Rd : d(x, B) ≤ r
est borné quel que soit r ≥ 0. Etablir ensuite la relation
sup |x| = sup |y| + r.
x∈Br
y∈B
z
Suggestion : Pour montrer l’égalité, pensez que si z ∈ B alors z + r |z|
∈ Br et calculez sa norme.
Exercice 8. Montrer que, dans Rd , la distance d’un point x0 au plan
n
o
Π = x ∈ Rd : ha, xi + b = 0 , a ∈ Rd \{0}, b ∈ R,
est donnée par
d(x0 , Π) =
| ha, x0 i + b|
.
|a|
Exercice 9. Si a, b, c ∈ R tels que a < b , calculer la distance entre les ensembles {c} et ]a, b] et établir
si elle est réalisée.
Exercice 10. Déterminer inf{x2 − y : 0 < x ≤ 1 et 0 ≤ y < 1}.
T. Kleyntssens et A. Deliège – Répétition 2
Analyse I
2013–2014 – 1BM
Liste 3
Suites de base dans R, suites & suites récurrentes
Exercice 1 (Illustration de différentes méthodes de convergences). Considérons la suite (xj )j∈N0 définie
par xj = −1
j .
(a) Montrer que la suite (xj )j∈N0 est de Cauchy.
(b) En utilisant la définition de la convergence, montrer que la suite (xj )j∈N0 converge vers 0.
(c) Sans utiliser la définition de la convergence, montrer que la suite (xj )j∈N0 converge vers 0.
Exercice 2 (Illustration de la convergence vers l’infini).
(a) Trouver une suite réelle qui converge vers ∞ mais qui ne converge ni vers −∞, ni vers +∞.
(b) Considérons les suites (xj )j∈N et (yj )j∈N définies par
0 si j est pair
j si j est pair
xj =
yj =
j sinon
0 sinon .
Montrer que ces deux suites ne convergent pas vers ∞. Montrer que la suite (zj )j∈N définie par
zj = (xj , yj ) converge vers ∞.
Exercice 3. Etablir la convergence de la suite (xj )j∈N0 lorsque
p p
p 2j 2 + 5j + 1
(b) xj = j
j+1− j
(a) xj =
3j 2 + 1
p
p
(c) xj = j 2 + 2 − 3 j 3 + 3j
Exercice 4 (Suites de base).
(a) Pour tout a ∈ R, étudier la convergence de la suite (aj /j!)j∈N0 .
(b) Etudier la convergence de la suite (aj )j∈N0 pour toutes les valeurs réelles du paramètre a.
(c) Pour tout a > 0 fixé, étudier la convergence de la suite (a1/j )j∈N0 .
√
(d) Etudier la convergence de la suite ( j j)j∈N0 .
Exercice 5. Si a ∈ R, étudier la convergence des suites (xj )j∈N0 de terme général égal à
p
2
p
p
ln a
aj
(a) xj = πj (j!)π
+ 1)j ( 3 j + 1 − 3 j).
(g) xj = (
(d) xj =
2j
2
2
1+a
(j!)
(a + 1)j + 5
(b) xj =
p
j j
(e)
x
=
2
a
j
(2j)!
(h) xj = j − j 2 + 2
.
1 − (a + 1)j
j2
j2 + 2 j
(f) xj =
(c) xj = 2
a
(3a)j
j +j+1
Exercice 6. Etudier la convergence des suites (xj )j∈N0 de terme général égal à
2 !
1
1
j
1
(a) xj =
,
(c) xj =
, 1−
j j+1
j+1
j
p
j!
−1 (−1)j
j
2
j , j
,
(b) xj =
(d) xj = j,
.
j
j
j2
Exercice 7. Etablir que la suite (xj )j∈N définie par récurrence selon
√
p
x0 = 3 et xj+1 = 3 + 2xj , j ∈ N
converge vers 3.
Exercice 8. Etudier la convergence de la suite (xj )j∈N définie par récurrence selon
x0 > 0 et xj+1 =
xj (2x2j + 1)
,
x2j + 5
j ∈ N.
Exercice 9. Soit a ∈ R, étudier la convergence des suites (xj )j∈N0 de terme général égal à
(a) xj =
(b) xj =
j
X
k=0
j
X
k=1
1
j+k
j
(c) xj =
1X√
k
a
j
k=1
1
k(k + 1)
Exercices proposés
Exercice 10. Etablir la convergence de la suite (xj )j∈N0 lorsque
p
p
√
j3j
(a) xj = j 2 + j + 1 − j 2 − j + 1
(c)
x
=
j
p
(a − 1)2j − 1
(b) xj = j − 3 j 3 + j 2 .
Exercice 11. Etablir que la suite (xj )j∈N définie par récurrence selon
√
p
x0 = 2 et xj = 2 + xj−1 , j ∈ N0
converge vers 2.
Exercice 12. Etablir que, pour tout a > 0, la suite (rj )j∈N définie par récurrence selon
1
a
r0 > 0 et rj+1 =
rj +
, j∈N
2
rj
√
converge vers a.
Exercice 13. Etudier la convergence des suites (xj )j∈N définies par récurrence selon
xj
(a) x0 = −2 et xj+1 =
, j∈N
3 − xj
√
p
(b) x0 = 3 et xj+1 = 3 + 2xj , j ∈ N
(c) x0 = −2 et xj+1 =
2 + xj
,
1 + 2xj
j∈N
Exercice 14. Etudier la convergence des suites (xj )j∈N0 de terme général xj égal à
√
√
j
1 + a + ... + j a
2
1 X k√
(a) xj =
(a > 0)
(c)
x
=
k
j
j
j
k=1
(b) xj =
p
√
√
1
3
(1 + 2 + 3 + . . . + j j)
j
(d) xj =
j
X
k=0
1
.
(j + k)2
T. Kleyntssens et A. Deliège – Répétition 3-4
Analyse I
2013–2014 – 1BM
Liste 4
Notions de topologie
Exercice 1.
(a) Donner un exemple d’ensemble de Rd à la fois fermé et ouvert. Justifier la réponse.
(b) Donner un exemple d’ensemble de Rd qui n’est ni fermé ni ouvert. Justifier la réponse.
Exercice 2. Calculer Q◦ , Q• , Q− et R• .
Exercice 3. Si A et B sont deux parties non vides de Rd , montrer que
(A ∩ B)◦ = A◦ ∩ B ◦
et A−• ⊂ A• .
Exercice 4. Soit A une partie non vide de Rd . Démontrer que les ensembles
n
o
Aj = x ∈ Rd : d(x, A) ≤ 1/j , j ∈ N0
sont des fermés non vides dont l’intersection coïncide avec A− .
Exercice 5. Considérons les applications
v
u d
uX
d
d
d2 : R × R → R, (x, y) 7→ t (yi − xi )2
i=1
et
d∞ : Rd × Rd → R, (x, y) 7→
sup
|yi − xi |.
i∈{1,...d}
(a) Montrer que les applications d2 et d∞ sont des distances.
(b) Montrer que ce sont deux distances équivalentes.
(c) Dans le cas d = 2, représenter les boules unités Bd2 (0, 1) et Bd∞ (0, 1).
Exercice 6. Dans R, a-t-on
\
A∈{∅}
A=
\
A?
A∈∅
Exercices proposés
Exercice 7. Si A et B sont deux parties non vides de Rd , montrer que (A ∪ B)− = A− ∪ B − .
Exercice 8. Si E est une partie de Rd , montrer que l’on a E C = (E ◦ )c et simplifier l’expression E • .
Exercice 9. Soit A une partie non vide de Rd . Démontrer que les ensembles
n
o
Aj = x ∈ Rd : d(x, {A) > 1/j , j ∈ N0
sont des ouverts dont l’union est A◦ .
T. Kleyntssens et A. Deliège – Répétition 5
Analyse I
2013–2014 – 1BM
Liste 5
Les séries
Exercice 1. Étudier la convergence des séries suivantes :
j
+∞ +∞
+∞
X
X
X
√
1
(−1)j j
(b)
(c)
(a)
−
( 2)j
2
j3 + 1
j=1
j=1
j=1
(e)
+∞ 2
X
j +1
(f)
j!
j=1
+∞
X
(d)
+∞
X
(−1)j
j=1
j2 + 1
j3 + 1
+∞
X
j!
(g)
jj
j=1
je−j
j=1
Exercice 2. Étudier la convergence des séries suivantes, où a ∈ R, p ∈ N et q ∈ N0 :
(a)
(d)
+∞ j
X
a
j=1
+∞
X
j
,
j
(b)
p
Cj+p
aj , (e)
j=1
+∞ j
X
a
j=1
+∞
X
j=1
j
,
p
(c)
+∞
X
2
e−aj ,
j=1
+∞
X
j
j(a − 2)j
p
, (f)
.
q
(j + 1)(j + 2)
j3 + 1
j=1
Exercice 3. Étudier la convergence de la série
j
∞
X
j2 + 1
a+b
,
j(j + 1)2 a − b − 2
j=1
où a est un nombre réel et b un nombre entier.
Exercice 4. Étudier la convergence de la série
∞
X
j=1
jj
aj ,
(j + k)(j+k)
où a est un nombre réel et k un nombre entier positif.
Exercices proposés
Exercice 5. Étudier la convergence des séries suivantes, où a ∈ R, p ∈ Z et q ∈ N :
(a)
(e)
+∞
X
2j
(2j + j)j p
j=1
+∞ 2j
X
j=1
2 j! j
a
jj
+∞
X
(a − 2)j
√
(b)
2j aj 3j + 1
j=1
√
+∞ √
X
j + 1 − j (a − 2)j
(f)
jq
2j aj
j=1
+∞
X
(c)
(g)
j=1
+∞
X
j=1
j
+∞
X
j2 + 1
a+3
(d)
j(j + 1)2 a − 1
j=1
1
2j+1
(a − 3)j
2j aj
(h)
+∞
X
1 + j2
j=1
j!
(−a)j
Dans les cas où la (g) converge, calculer la valeur de la série.
Exercice 6. Soient P un polynôme réel et α un nombre réel ; Etudier la convergence des séries
(a)
+∞
X
j=1
1
j ln(j)
(b)
+∞
X
P (j)
j=1
(c)
j!
+∞
X
P (j)αj .
j=1
Exercice 7. Étudier la convergence de la série numérique suivante :
∞
X
3j j −x (x − 2)j
j=1
(5x − 3)j
pour toutes les valeurs réelles du paramètre x.
T. Kleyntssens et A. Deliège – Répétition 6-7
Analyse I
2013–2014 – 1BM
Liste 6
Limites et continuité dans Rd – Dérivabilité dans R
Exercice 1. Considérons la fonction
√
f (x) =
x2 + x + 1 −
x
√
x2 − x + 1
sign(x).
(a) Admet-elle des limites en 0 et à l’infini ? Si oui, calculer leurs valeurs.
(b) Admet-elle des limites en 0+ et 0− ? Si oui, calculer leurs valeurs.
Exercice 2. Si possible, calculer
√
3
x−1
lim √
4
x→1
x−1
et
√
3
x−1
lim √
.
4
x→−∞
x−1
Exercice 3. Considérons les fonctions f et g définies par
f (x, y) =
x
x2 + y 2
et g(x, y) =
x4 − 2x2 − 2y 2 + y 4
.
x2 + x2 y 2 + y 2
(a) Déterminer le domaine de définition et de continuité de ces fonctions.
(b) Admettent-elles des limites à l’origine et à l’infini ?
(c) Admettent-elles un prolongement continu sur R2 ? Justifier !
Exercice 4. Etudier la continuité de la fonction f définie sur R2 par
 2
 x − y2 α
x
si (x, y) ∈ R2 \{(0, 0)}
f (x, y) =
x2 + y 2

0
si (x, y) = (0, 0)
pour toutes les valeurs du paramètre naturel α.
Exercice 5. Si f est une fonction continue sur l’ensemble
B = (x, y) ∈ R2 : −x ≤ y ≤ x ,
où la fonction (x, y) 7→ f (y/x, y) est-elle continue ? Donner une représentation graphique de cet ensemble.
Exercice 6. On donne les fonctions définies par
√
p
x2 − 1
; f2 (x) = cos(2x) ; f3 (x) = sin(x)ln(x)
f1 (x) =
x
;
f4 (x) = arccos
1 − x2
1 + x2
.
Déterminer le domaine de définition, de continuité, de dérivabilité et calculer la dérivée première de ces
fonctions.
Exercice 7. La fonction
f : R → R; x 7→ x
p
|x|
est-elle continue et dérivable sur R ? Calculer sa dérivée. Cela étant, a-t-on f ∈ C1 (R) et f ∈ C2 (R) ?
Justifier.
Exercice 8. Sachant que f est une fonction continue sur [−1, 1], dérivable sur ] − 1, 1[ et de dérivée
donnée par
1
[D f ]x = √
, ∀x ∈] − 1, 1[
1 − x2
où la fonction
F (x) = f
1 − x2
1 + x2
est-elle définie, continue et dérivable ? Que vaut sa dérivée ?
Exercice 9. Démontrer qu’il existe un réel x tel que ex + x = 2.
Exercice 10. Si f : R 7→ R est continue sur R telle que f (R) ⊂ Z alors montrer que f est constant.
Exercice 11. Soient f et g des fonctions définies sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Si f (a) ≤ g(a) et
Df (x) ≤ Dg(x) pour tout x ∈]a, b[ alors f (x) ≤ g(x) pour tout x ∈]a, b[.
Exercices proposés
Exercice 12. Calculer, si cela a un sens,
lim xp log(log(x))
x→+∞
pour tout p ∈ Z.
Exercice 13. Calculer, si possible, les limites suivantes :
sin(x)
lim
x→+∞
x
;
sin(x)x
lim
x→−∞ sin(x) + π
;
√
x−1
.
lim √
x→+∞
x+1
Exercice 14. Considérons les fonctions
f1 (x, y) =
xy 2
+ y4
x2
et f2 (x, y) =
xy(xy − x − y)
.
x2 + y 2
(a) Déterminer le domaine de définition et de continuité de ces fonctions.
(b) Calculer, si cela à un sens,
lim
(x,y)→(0,0)
f1 (x, y)
;
lim
(x,y)→(0,0)
f2 (x, y)
;
lim
(x,y)→∞
f2 (x, y).
(c) Est-ce que ces fonctions admettent un prolongement continu sur R2 ? Justifier !
Exercice 15. Calculer la dérivée des fonctions suivantes en précisant les ouverts de dérivation.
p
p
arcsin( 1 − x2 ) ; tan(log(x)) ; log sin( 1 − x2 ) .
Exercice 16. Sachant que f est une fonction continue sur [−1, 1], dérivable sur ] − 1, 1[ et de dérivée
donnée par
1
Df (x) = √
,
1 − x2
√
où la fonction F définie par F (x) = f (2x 1 − x2 ) est-elle continue et dérivable ? Calculer sa dérivée.
T. Kleyntssens et A. Deliège – Répétition 8-9
Analyse I
2013–2014 – 1BM
Liste 7
Formules de Taylor et de Leibniz
Exercice 1. Soit f la fonction définie par f (x) = (x3 + 1)e−x . Calculer la dérivée D4 f et en déduire la
valeur de [D4 f ](−1).
Exercice 2. Soit f une fonction dérivable sur R vérifiant la relation Df = f . Etablir que f appartient
à C ∞ (R) et que pour tout K ∈ N, tous a, b0 , . . . , bK ∈ R et tout polynôme P , on a
"
!#
K
K
K
X
X
X
1 j
k
j
k
bk D [f (ax)P (x)] = f (ax)
D P (x) Dy
bk y
.
j!
j=0
k=0
k=0
y=a
Exercice 3. Définissons la fonction f par f (x) = arcsin(x) pour tout x ∈ [−1; 1]. Calculer Dn f (0) pour
tout n ∈ N.
Exercice 4. Développer la fonction x 7→ f (x) en série de puissances de (x − x0 ) pour
1
(a) f (x) = ln(1
√ + x)1sur [− 2 , 1] avec x0 = 0 ;
(b) f (x) = x sur [ 2 ; 2] avec x0 = 1.
Exercices proposés
Exercice 5. Montrer que
+∞
X
(−1)n 2n+1
(a) sin(x) =
x
pour tout x ∈ R.
(2n + 1)!
n=0
(b) cos(x) =
(c) eαx =
+∞
X
(−1)n 2n
x pour tout x ∈ R.
(2n)!
n=0
+∞ n
X
α n
x pour tout x ∈ R.
n!
n=0
T. Kleyntssens et A. Deliège – Répétition 11
Analyse I
2013–2014 – 1BM
Liste 8
Applications de la dérivation dans R : théorème de l’ouvert connexe,
théorème de l’Hospital, recherche d’extréma de fonctions réelles, ...
Exercice 1. Comparer les fonctions suivantes sur ] − π2 ; π2 [ :
1
1
et g : x 7→ arcch
.
f : x 7→ ln tg(x) +
cos(x)
cos(x)
Exercice 2. Comparer les fonctions suivantes sur R0 :
f : x 7→ arctg(x)
et
1
g : x 7→ arctg
.
x
Exercice 3. Montrer que pour tous x, y tels que 0 < y < x <
π
2,
on a
x−y
x−y
≤ tg(x) − tg(y) ≤
.
cos2 (y)
cos2 (x)
Exercice 4. Calculer, si elles ont un sens, les limites suivantes :
1
1
ln(x − 2)
x
(b) lim
(c) lim
(a) lim x
−
x→0 sin(x)
x
x→2− |2 − x|
x→0+
π
α x2
cotg(αx)
a
(d) lim+
(e) lim tgn
+
(f ) lim cos
n→+∞
x→+∞
4
n
x
x→0 cotg(βx)
avec α, β > 0 et a ∈ R.
Exercice 5. Soit la fonction f définie par
f (x) = lim
y→x
sin(y)
.
y
Déterminer son domaine de définition, continuité et de dérivabilité. Calculer sa dérivée première.
Exercice 6. Posons f (x) = x2 sin(x) + 2(x cos(x) − sin(x)), pour tout x ∈ R. Montrer qu’il existe une
infinité de maximum et minimum locaux mais aucun global.
Exercice 7. Démontrer que parmis tous les rectangles d’aire A > 0, celui qui a un périmètre minimum
est le carré. Calculer ce périmètre en fonction de A.
Exercices proposés
Exercice 8. Comparer les fonctions suivantes sur R :
2x
f : x 7→ arcsin
et
1 + x2
g : x 7→ arctg(x).
Exercice 9. Calculer, si elles ont un sens, les limites suivantes :
ln 1 + x1
tg(x) − sin(x)
x
(a) lim
(b) lim
(c) lim
ln(a + bcx )
x→−∞
x→+∞ α + βx2
x→0
2x3
x3
!x
1
x tg(x)
1 + ax
x −c
(d) limπ (2 − 2 )
(e) lim (a + bc ) x
(f ) lim+
x→+∞
x→ 2
π
2
x→0
avec a, b, c > 0, α ∈ R et β ∈ R0
Exercice 10. Démontrer que parmis tous les rectangles de périmètre P > 0, celui qui a une aire maximum
est le carré. Calculer cette aire en fonction de P .
T. Kleyntssens et A. Deliège – Répétition 11-12
Analyse I
2013–2014 – 1BM
Liste 9
Calculs de primitives
Primitiver les fonctions suivantes données de manière explicite (en spécifiant sur quels intervalles les
fonctions sont considérées) :
√
√
1
f1 (x) = x2 + x
f2 (x) = 2 − 3x
f3 (x) =
cos2 (x)
f4 (x) = x ex
x
x2 + 1
f5 (x) = x ex
2
f6 (x) = ln(x)
ln(x)
x
f8 (x) = x2 e2x
f9 (x) =
f10 (x) = x ln(3x)
f11 (x) = arctg(x)
f12 (x) = sin(x)ex
f13 (x) = π x
f14 (x) = xπ
√
f15 (x) = x2 1 + 8x3
f16 (x) = x sin(2x)
f17 (x) = sin2 (2x)
f18 (x) = cos3 (x)
f7 (x) = √
f19 (x) =
1
1 + x + x2
f20 (x) =
sin(2x)
1 + cos2 (x)
f21 (x) = tg2 (x)
f22 (x) =
x + 13
x2 − 4x − 5
f23 (x) =
x4
x2 + 3
f24 (x) =
f25 (x) =
x+1
1 + x2
f28 (x) = √
1
1 + x2
f31 (x) = x2 sin(x) cos(x)
x3 − x2 − x − 1
x(x2 + 1)(x + 1)2
√
f37 (x) = 1 + x2
f34 (x) =
sin2 (x)
cos4 (x)
√
f43 (x) = x2 − 1
f40 (x) =
2x
e
1 + ex
√
x2 + 1 + 1
f49 (x) = √
x2 + 1 − 1
cos(ln(x))
f52 (x) =
x
f46 (x) =
x3 − 2
x3 − x2
f27 (x) = sin |x|
f26 (x) = x|x|
√
2 x+x
f29 (x) =
x2
f30 (x) = arcsin(x)
f35 (x) = sin5 (x) cos3 (x)
1
x3 + x
√
f36 (x) = 1 − x2
√
f38 (x) = x 1 + x2
f39 (x) = √
f32 (x) =
x
(x2 + 1)2
f33 (x) =
1
1 − x2
1
f42 (x) =
3 + cos(x)
f41 (x) = sh3 (x)
f44 (x) = √
x2
1 + x2
r
x−1
f48 (x) = x
x+1
1
f45 (x) =
x2 − 1
e−x
f47 (x) =
1 + e−x
f50 (x) =
cos(x)
4 + 5 sin(x)
f51 (x) =
1
f53 (x) = q
x 1 − ln2 (x)
cos(x)
1 − cos(x)
f54 (x) = ex ch(x)
T. Kleyntssens et A. Deliège – Répétition 13
Analyse I
2013–2014 – 1BM
Liste 10
Equations différentielles
Exercice 1. Dans certaines conditions, la température de surface y d’un objet change au cours du temps
selon un « taux » proportionnel à la différence entre la température de l’objet et celle du milieu ambiant,
que l’on suppose constante et que l’on note y0 . On obtient ainsi l’équation différentielle
Dy = k(y − y0 )
où k est une constante strictement négative. Cette équation est appelée « Newton’s law of cooling » et est
utilisée notamment pour déterminer le temps entre la mort d’un individu et la découverte de son corps.
Résoudre cette équation et montrer que la température de l’objet se rapproche de la température ambiante
au fur et à mesure que le temps passe.
Exercice 2. L’oscillateur harmonique est un oscillateur idéal dont la fréquence ne dépend que des caractéristiques du système et dont l’amplitude est constante. L’intérêt d’un tel modèle est qu’il décrit
l’évolution de n’importe quel système physique au voisinage d’une position d’équilibre stable, ce qui en
fait un outil transversal utilisé dans de nombreux domaines : mécanique, électricité, électronique, optique.
Dans le cas de l’oscillateur harmonique simple, les forces dissipatives (par exemple la force de frottement)
sont négligées. Prenons l’exemple d’un ressort placé horizontalement auquel nous attachons une masse ; si
celle-ci est écartée légèrement de sa position d’équilibre et relâchée sans vitesse initiale, l’expérimentateur
constate que celle-ci se met à osciller autour de cette position d’équilibre. Si nous notons t ≥ 0 7→ x(t) la
fonction représentant l’évolution, au cours du temps, de la position de la masse, il est possible de montrer
que cette fonction vérifie l’équation différentielle
D2 x + w2 x = 0
où w est une constante strictement positive, appelée la fréquence du système. Résoudre cette équation.
Exercice 3 (EDLCC). Résoudre les équations différentielles suivantes :
(1) D2 u + 2Du + u = xe−x sur R
(2) (D3 − 1)u = x2 + cos(x) sur R
2ex
sur ]0, +∞[
(3) D2 u − u = x
e −1
(4) (D3 + D)u = πx + tg(x) sec(x) sur ] − π2 , π2 [
(5) D3 u − 2D2 u + Du = 1 + x2 sur R.
Exercice 4 (Equations d’Euler). Résoudre les équations différentielles suivantes :
(1) (xD)5 + (xD)4 − 2(xD)3 − 2(xD)2 + xD + 1 u = 0 sur ]0, +∞[
(2) (1 + x)2 D2 u + (1 + x)Du + u = x2 sur ] − 1, +∞[
(3) x3 D2 u − x2 Du − 3xu + 16 ln(x) = 0 sur ]0, +∞[
Exercice 5 (Equations du type Dx u = f (x, u)). Résoudre les équations différentielles suivantes :
2
1 − 2xuex
ex2
2
(2) (1 − (x + 1)cotg(u))Du = 2x
(1) Du =
(3) Du + x2 u = x2 avec la condition u(0) = 2
(4) Du = sin(x + u)
u u
u
(5) Du = ln
avec > 0 et la condition u(1) = e
x
x
x
(6) 2xuDu − u2 + x = 0 sur ]0; +∞[
(7) (x − 2xu − u2 )Du + u2 = 0
Exercice 6 (Equations linéaires en x, u à coefficients fonctions de Dx u). Résoudre les équations différentielles suivantes :
p
(1) x = 1 − (Du)2
p
(2) u = 1 − (Du)2
(3) u = (x + 1)Du − (Du)2
(4) 2u(Du + 2) = x(Du)2
Exercice 7 (Equations du type Dx2 u = f (x, u, Dx u)). Résoudre les équations différentielles suivantes :
(1) D2 u =
1
a+x
2
avec a ∈ R
(2) 4Du + (D u)2 = 4xD2 u
(3) uD2 u = (Du)2
(4) x (Du)2 + uD2 u = uDu sur ]0; +∞[
Exercice 8. Résoudre les équations différentielles suivantes :
2
(1) Du + 2xu = 2xe−x
(2) 3xDu = (1 + x sin(x) − 3u3 sin(x))u sur ]0, +∞[
√
(3) uDu = 4x u2 + 1 avec la condition u(0) = 1
ex + u
(4) Du = −
avec la condition u(0) = 1
2 + x + ueu
(5) xD2 u + Du = 0 sur ]0; +∞[
(6) uxDu = x2 + u2 sur ]0; +∞[
(7) u − xDu = (Du)3
(8) Du = u2 − 4
Exercices proposés
Exercice 9. Résoudre les équations différentielles suivantes :
(1) D2 u = u
(2) xD2 u + Du −
u
2x
=
sur ]1, +∞[
x
x−1
e3x
1 + e2x
(4) (D sin(x))Du − u sin(x) = 1 avec la condition u(0) = 0
u cos(xu) + 2x
(5) Du = −
x cos(xu)
(6) sin(x) Du = u ln(u)
(3) D3 u − 4Du = xe2x + sin(x) + x2 +
(7) x2 D2 u + (Du)2 − 2xDu = 0
(8) (D3 − iD2 + D − i)u = 2x2 cos(x) − 2x sin(x)
(9) x (Du)2 + uD2 u = uDu
(10) 3u2 Du − au3 = x + 1 où a est un paramètre réel non nul
(11) u + xDu = (Du)3
T. Kleyntssens et A. Deliège – Répétition 15-16-17-18
Analyse I
2013–2014 – 1BM
Liste 11
Calcul intégral dans R
Exercice 1. Calculer (si possible) les intégrales suivantes :
Z +∞
Z π2
(d)
(a)
sin(2x) cos(x) dx
1
0
Z
Z
0
R
Z
(c)
0
+∞
1
cos(ln(x)) dx
(e)
arctg(x) dx
(b)
dx
+x
x3
Z
dx
x3 + x
+∞
(f)
1
−2 + sin(x)
dx
x
Exercice 2. Soient α, β, γ ∈ R. Discuter selon les valeurs des paramètres l’existence des intégrales
suivantes :
Z +∞
Z +∞
Z 1
ln(xγ )
sin(x2 )
β
−x
(b)
x
e
−
1
dx
(c)
dx
dx
(a)
1 + xγ
xα
0
0
0
Exercice 3. Pour tous a > 0 et n ∈ N, calculer si possible l’intégrale
Z +∞
2
x2n e−ax dx.
0
Exercice 4. Pour tout n ∈ N0 , on pose
+∞
Z
tn exp(−xt)dt.
fn (x) =
0
Déterminer le domaine de définition An de fn . Montrer que l’on a, lorsque cela à un sens,
fn (x) =
n!
.
xn+1
Exercice 5. Si possible, calculer l’intégrale
+∞
Z
0
et en déduire que, pour tous a, b > 0, on a
Z +∞
0
ln(x)
dx
1 + x2
ln(ax)
π ln(ab)
dx =
.
x2 + b2
2b
Exercice 6. Calculer la limite
lim
m
m→+∞
m
X
k=1
1
k 2 + m2
!
.
Exercice 7. Montrer que si f ∈ C 0 ([0; 1]) est une fonction positive telle que
Z
1
f dx =
√
3
4,
0
alors il existe x0 ∈]0; 1[ tel que 1 + x0 < f (x0 ) < ex0 . Remarquons que l’on a 1.587 <
√
3
4 < 1.5875.
Exercices proposés
Exercice 8. Calculer (si possible) les intégrales suivantes :
Z π4
Z ln(2)
√
(a)
x sin(x) dx
(f)
ex − 1 dx
0
Z
0
π
(g)
sec(x) dx
(b)
0
0
Z
+∞
(c)
1
Z
2
Z
ln (x)
dx
x2
R
1
(i)
0
dx
x2 + x + 1
π
2
Z
+∞
cos(x) ln(sin(x)) dx
(j)
ln |x − 1| dx
(e)
+∞
Z
0
Z
x
arctg(x) dx
(1 + x2 )2
eix e−|x| dx
(h)
ln |x − 1| dx
(d)
+∞
Z
π
4
1
Exercice 9.
(a) Pour quelles valeurs du paramètre réel α, la fonction
x 7→ (1 − x)α ln(x)
est-elle intégrable sur ]0, 1[ ?
(b) Pour quelles valeurs du paramètre réel β, la fonction
x 7→
xβ
1+x
est-elle intégrable sur ]0, +∞[ ?
Exercice 10. Calculer si possible, pour tout n ∈ N, l’intégrale
Z 1
In =
lnn (x) dx.
0
Exercice 11. Calculer si possible les intégrales
Z
π
2
Z
ln(sin(x)) dx et
0
π
2
ln(cos(x)) dx
0
Suggestion. Montrer que ces intégrales sont égales et en calculer la somme.
Exercice 12. Calculer la limite
lim
m→+∞
1 · 22 · 33 · . . . · mm
mm(m+1)/2
1/m2
.
T. Kleyntssens et A. Deliège – Répétition 19-20
Analyse I
2013–2014 – 1BM
Liste 12
Fonctions dérivables de Rd
Exercice 1. Montrer que la fonction définie par
f : (x, y) ∈ R2 7→
xy
x2 +y 2
si (x, y) 6= (0, 0)
sinon
0
est dérivable sur R2 .
Exercice 2. Soit la fonction f définie par
f (x, y) = xy + x g
y
x
où g ∈ C1 (R). Etablir que
x Dx f (x, y) + y Dy f (x, y) = xy + f (x, y).
Exercice 3. Si f ∈ C0 (B) ∩ C1 (B ◦ ) avec B = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0} est tel que
Dx f (x, y) = −iDy f (x, y) =
1
.
x + iy
Où la fonction g définie par
g(x, y) = f (x2 − y 2 , 2xy)
est-elle continue et de classe C1 ? Donner une représentation graphique de ces ensembles. Calculer les
dérivées de g. A-t-on encore Dx g = −iDy g ?
Exercice 4. Soit la fonction f définie par
f (x, y) = ln
p
x2 + y 2 .
Montrer que f ∈ C 2 (R2 \{(0, 0)}. Déterminer l’expression explicite de
Dx2 f (x, y) + Dy2 f (x, y).
Exercice 5. Là où elles sont définies, comparer les fonctions
f1 (x, y) = arcsin(2x2 y 2 − 1)
f2 (x, y) = arcsin(xy).
et
Exercices proposés
Exercice 6. Soit la fonction f définie par f (x, y, z) = ln(x3 + y 3 + z 3 − 3xyz). Donner le domaine de
dérivabilité de cette fonction et démontrer que
Dx f + Dy f + Dz f =
3
.
x+y+z
Exercice 7. Sachant que f est une fonction continue sur {(x, y) : y ≥ x > 0} et dérivable sur
{(x, y) : y > x > 0} de dérivée données par
[Dx f ](x,y) =
x2
−y
p
y 2 − x2
Où la fonction
et
[Dy f ](x,y) =
1
1
,
)
x+y x−y
est-elle définie, continue et dérivable ? Calculer ses dérivées.
F (x) = f (
x
x2
p
y 2 − x2
Exercice 8. Sachant que f est une fonction continue sur l’ensemble {(x, y) ∈ R2 : |xy| ≤ 1} et continûment dérivable sur {(x, y) ∈ R2 : |xy| < 1}, de dérivées données par
y
Dx f (x, y) = p
1 − x2 y 2
et Dy f (x, y) = p
x
1 − x2 y 2
,
où la fonction F définie par
F (x, y) = f
1
p
1 − x2 y 2
!
2 2
,1 − x y
est-elle définie, continue et continûment dérivable ? Calculer ses dérivées.
Exercice 9. Dans R2 , comparer les fonctions
(x, y) 7→ arctg(x) + arctg(y) et (x, y) 7→ arctg
x+y
1 − xy
.
T. Kleyntssens et A. Deliège – Répétition 21
Analyse I
2013–2014 – 1BM
Liste 13
Opérateurs de dérivation et changements de variable
Exercice 1. Notons H l’opérateur de dérivation sur R2 définit par
H = xDx + yDy
et f une application C 1 (Ω) où Ω est un ouvert contenant {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}.
(a) Montrer que si g est l’application définie par
!
y
x
g : (x, y) 7→ f p
,p
x2 + y 2
x2 + y 2
alors g ∈ C 1 (R2 \{(0, 0)}) et H(g) = 0.
(b) Montrer que les opérateurs de dérivation H et Dx ne commutent pas.
Exercice 2. Etablir que
x = ξ(1 − η)
y = ξη
est un changement de variable d’ordre infini entre l’ouvert Ω = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0} et l’ouvert
Ω0 = {(ξ, η) ∈ R2 : ξ > 0, 0 < η < 1}. Que deviennent les opérateurs de dérivation Dx − Dy et xDx + yDy
dans ce changement de variable ?
Exercice 3. Etablir que

 x
y

z
= u(1 − v)
= uv(1 − w)
= uvw
est un changement de variable d’ordre infini entre l’ouvert Ω = {(x, y, z) ∈ R3 : x > 0, y > 0, z > 0} et un
ouvert Ω0 à déterminer. Que devient l’intérieur du tétraèdre de sommets (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)
lors de ce changement de variable ?
Exercice 4. Montrer que les relations
x = u2 + v 2
y =u+v
définissent un changement de variable régulier d’ordre infini entre les ouverts Ω = {(x, y) ∈ R2 : y 2 < 2x}
et Ω0 = {(u, v) ∈ R2 : u > v}. Que devient l’opérateur de dérivation
p
P (x, y, Dx , Dy ) = y − 2x − y 2 Dx + Dy
au cours de cette transformation ?
Exercice 5. Soit c > 0. Utiliser le changement de variable
ξ = x + ct
η = −x + ct
pour transformer et résoudre l’équation d’onde
Dt2 y(x, t) = c2 Dx2 y(x, t).
Exercices proposés
Exercice 6. Etudier le changement de variable

1

(α − β)
 x=
2a

 y = 1 (α + β)
2
où a ∈ R\{0}. Que devient l’ouvert ω = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0} et l’opérateur Dx2 − a2 Dy2 au cours
de cette transformation ?
Exercice 7. Soit l’ouvert ω = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0} et le changement de variable
(
x = uv
1
y=
v
Déterminer le plus grand ouvert connexe Ω incluant ω que ce changement de variable met en bijection
avec un ouvert Ω0 de R2 . Rechercher l’image de ω et la forme que prend l’opérateur
1 2
D + xyDx + (1 − y 2 )Dy + x2 y.
y x
Exercice 8. Etudier le changement de variable donné par les relations

u

 x= 2
u + v2
.
v

 y=
u2 + v 2
Que deviennent l’ouvert ω =]0, 1[×]0, 1[ et l’opérateur de dérivation Dx2 + Dy2 au cours de cette transformation ?
T. Kleyntssens et A. Deliège – Répétition 22
Analyse I
2013–2014 – 1BM
Liste 14
Intégration sur une partie de Rd
Exercice 1.
(a) Soit A = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < 1, 0 < y < x2 }. Calculer, si possible, l’intégrale
ZZ
y
p
dxdy.
2
x + y2
A
(b) Soient a, b > 0 et soit l’ensemble
y2
x2
2
B = (x, y) ∈ R : x ≥ 0, y ≥ 0, 2 + 2 ≤ 1 .
a
b
Calculer, si possible, l’intégrale
ZZ
x3 + y 3 dxdy.
B
Exercice 2. Considérons la fonction
f : (x, y) 7→
x2 − y 2
(x2 + y 2 )2
(a) Montrer que, pour tout x ∈]0; 1[, la fonction y 7→ f (x, y) est intégrable sur ]0; 1[ et calculer la
valeur de son intégrale.
R1
(b) Montrer que la fonction x 7→ 0 f (x, y)dy est intégrable sur ]0; 1[ et calculer la valeur de son
intégrale.
(c) Montrer que, pour tout y ∈]0; 1[, la fonction x 7→ f (x, y) est intégrable sur ]0; 1[ et calculer la
valeur de son intégrale.
R1
(d) Montrer que la fonction y 7→ 0 f (x, y)dx est intégrable sur ]0; 1[ et calculer la valeur de son
intégrale.
(e) Que pouvons-nous en déduire sur l’intégrabilité de f sur ]0; 1[×]0; 1[ ?
Exercice 3. Calculer, si possible, l’intégrale
Z +∞ Z +∞
−y
xe
0
2x
sin(y)
dy dx.
y2
Exercice 4.
(a) Soit Ω = ]0, +∞[×]0, +∞[. Montrer que la fonction f définie par
f (x, y) =
1
(1 + y)(1 + yx2 )
est intégrable sur Ω et calculer son intégrale.
(b) En déduire que la fonction
ln(x)
x2 − 1
est intégrable sur ]0, +∞[ et la valeur de son intégrale.
x 7→
Exercice 5. En utilisant le changement de variable

 x = u(1 − v)
y = uv(1 − w)

z = uvw
calculer, si possible, l’intégrale
ZZZ
xdxdydz
A
où A est le tétraèdre de sommets (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).
Exercice 6. Calculer la mesure de l’ensemble
E = {(x, y) ∈ R2 : (x − 2y + 3)2 + (3x + 4y − 1)2 ≤ 4}.
Exercice 7. Calculer, si possible, l’intégrale
ZZ
x4 − y 4 dxdy,
E
où E = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0, 1 < xy < 2, 1 < x2 − y 2 < 2}.
Exercice 8. Soit R > 0 et soit l’ensemble
E = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 , x ≥ 0, y ≥ 0}.
Calculer, si possible, l’intégrale
ZZZ
e−
√
x2 +y 2 +z 2
dxdydz.
E
Exercices proposés
√
Exercice 9. Soit C = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ inf{x, 1 − x2 } . Calculer, si possible, l’intégrale
ZZ
(x + y) dxdy.
C
Exercice 10. Soient les ensembles A et B donnés par
Calculer, si possible, les intégrales
ZZ
e
−xy
ZZ
x2 e−xy dxdy.
dxdy,
A
B
Exercice 11. Soit a > 0. En supposant que la fonction f est intégrable sur l’ensemble d’intégration
considéré, permuter l’ordre d’intégration de l’intégrale
!
Z
Z √
a
0
ax
√
f (x, y) dy dx.
ax−x2
Exercice 12. Soit a > 0 et b ∈]0; π2 [. En supposant que la fonction f est intégrable sur l’ensemble
d’intégration considéré, permuter l’ordre d’intégration de l’intégrale
!
Z
Z √ 2 2
a −x
a cos(b)
f (x, y) dy dx.
0
x tan(b)
Exercice 13. Calculer la mesure de l’ensemble
E = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 1, x2 + y 2 ≤ 4}
T. Kleyntssens et A. Deliège – Répétition 23-24
Analyse I
2013–2014 – 1BM
Liste 15
Dérivation des intégrales paramétriques
Exercice 1. La première intégrale eulérienne est la fonction
Z +∞
e−x xt−1 dx.
Γ : ]0, +∞[ → ]0, +∞[ : t 7→
0
(a) Montrer que cette fonction est bien définie.
(b) Montrer que Γ > 0 sur ]0, +∞[ et calculer Γ(1) et Γ(1/2).
(c) Vérifier qu’on a la formule de multiplication
Γ(t + 1) = t Γ(t),
t>0
et en particuler, Γ(n + 1) = n! pour n ∈ N.
(d) Montrer que Γ est indéfiniment continûment dérivable sur ]0, +∞[ et que
k
Z
D Γ(t) =
+∞
e−x xt−1 lnk (x) dx,
t > 0,
0
pour tout k ∈ N0 .
(e) Montrer que la fonction DΓ est strictement croissante et s’annule en un unique point a ∈]1; 2[.
(f) Etablir que
lim Γ(t) = +∞ ,
t→+∞
lim tΓ(t) = 1
t→0+
et
lim Γ(t) = +∞.
t→0+
Exercice 2. Etablir que, pour tout a > 0 et tout b ≥ 0, on a
r
Z +∞
1 π −2√ab
−(ax2 +b/x2 )
e
dx =
e
2 a
0
Exercice 3. Etablir que
Z
0
t
ln(1 + tx)
1
dx = arctg(t) ln(1 + t2 )
1+x
2
pour tout t ≥ 0.
Exercices proposés
Exercice 4. Etablir que pour tous a, b ∈ R, p > 0, on a
Z +∞
cos(ax) − cos(bx) −px
1 p2 + b2
e
dx = ln 2
.
x
2 p + a2
0
Exercice 5. Etablir que pour tous a, b > 0, on a
Z +∞
arctg(ax) − arctg(bx)
π a
dx = ln .
x
2
b
0
T. Kleyntssens et A. Deliège – Répétition 25-26
Analyse I
2013–2014 – 1BM
Liste 16
Chemins et courbes
Exercice 1. Si a > 0, calculer la longueur de la courbe
9x5
, 0 ≤ x ≤ a}.
10
Γ = {(x, y, z) ∈ R3 : y = x3 , z =
Exercice 2. Si a > 0, calculer l’intégrale
Z
(x + y)ds
Γ
p
où Γ représente la boucle de la lemniscate d’équation polaire ρ(w) = a cos(2w), w ∈ [−π/4; π/4].
Exercice 3. Calculer l’intégrale curviligne
Z (x + y)dx − (x − y)dy
x2 + y 2
Γ
où Γ est la circonférence de rayon R > 0 centrée à l’origine.
Exercice 4. Calculer l’intégrale curviligne
Z
2
2(x + y 2 ) dx + (x + y) dy
∂K +
où K est le compact délimité par les droites y = x, x = 1 et y = −x + 4.
Exercices proposés
Exercice 5. Si a, b > 0, calculer la longueur de la courbe
Γ = {b (cos(u) + u sin(u), sin(u) − u cos(u), 0) : 0 ≤ u ≤ a} .
Solution :
a2 b
2 .
Exercice 6. Si a, b > 0, calculer l’intégrale
Z
xy ds
Γ
2
2
où Γ = {(x, y) ∈ R2 : xa2 + yb2 = 1, x > 0, y > 0}.
ab
Solution : 3(a+b)
(a2 + ab + b2 ).
Exercice 7. Calculer l’intégrale curviligne
Z
[(y − z)dx + (z − x)dy + (x − y)dz]
Γ
où Γ est la spire de représentation paramétrique
γ(ω) = (a cos(ω), a sin(ω), bω) ,
ω ∈ [0, 2π]
avec a, b > 0.
Solution : −2πa(a + b).
Exercice 8. Si K = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ R2 , calculer l’intégrale curviligne
Z
2
−x y dx + xy 2 dy .
∂K +
Solution :
1
4
2 πR
T. Kleyntssens et A. Deliège – Répétition 27
Analyse I
2013–2014 – 1BM
Liste 17
Couvertures et surfaces – Volumes
Exercice 1. Si a > 0, calculer l’aire de la surface plane délimitée par la cardioïde de représentation
paramétrique
γ(u) = a(2 cos(u) − cos(2u), 2 sin(u) − sin(2u)), u ∈ [0, 2π].
Exercice 2. Si S désigne la surface du cube [0, 1]3 , calculer l’intégrale de surface
ZZ
(x + y + z) dσ.
S
Exercice 3. Etant donné R > 0, calculer le volume de la surface cylindrique
{(x, y, z) ∈ R : 0 ≤ z ≤ R, x2 − Rx + y 2 = 0}
interceptée par le cône de sommet S = (0, 0, R) et de base
{(x, y, 0) ∈ R : x2 + y 2 = R2 }.
Exercice 4. Calculer le volume du corps limité par l’hyperboloïde à une nappe d’équation
y2
z2
x2
+
−
=1
a2
a2
b2
et les plans z = 0 et z = H (a, b, H > 0).
Exercice 5. Vérifier la formule d’Ostrogradsky pour la fonction vectorielle f définie par
f (x, y, z) = (x, y, z)
et le compact K = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 } avec R > 0.
Exercice 6. Soient R, h > 0. Vérifier la formule de Stokes pour la fonction vectorielle f définie par
f (x, y, z) = (x2 y, 0, xyz)
et la surface S composée de la portion du cylindre x2 + y 2 = R2 limitée par les plans z = 0 et z = h.
Exercices proposés
Exercice 7. Calculer l’aire de la portion de la sphère d’équation x2 + y 2 + z 2 = a2 , intérieure au cylindre
2
2
d’équation xa2 + yb2 = 1 (a > b > 0).
Solution : 8a2 arcsin ab .
Exercice 8. Calculer l’intégrale de surface
ZZ
(x2 + y 2 ) dσ
S
où S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = a2 } (a > 0).
4
Solution : 8πa
3 .
Exercice 9. Calculer le volume du corps Ω délimité par le plan z = 0, le cylindre x2 + y 2 = 1 et le
paraboloïde z = x2 + 2y 2 .
Solution : 3π
4 .
T. Kleyntssens et A. Deliège – Répétition 27-28
Analyse I
2013–2014 – 1BM
Liste 18
Extrema dans Rd et théorème du point fixe
Exercice 1. Soit a ∈ R. Rechercher les extrema de la fonction
f : R2 → R : (x, y) 7→ x3 + y 3 − 3axy.
Exercice 2. Etablir que les angles x, y, z d’un triangle vérifient toujours l’inégalité
√
cos(x) + 2(cos(y) + cos(z)) ≤ 2.
Existe-t-il des triangles où l’égalité a lieu ? Si oui, donner un exemple.
Exercice 3. En utilisant le théorème du point fixe, montrer que l’équation
ln(2ex) = cos(x)
possède une unique solution λ dans l’intervalle ]0; π/2] et déterminer une fonction f telle que la suite
(xm )m∈N définie par
x0 ∈]0; π/2]
xm+1 = f (xm ) si m ≥ 1
converge vers λ.
Exercices proposés
Exercice 4. Soient a, b > 0. Rechercher les extrema de la fonction
2
f : R2 → R : (x, y) 7→ (ax2 + by)e−(x
+y 2 )
Solution :
– x = y = 0 : minimum strict
– x = 0, y = ±1 : si a < b maximum strict ; si a > b pas d’extremum
– x = ±1, y = 0 : si a > b maximum strict ; si a < b pas d’extremum
– {(x, y) : x2 + y 2 = 1} : maximum
T. Kleyntssens et A. Deliège – Répétition 29