listes d`exercices

Analyse I 2013–2014 – 1BM
Liste 1
Théorie naïve des ensembles & Espace euclidien Rd
Exercice 1. Nier les expressions suivantes :
(a) « Il fait beau tous les jours. »
(b) « Tous les lundis, je roule en VTT et je me douche. »
(c) « Tous les mardis, je joue au tennis ou au football. »
(d) « Certaines années, je joue au squash tous les mercredis. »
Exercice 2. Notons El’ensemble des étudiants de l’ULg, et Sl’ensemble des jours de la semaine.
Pour l’étudiant x∈E, on note hj(x)son heure de réveil le jour j∈S.
(a) Ecrire avec des quantificateurs la proposition : « Tout étudiant se réveille au moins un jour
de la semaine avant 7h. »
(b) Ecrire ensuite la négation de cette proposition avec des symboles mathématiques, puis en
français.
Exercice 3. Considérons la phrase « il a dit qu’il viendrait s’il ne pleut pas ». Peut-on affirmer
la phrase « il pleut, donc il ne viendra pas » ? Justifier.
Exercice 4. Considérons les deux phrases
– S’il ne lui dit pas, elle ne le découvrira pas ;
– Si elle ne demande pas, il ne lui dira pas.
En se basant sur ces phrases, peut-on affirmer la phrase « elle l’a découvert, donc elle a demandé
» ? Justifier.
Exercice 5. Si Aet Bsont des parties de l’ensemble X, établir que
{X(A∩B) = {XA∪{XB. et A4B=A∩{XB∪B∩{XA
où A4Bdésigne la différence symétrique de Aet B, c’est-à-dire l’ensemble des éléments de
A∪Bqui n’appartiennent pas à A∩B.
Exercice 6. Des parties Aj(j∈J) d’un ensemble Aforment une partition de Asi elles sont
non-vides, disjointes deux à deux et si leur union est égale à A.
Soient A1, . . . , Andes parties de l’ensemble X. On note A=Sn
j=1 Aj. Montrer que, si les en-
sembles
B1=A1, Bp=Ap∩{A
p−1
[
j=1
Aj
, p = 2, . . . , n,
ne sont pas vides, ils constituent une partition de A.
Exercice 7. Soient les ensembles Aet Bet soit l’application f:A→B.
(a) Si Bj⊂Bpour tout j∈J, montrer que
f−1
[
j∈J
Bj
=[
j∈J
f−1(Bj).

(b) Si A0⊂A, a-t-on toujours
f(A\A0) = B\f(A0)?
Justifier. Si ce n’est pas le cas, déterminer une condition sur fpour l’obtenir.
Exercice 8. Montrer que, pour tout (x, y)∈[−1,1] ×[−1,1], on a l’inégalité
xp1−y2+yp1−x2≤1.
Quand a-t-on l’égalité ?
Exercice 9. Si xk, yk∈Rd(k= 1, . . . , K avec K∈N0), montrer que
K
X
k=1
hxk, yki
2
≤ K
X
k=1
|xk|2!
K
X
j=1
|yj|2
.
Exercice 10.
(a) Si xet ysont des points de Rddifférents de 0, démontrer que
x
|x|2−y |y|2
=|x−y|
|x||y|.
(b) En déduire que
|x||y−z|≤|y||z−x|+|z||x−y|
pour tous x, y, z ∈Rd.
Exercices proposés
Exercice 11. Nier les expressions suivantes :
(a) « Tous les lundis où il fait beau, je joue au tennis. »
(b) « Tous les lundis, s’il fait beau, je joue au tennis. »
(c) « Je joue au squash au moins une fois par semaine. »
Exercice 12. Si Aet Bsont des parties de l’ensemble X, établir que
{X(A∪B) = {XA∩{XB.
Exercice 13. Soit A, B et C, des parties de l’ensemble X, vérifier que
(A4B)4C= (C4A)4Bet A4(X\A) = X.
Exercice 14. Soient Aet Bdes parties de l’ensemble X. Montrer que A=Bsi et seulement si
A∩{XB∪B∩{XA=∅.
Exercice 15. Si xet ysont deux points de Rd, démontrer que
|x+y|
1 + |x+y|≤|x| 1 + |x|+|y| 1 + |y|et 1 + |x+y|2≤21 + |x|21 + |y|2.
T. Kleyntssens et A. Deliège – Répétition 1

Analyse I 2013–2014 – 1BM
Liste 2
Borne supérieure, borne inférieure et distance
Exercice 1. Trouver, si elles existent, les bornes supérieures et inférieures des ensembles suivants et
établir si elles sont réalisées :
(a) {x∈R:x≤2}
(b) {0}∪{x∈R: 3 <x<4}
(c) {(−1)m/m :m∈N0}
(d) {1−1/m :m∈N0}
Exercice 2. Si a, b, c, d ∈Rtels que a<bet c < d, calculer la distance entre les ensembles ]a, b]et [c, d]
et établir si elle est réalisée.
Exercice 3. Soient x, y, z des points de Rnet notons dla distance euclidienne de Rn. Montrer que
d(x, y) = d(x, z) + d(z, y)si et seulement s’il existe r∈[0; 1] tel que z=rx + (1 −r)y.
Exercice 4.
(a) Soient Aet Bdeux parties non vides et bornées de R. Montrer que si Aet Bsont inclus dans
]0,+∞[, alors on a sup
x∈A,y∈B
(xy) = sup
x∈A
(x) sup
y∈B
(y).
(b) Soit Aune partie non vide et bornée de R. Nous posons −A={−a:a∈A}. Montrer que
sup
x∈−A
(x) = −inf
y∈A(y).
(c) En déduire des points précédents que si Aet Bsont deux parties non vides et bornées de Rtelles
que Aest inclus dans ]0,+∞[et Best inclus dans ]− ∞,0[ alors on a inf
x∈A,y∈B(xy) = sup
x∈A
(x) inf
y∈B(y).
Exercice 5. Montrer que si Eest un borné non vide de R, alors diam(E) = sup
x∈E
x−inf
x∈Ex.
Exercices proposés
Exercice 6. Trouver, si elles existent, les bornes supérieures et inférieures des ensembles suivants et
établir si elles sont réalisées :
(a) ]10,36] (b) (−1)kk
k+ 1 :k∈N(c) {x2:x∈]−1,1/2[}
Exercice 7. Soit Bune partie non vide et bornée de Rd. Démontrer que l’ensemble
Br=nx∈Rd: d(x, B)≤ro
est borné quel que soit r≥0. Etablir ensuite la relation
sup
x∈Br
|x|= sup
y∈B
|y|+r.
Suggestion : Pour montrer l’égalité, pensez que si z∈Balors z+rz
|z|∈Bret calculez sa norme.
Exercice 8. Montrer que, dans Rd, la distance d’un point x0au plan
Π = nx∈Rd:ha, xi+b= 0o, a ∈Rd\{0}, b ∈R,
est donnée par
d(x0,Π) = | ha, x0i+b|
|a|.
Exercice 9. Si a, b, c ∈Rtels que a<b, calculer la distance entre les ensembles {c}et ]a, b]et établir
si elle est réalisée.
Exercice 10. Déterminer inf{x2−y: 0 < x ≤1et 0≤y < 1}.
T. Kleyntssens et A. Deliège – Répétition 2

Analyse I 2013–2014 – 1BM
Liste 3
Suites de base dans R, suites & suites récurrentes
Exercice 1 (Illustration de différentes méthodes de convergences).Considérons la suite (xj)j∈N0définie
par xj=−1
j.
(a) Montrer que la suite (xj)j∈N0est de Cauchy.
(b) En utilisant la définition de la convergence, montrer que la suite (xj)j∈N0converge vers 0.
(c) Sans utiliser la définition de la convergence, montrer que la suite (xj)j∈N0converge vers 0.
Exercice 2 (Illustration de la convergence vers l’infini).
(a) Trouver une suite réelle qui converge vers ∞mais qui ne converge ni vers −∞, ni vers +∞.
(b) Considérons les suites (xj)j∈Net (yj)j∈Ndéfinies par
xj=0si jest pair
jsinon yj=jsi jest pair 0sinon .
Montrer que ces deux suites ne convergent pas vers ∞. Montrer que la suite (zj)j∈Ndéfinie par
zj= (xj, yj)converge vers ∞.
Exercice 3. Etablir la convergence de la suite (xj)j∈N0lorsque
(a) xj=2j2+ 5j+ 1
3j2+ 1
(b) xj=pjpj+ 1 −pj
(c) xj=pj2+ 2 −3
pj3+ 3j
Exercice 4 (Suites de base).
(a) Pour tout a∈R, étudier la convergence de la suite (aj/j!)j∈N0.
(b) Etudier la convergence de la suite (aj)j∈N0pour toutes les valeurs réelles du paramètre a.
(c) Pour tout a > 0fixé, étudier la convergence de la suite (a1/j )j∈N0.
(d) Etudier la convergence de la suite (j
√j)j∈N0.
Exercice 5. Si a∈R, étudier la convergence des suites (xj)j∈N0de terme général égal à
(a) xj=πj2
p(j!)π
(b) xj=(j!)2
(2j)!
(c) xj=j2+ 2
j2+j+ 1aj
(d) xj=aj
1 + a2j
(e) xj= 2jaj
(f) xj=j2
(3a)j
(g) xj= (ln a
2+ 1)j(3
pj+ 1 −3 pj).
(h) xj=j−pj2+ 2(a+ 1)j+ 5
1−(a+ 1)j.
Exercice 6. Etudier la convergence des suites (xj)j∈N0de terme général égal à
(a) xj=1
j,1 j+ 1
(b) xj=j
pj2,j!
jj
(c) xj= j
j+ 1,1−1 j2!
(d) xj=j, −1
j,(−1)j j2.
Exercice 7. Etablir que la suite (xj)j∈Ndéfinie par récurrence selon
x0=√3et xj+1 =p3+2xj, j ∈N
converge vers 3.
Exercice 8. Etudier la convergence de la suite (xj)j∈Ndéfinie par récurrence selon
x0>0et xj+1 =xj(2x2
j+ 1)
x2
j+ 5 , j ∈N.

Exercice 9. Soit a∈R, étudier la convergence des suites (xj)j∈N0de terme général égal à
(a) xj=
j
X
k=0
1
j+k
(b) xj=
j
X
k=1
1
k(k+ 1)
(c) xj=1
j
j
X
k=1
k
√a
Exercices proposés
Exercice 10. Etablir la convergence de la suite (xj)j∈N0lorsque
(a) xj=pj2+j+ 1 −pj2−j+ 1
(b) xj=j−3
pj3+j2.
(c) xj=j3
√j
(a−1)2j−1
Exercice 11. Etablir que la suite (xj)j∈Ndéfinie par récurrence selon
x0=√2et xj=p2 + xj−1, j ∈N0
converge vers 2.
Exercice 12. Etablir que, pour tout a > 0, la suite (rj)j∈Ndéfinie par récurrence selon
r0>0et rj+1 =1
2rj+a rj, j ∈N
converge vers √a.
Exercice 13. Etudier la convergence des suites (xj)j∈Ndéfinies par récurrence selon
(a) x0=−2et xj+1 =xj
3−xj
, j ∈N
(b) x0=√3et xj+1 =p3+2xj, j ∈N
(c) x0=−2et xj+1 =2 + xj
1+2xj
, j ∈N
Exercice 14. Etudier la convergence des suites (xj)j∈N0de terme général xjégal à
(a) xj=1 + √a+. . . +j
√a
j(a > 0)
(b) xj=1
j(1 + √2 + 3
√3 + . . . +j
pj)
(c) xj=1
j
j
X
k=1
k2
√k
(d) xj=
j
X
k=0
1
(j+k)2.
T. Kleyntssens et A. Deliège – Répétition 3-4