TP5 R - Intégration numérique

TP5 R- Intégration numérique L1 Biologie
2013-2014
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1. Définir une fonction :
La commande suivante définit la fonction f:x→x2:
f <- function(x) { x^2 }
On peut ensuite faire appel à la fonction, par exemple
f(2)
renvoie la valeur de la fonction fen 2.
Exercice :
Définir les fonctions suivantes :
–f1:x→ex
–f2:x→ln(x)
–f3:x→sin(x)
–f4:x→cos(x)
–f5:x→1
x
–f6:x→1
x2
–f7:t→1
√2πe−t2/2
2. Intégrer une fonction :
La commande suivante intègre la fonction f:x→x2entre 0 et 1.
integrate(f,lower=0,upper=1)
Exercice : Intégrer les fonctions suivantes :
–f1:x→exsur [0,1]
–f2:x→ln(x)sur [1,10]
–f3:x→sin(x)sur [0, π]
–f4:x→cos(x)sur [0,2π]
3. Intégration et erreurs :
La fonction integrate() renvoie aussi la précision du calcul numérique effectué, c’est à dire une
majoration de l’erreur. Si on ne veut que le résultat, il faut alors rajouter $value :
integrate(f,lower=0,upper=1)$value
Exercice :
Calculer les valeurs exactes des intégrales précédentes et les comparer aux valeurs numériques
renvoyées par le logiciel.
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4. Introduction aux intégrales généralisées :
– Tracer les fonctions f5et f6sur 2 graphiques différents.
– Question : l’aire sous les deux courbes de [1,+∞[est-elle finie ou infinie ?
– Notre ami Rpeut nous aider à répondre à cette question : On peut en effet manipuler les
bornes ∞avec le logiciel.
integrate(f5,lower=1,upper=Inf)
integrate(f6,lower=1,upper=Inf)
– Preuve mathématique :
Calculer Zb
1
1
xαdx en fonction de b > 1. Que se passe-t-il lorsque b→ ∞ ? Pour quelles
valeurs de αl’intégrale est elle convergente ? divergente ?
Intégration et densité de probabilité :
– Tracer le graphique de la fonction f7, appelée "courbe de Gauss" sur [−10,10].
– Calculer l’intégrale de f7sur ]− ∞,+∞[.
Exercice : Faire des recherches sur internet sur la fonction de Gauss.
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