TP5 R - Intégration numérique

TP5 R - Intégration numérique
L1 Biologie
2013-2014
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1. Définir une fonction :
La commande suivante définit la fonction f : x → x2 :
f <- function(x) { x^2 }
On peut ensuite faire appel à la fonction, par exemple
f(2)
renvoie la valeur de la fonction f en 2.
Exercice :
Définir les fonctions suivantes :
– f1 : x → ex
– f2 : x → ln(x)
– f3 : x → sin(x)
– f4 : x → cos(x)
– f5 : x → x1
– f6 : x → x12
2
– f7 : t → √12π e−t /2
2. Intégrer une fonction :
La commande suivante intègre la fonction f : x → x2 entre 0 et 1.
integrate(f,lower=0,upper=1)
Exercice : Intégrer les fonctions suivantes :
– f1 : x → ex sur [0, 1]
– f2 : x → ln(x) sur [1, 10]
– f3 : x → sin(x) sur [0, π]
– f4 : x → cos(x) sur [0, 2π]
3. Intégration et erreurs :
La fonction integrate() renvoie aussi la précision du calcul numérique effectué, c’est à dire une
majoration de l’erreur. Si on ne veut que le résultat, il faut alors rajouter $value :
integrate(f,lower=0,upper=1)$value
Exercice :
Calculer les valeurs exactes des intégrales précédentes et les comparer aux valeurs numériques
renvoyées par le logiciel.
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4. Introduction aux intégrales généralisées :
– Tracer les fonctions f5 et f6 sur 2 graphiques différents.
– Question : l’aire sous les deux courbes de [1, +∞[ est-elle finie ou infinie ?
– Notre ami R peut nous aider à répondre à cette question : On peut en effet manipuler les
bornes ∞ avec le logiciel.
integrate(f5,lower=1,upper=Inf)
integrate(f6,lower=1,upper=Inf)
– Preuve mathématique
:
Z b
1
dx en fonction de b > 1. Que se passe-t-il lorsque b → ∞ ? Pour quelles
Calculer
α
1 x
valeurs de α l’intégrale est elle convergente ? divergente ?
Intégration et densité de probabilité :
– Tracer le graphique de la fonction f7 , appelée "courbe de Gauss" sur [−10, 10].
– Calculer l’intégrale de f7 sur ] − ∞, +∞[.
Exercice : Faire des recherches sur internet sur la fonction de Gauss.