exercices sur les integrales generalisees

EXERCICES SUR LES INTEGRALES
GENERALISEES
1. Calculer les inégrales généralisées suivantes.
a)
∞
Z
0
dx
(1 + ex)(1 + e−x)b)
∞
Z
0
e−√x
√xdx c)
1
Z
0
ln x dx
d)
∞
Z
1
ln x
x2dx e)
1
Z
0
ln x
(1 + x)2dx f)
∞
Z
0
xne−xdx (n∈N)
g)
∞
Z
0
arctan x
1 + x2dx h)
∞
Z
a
dx
x(x+r)(a > 0, r > 0) i)
π/2
Z
0
cos 2x
√sin 2xdx
2. Soit a > 1. Calculer
∞
Z
a
dx
x2−1.
3. Montrer que les intégrales suivantes convergent.
a)
∞
Z
0
1
√xe−√x2+x+1 dx , b)
π/2
Z
−π/2
ln(1+sin x)dx , c)
∞
Z
0
e−t2dt , d)
∞
Z
0
1 + sin t
1 + √t3dt .
4. Déterminer pour quelles valeurs du couple (α, β)∈R2les intégrales suivantes sont conver-
gentes. (On dessinera dans le plan l’ensemble des couples (α, β)pour lesquels il y a convergence).
a)
∞
Z
0
dx
xα(1 + xβ), b)
∞
Z
0
ln(1 + xα)
xβdx , c)
∞
Z
0
(1 + t)α−tα
tβdt .
5. Etudier pour quelles valeurs de n∈Nl’intégrale
I(n) =
∞
Z
1
ln x
xndx
converge et calculer I(n)dans ce cas.
1

6. Soit I(λ) =
∞
Z
0
dx
(1 + x2)(1 + xλ). Montrer que I(λ)converge pour tout réel λet calculer cette
intégrale en utilisant le changement de variable t= 1/x.
7. Soit I=
∞
Z
0
e−t−e−2t
tdt.
a) Montrer que Iest convergente.
b) Pour ε > 0, établir, en posant x= 2t, la relation
∞
Z
ε
e−t−e−2t
tdt =
2ε
Z
ε
e−t
tdt .
c) En déduire le calcul de I.
d) En déduire le calcul de
1
Z
0
x−1
ln xdx (Poser x=e−t).
8. Soit I=
π/2
Z
0
ln sin x dx.
a) Montrer que Iest convergente.
b) Montrer que I=
π/2
Z
0
ln cos x dx.
c) Montrer que 2I=
π/2
Z
0
ln sin 2x
2dx.
d) En déduire la valeur de I.
9. Soit I=
∞
Z
0
dx
(1 + x2)√x.
a) Montrer que Iest convergente.
b) Calculer J=
∞
Z
0
dt
1 + t4.
c) En déduire I.
2

10. a) Etudier pour quelles valeurs de n∈Nl’intégrale Jn=
∞
Z
0
dx
(x3+ 1)nconverge.
b) Calculer J1.
c) Montrer que si n≥2, on a
Jn+1 =3n−1
3nJn,
et en déduire Jnsi n≥1.
11. Montrer que l’intégrale
π/2
Z
0
tan x dx diverge,
a) par un calcul de primitive ; b) par le critère de Riemann.
12. Montrer que les intégrales suivantes sont semi-convergentes.
a)
∞
Z
π
cos x
√xdx b)
∞
Z
−1
cos(x2)dx (poser u=x2)c)
∞
Z
π
x2sin(x4)dx d)
∞
Z
π
ei√x
xdx .
13. Soit fune fonction de Rdans Rcontinue et périodique dont l’intégrale
∞
Z
0
f(x)dx est conver-
gente. Montrer que fest la fonction nulle. (Raisonner par l’absurde : supposer que f(c)6= 0 pour
un certain réel c, et montrer que le critère de Cauchy est alors contredit).
14. Soit fune fonction uniformément continue de [a, ∞[dans R, telle que l’intégrale
∞
Z
a
f(x)dx
converge. Montrer que lim
x→∞ f(x) = 0 (montrer que sinon le critère de Cauchy serait contredit).
15. Soit fune fonction de classe C1de Rdans Rtelle que, quand xtend vers ±∞, on ait
f′(x) = O1
x2.
a) Démontrer que les limites Let ℓde fen +∞et −∞ respectivement existent.
b) On suppose en outre que, pour tout xréel, on a
|f′(x)| ≤ 1
x2+ 1 .
Montrer que |L−ℓ| ≤ π.
3

16. Soit fune fonction décroissante de [a, ∞[dans R+.
a) Montrer que si l’intégrale
∞
Z
a
f(t)dt converge, alors lim
x→∞ xf(x) = 0.
(Remarquer que l’on a, si x≥a, l’inégalité : xf(2x)≤
2x
Z
x
f(t)dt).
b) Montrer par un contre-exemple que la réciproque est fausse.
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17. Construire une fonction fcontinue positive non bornée de [ 0,+∞[dans Rtelle que l’in-
tégrale
+∞
Z
0
xf(x)dx soit convergente.
18. Déterminer la limite des suites (an)définies ci-dessous.
a)an=
∞
Z
0
arctan(nx)
n(1 + x2)dx , b)an=
1
Z
0
dx
1 + xn, c)an=
∞
Z
1
dx
1 + xn, d)an=
∞
Z
0
arctan n+1
nx
1 + x2dx .
19. Soit a > 0. On définit sur [a, +∞[les fonctions fet gpar
f(x) = sin x
√x+sin2x
xet g(x) = sin x
√x.
a) Montrer que f∼gau voisinage de +∞.
b) Etudier la nature des intégrales
∞
Z
a
f(x)dx et
∞
Z
a
g(x)dx.
20. Soit fdéfinie sur R\ {−1}par
f(x) = xln |x+ 1|
x2+ 1 .
Montrer les propriétés suivantes.
a) La fonction fest intégrable au voisinage de −1.
b) Les intégrales
∞
Z
0
f(x)dx et
0
Z
−∞
f(x)dx sont divergentes.
c) La limite de l’intégrale
A
Z
−A
f(x)dx, lorsque Atend vers +∞existe et est finie. (Etudier la
convergence de l’intégrale
∞
Z
0
|f(x) + f(−x)|dx).
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