Représentation intégrale d`une série de Dirichlet

Représentation intégrale d'une série de Dirichlet
Guy LAVILLE
Université de Caen
Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme
jeudi 7 février 2013
Résumé
Nous établissons une représentation intégrale de la série de Dirichlet dont les coecients sont les
valeurs de la fonction arithmétique de Liouville.
1
Sommaire
1
Introduction
2
Diverses fonctions associées à la fonction
3
Représentation intégrale de la fonction
2.1
2.2
2.3
2.4
3
Les fonctions ζ, ζa , ζimp .
Les fonctions ζλ , ζµ , ζα .
La fonction ζβ . . . . . .
La fonction ζν . . . . . .
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ζ
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de Riemann
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ζa
4
4
4
6
8
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1 Le noyau
3.2 Représentation intégrale de ζa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1
ez +1
4
Relations fonctionnelles
5
Représentations intégrales
6
Références
12
4.1 Relation fonctionnelle entre ζa et ζimp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Relation fonctionnelle entre ζα et ζβ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
Représentation intégrale de ζα pour −3/2 < R(s) < −1/2 . . . . . . .
La fonction méromorphe N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dénition et étude de la fonction méromorphe M . . . . . . . . . . . .
Limite à l'inni de la fonction M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comportement asymptotique de la dérivée M0 . . . . . . . . . . . . . .
Peut-on trouver une meilleure majoration de M à l'inni ? . . . . . . .
Identité entre M et N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Représentation intégrale de la fonction ζλ pour −3/2 < R(s) < −1/2 . .
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13
13
14
15
16
18
19
19
21
22
2
1
Introduction
a(n)
Supposons qu'une série de Dirichlet ∞
n=1 ns soit telle que :
- elle se prolonge en fonction méromorphe à un seul pôle en s = 1
- elle satisfait à une relation fonctionnelle écrite de façon informelle comme :
P
∞
X
a(n)
n=1
ns
∞
X
b(n)
= ϕ(s)
n1−s
n=1
La suite (b(n)) ainsi trouvée permet d'écrire une fonction analogue à la fonction tangente ou à la
fonction cotangente :
∞
X
n=0
b(n)
z 2 + (2n + 1)2 π 2
La fonction de type tangente sera préférée ici à la fonction de type cotangente parce que cette dernière
a une singularité à l'origine, ce qui rend délicat les développements en série à l'origine.
Nous pouvons espérer déduire de cette relation fonctionnelle une représentation intégrale de la série
de départ sur un certain intervalle. Le prolongement de cette représentation intégrale pourrait être
obtenu en trouvant une suite (c(n)) qui peut donner une autre expression de cette fonction pseudotangente, sous la forme :
∞
X
n=1
c(n)
1
+1
ez/n
La représentation intégrale ainsi obtenue permet de mieux connaître la fonction donnée au départ.
Par exemple pour la fonction ζ de Riemann les trois suites sont :
Pour la série
(a(n)) = (1, 1, 1, 1, ...)
P∞ (−1)n−1
n=1
ns
(b(n)) = (1, 1, 1, 1, ...)
(c(n)) = (1, 0, 0, 0, ...)
elles sont :
(a(n)) = (1, −1, 1, −1, ...)
(b(n)) = (1, 0, 1, 0, ...)
(c(n)) = (1, 0, 0, 0, ...)
Ce programme général est appliqué dans le cas particulier d'une série de Dirichlet égale à un facteur
près à la série de Dirichlet dont les coecients sont les valeurs de la fonction arithmétique de Liouville.
3
2
Diverses fonctions associées à la fonction ζ de Riemann
2.1 Les fonctions ζ, ζa, ζimp .
La fonction ζ de Riemann est bien connue :
ζ(s) =
∞
X
1
ns
n=1
pour R(s) > 1
(1)
Notons ζa la fonction alternée de Dirichlet :
ζa (s) =
∞
X
(−1)n−1
n=1
pour R(s) > 1
ns
(2)
Notons ζimp (s) la fonction des impairs :
ζimp (s) =
∞
X
1
(2m + 1)s
m=0
pour R(s) > 1
(3)
En séparant, dans ζ , les entiers pairs des entiers impairs, nous avons :
1
ζa (s)
1 − 21−s
ζ(s) =
(4)
Par la séparation précédente, nous obtenons:
ζ(s) =
1
ζimp (s)
1 − 2−s
(5)
Ces fonctions sont bien connues, cf, par exemple [6] .
2.2 Les fonctions ζλ, ζµ, ζα .
La fonction arithmétique de Liouville λ est bien connue : λ(1) = 1; pour p premier λ(p) = −1; pour
tout a et b, λ(ab) = λ(a)λ(b) (i.e. λ est complètement multiplicative) .
Notons ζλ la série de Dirichlet correspondante :
ζλ (s) =
∞
X
λ(n)
n=1
pour R(s) > 1
ns
(6)
En exprimant les expressions ζ(2s) et ζ(s) en produits eulériens, on a :
ζλ (s) =
ζ(2s)
ζ(s)
(7)
Ce quotient dénit la fonction ζλ comme étant méromorphe sur C .
On rappelle que la fonction de Möbius est la fonction µ : N \ {0} → {−1, 0, 1} dénie par :
µ(1) = 1
µ(n) = 0 s'il existe p premier tel que p2 divise n
µ(n) = (−1)r si n = p1 · · · pr avec r > 0 pour des pi premiers distincts .
∞
X µ(n)
1
ζµ (s) =
=
ζ(s) n=1 ns
4
pour R(s) > 1
(8)
La fonction méromorphe ζµ a pour singularités les zéros de ζ : ceux de type −2k avec k entier strictement positif et ceux compris dans la bande 0 ≤ R(s) ≤ 1. La fonction ζλ n'a pas de singularités en
dehors de la bande 0 ≤ R(s) ≤ 1 parce que pour s = −2k , ζ(s) a un zéro simple et ζ(2s) a aussi un
zéro simple. Donc les singularités de ζλ sont toutes dans cette bande.
Ces fonctions ζλ et ζµ sont classiques, voir, par exemple [6].
Nous pouvons faire un quotient analogue à (7), mais en prenant les fonctions ζa . Dénissons la
fonction ζα par :
ζα (s) =
D'après la formule (4) :
ζa (2s)
ζa (s)
(9)
1 − 21−2s
(1 − 21−2s )ζ(2s)
=
ζλ (s)
(1 − 21−s )ζ(s)
1 − 21−s
ζα (s) =
ou encore
1 − 21−s
ζα (s)
ζλ (s) =
1 − 21−2s
(10)
Nous avons annulation pour :
2iπ
,
ln(2)
k∈Z
iπ
1
+k
,
2
ln(2)
k∈Z
1 − 21−s = 0
⇐⇒
s=1+k
1 − 21−2s = 0
⇐⇒
s=
et singularités pour
Nous pouvons expliciter un peu plus la fonction arithmétique α dénie par :
ζα (s) =
∞
X
α(n)
n=1
Partons de la formule (10) :
ns
(1 − 21−s )ζα (s) = (1 − 21−2s )ζλ (s)
Les termes impairs donnent :
∞
∞
X
α(2m + 1) X λ(2m + 1)
=
(2m + 1)s
(2m + 1)s
m=0
m=0
α(2m + 1) = λ(2m + 1)
Les termes de la forme 2(2m + 1) donnent :
∞
∞
X
X
2α(2m + 1)
α(2(2m + 1))
−
s
(2(2m + 1))
(2(2m + 1))s
m=0
m=0
=
∞
X
λ(2(2m + 1))
(2(2m + 1))s
m=0
α(2(2m + 1)) − 2α(2m + 1) = −λ(2m + 1)
α(2(2m + 1)) = λ(2m + 1)
5
Les termes de la forme 4n donnent :
∞
X
α(4n)
n=1
(4n)s
−
∞
X
2α(2n)
n=1
∞
X
λ(4n)
=
(4n)s
n=1
(4n)s
−
∞
X
2λ(2n)
n=1
(4n)s
α(4n) − 2α(2n) = −λ(n)
Pour tout entier a non nul et tout entier m, les formules suivantes se vérient par récurrence :
22a − 1
λ(2m + 1)
3
22a+1 + 1
α(22a+1 (2m + 1)) =
λ(2m + 1)
3
α(22a (2m + 1)) =
2.3 La fonction ζβ .
Dénissons la fonction ζβ par :
ζimp (2s − 1)
ζimp (s)
(11)
(1 − 21−2s )ζ(2s − 1)
(1 − 2−s )ζ(s)
(12)
ζβ (s) =
Utilisons (5) :
ζβ (s) =
Rappelons le :
Théorème. Le domaine de convergence absolu du produit de deux séries de Dirichlet est l'intersection
des deux domaines de convergence absolu de ces séries.
Donc la fonction ζβ est génératrice de la fonction arithmétique β :
ζβ (s) =
∞
X
β(n)
n=1
pour R(s) > 1
ns
(13)
Étudions cette fonction arithmétique. Pour tout entier m, β(2m) = 0 d'après (13) .
Développons ζimp (s) en produit eulérien (donc sans le nombre premier 2), prenons l'inverse, puis
développons le produit obtenu. Ceci nous donne :
∞
X µ(2n + 1)
1
=
ζimp (s) n=0 (2n + 1)s
pour R(s) > 1
Au sujet de cette série, nous pouvons utiliser le théorême de Newman, cf [3] :
Théorème.PSoit (a(n)) une suite de nombres complexes tels que | a(n) | ≤ 1. Considérons la série de
a(n)
Dirichlet ∞
n=1 ns qui converge vers une fonction holomorphe F (s) pour R(s) > 1. Supposons de
plus que F (s)P
est une fonction holomorphe dans un ouvert contenant le demi-plan
fermé R(s) ≥ 1.
P∞ a(n)
∞ a(n)
Alors la série n=1 ns converge dans ce demi-plan fermé R(s) ≥ 1 et on a n=1 ns = F (s) pour
R(s) ≥ 1 .
Rappelons que ζ ne s'annule pas dans le demi-plan R(s) ≥ 1, cf [1], théorème 10. Donc le théorème
de Newman montre que l'on a la convergence de la série suivante et que sa valeur est nulle :
∞
X
µ(2n + 1)
n=0
2n + 1
6
=0
(14)
D'après sa dénition (11), ζβ (s) = ζimp1 (s) ζimp (2s − 1) ce qui s'écrit aussi
β s'annule sur les entiers pairs : β(2m) = 0 .
P µ(2n+1) P
(2n+1)s
1
(2n+1)2s−1
donc
Notons 12 la fonction arithmétique, indicatrice des entiers qui sont des carrés : 12 (1) = 1 et
12 (n) =
ζimp (2s − 1) =
si n est un carré n = m2
sinon
1
0
∞
X
n=0
√
∞
X
12 (2m + 1) 2m + 1
2n + 1
=
(2n + 1)2s m=0
(2m + 1)s
∞
X
X
√
1
µ(k)1
(l)
l
2
(2n + 1)s kl=2n+1
n=0
X
√
β(2n + 1) =
µ(k)12 (l) l
ζβ (s) =
kl=2n+1
Pour tout entier 2n + 1, il n'existe qu'une seule décomposition en produit de deux facteurs k et l tels
que k n'ait pas de facteur carré (µ(k) 6= 0) et l ait tous les facteurs carrés (12 (l) 6= 0). Nous avons
donc la décomposition unique :

 2n + 1 = kh2
β(2n + 1) = µ(k)h

| β(2n + 1) |= h
(15)
β(2n + 1)
−1 < √
≤1
2n + 1
(16)
Nous avons :
L'égalité est obtenue si et seulement si 2n + 1 est un carré .
Nous pouvons expliciter un peu plus la fonction arithmétique β . Montrons d'abord que la fonction arithmétique β est multiplicative. Prenons d'abord m0 et m00 deux entiers impairs et premiers
entre eux .
m0 = k 0 h02
m00 = k 00 h002
alors k0 et k00 sont premiers entre eux et :
β(m0 m00 ) = β(k 0 k 00 (h0 h00 )2 ) = µ(k 0 k 00 )h0 h00 = µ(k 0 )h0 µ(k 00 )h00 = β(m0 )β(m00 )
D'autre part prenons un entier pair 2n0 et un entier quelconque n00 :
β(2n0 )β(n00 ) = 0 = β(2n0 n00 )
donc β est bien multiplicative .
Décomposons un entier impair n en facteurs premiers :
m
t+1
mt
mr
1
n = pm
1 · · · pt pt+1 · · · pr
où m1 , . . . , mt sont impairs et mt+1 , . . . , mr sont pairs . On a la décomposition :
m
t+1
1 −1
t −1
r
n = p1 · · · pt p m
· · · pm
pt+1
· · · pm
1
t
r
7
donc la décomposition du type kh2 avec k sans facteur carré est :
m1 −1
mt −1 mt+1
mr 2
n = p1 · · · pt p1 2 · · · pt 2 pt+12 · · · pr 2
et avec le fait que β(n) = µ(k)h, on obtient :
m1 −1
mt −1 mt+1
mr β(n) = µ(p1 · · · pt ) p1 2 · · · pt 2 pt+12 · · · pr 2
m1 −1
mt −1 mt+1
mr β(n) = (−1)t p1 2 · · · pt 2 pt+12 · · · pr 2 .
on a, pour p premier β(p2a ) = pa et β(p2a+1 ) = −pa . D'où :
β(n) = (−1)
t
t
Y
r
Y
mi −1
2
pi
i=1
mj
pj 2
j=t+1
Remarque. La série de Dirichlet :
∞
∞
X β(n) X β(n) 1
1
√
ζβ (s + ) =
=
s+ 12
2
n ns
n
n=0
n=1
est d'après (13) convergente pour R(s) > 1/2 .
Pour tout σ réel σ > 1 :
∞
X | β(n) |
n=1
En particulier pour σ = 3/2 :
nσ
≤
∞
X
| β(n) |
n=1
n3/2
(17)
∞
∞
X
1 X 1
k σ h=1 h2σ−1
k=1
∞
∞
X
1 X 1
≤
k 3/2 h=1 h2
k=1
(18)
2.4 La fonction ζν .
Dénissons la fonction ζν par :
ζν (s) =
1
ζimp (2s + 2)
ζβ (s + 3/2)
=
ζimp (s + 1) ζimp (s + 3/2)
ζimp (s + 1)
(19)
D'après le théorème rappelé ci-dessus, cette fonction est génératrice d'une fonction arithmétique
notée ν :
ζν (s) =
∞
X
ν(n)
n=1
pour R(s) > 0
ns
La fonction ν est nulle sur les entiers pairs: ν(2m) = 0 .
D'après la dénition (19) :
∞
X
lν(l)
ζimp (s)
l=1
∞
X
l=1
ls
= ζν (s − 1) =
∞
ζβ (s + 1/2)
ζimp (s)
lν(l) X β(2n + 1)
1
√
=
s
l
2n + 1 (2n + 1)s
n=0
8
(20)
β(2n + 1)
lν(l) = √
.
2n + 1
l|(2n+1)
(21)
X
L'utilisation de la première égalité ci-dessus (ou la formule d'inversion de Möbius) donne :
(2n + 1)ν(2n + 1) =
β(l)
µ(k) √
l
kl=2n+1
X
(22)
Notons d la fonction arithmétique d(n) = nombre de diviseurs de n. Utilisons l'inégalité (16), nous
obtenons :
X
| (2n + 1)ν(2n + 1) |≤
1 = d(2n + 1)
kl=2n+1
D'où, pour tout entier m non nul :
| ν(m) |≤
d(m)
m
(23)
Nous pouvons expliciter un peu plus la fonction arithmétique ν .
Décomposons 2n + 1 = cm2 avec c sans carré. Toutes les décompositions de c possibles sont c = ab
avec a et b sans facteur commun et sans carré.
D'après (22) :
(2n + 1)ν(2n + 1) =
X 1
m
√
µ(a)µ(b) √ = µ(c)
m b
b
b|c
X
ab=c
Le résultat suivant est crucial .
Théorème 1. La série de terme général
ν(n)
∞
X
converge et sa somme est nulle .
(24)
ν(n) = 0.
n=1
Démonstration .
Dans cette démonstration tous les nombres entiers considérés seront impairs.
D'après (18), nous pouvons dénir le nombre réel $ tel que :
∞
X
| β(n) |
n=1
n3/2
=$
Partons de la formule (22) :
N
X
X β(l) µ(k)
l3/2 k
1≤kl≤N
ν(n) =
n=1
X β(l)
l3/2
1≤l≤N
=
X
1≤k≤N/l
Nous allons couper cette somme en deux parties. Posons :
00
K
X
µ(k)
Sµ (K , K ) =
k
k=K 0
0
00
9
µ(k)
k
D'après (14), nous avons :
lim Sµ (1, A) = 0
A→∞
⇒
∃U > 0 ∀K 0 ≥ 1 ∀K 00 > K 0
| Sµ (K 0 , K 00 ) |≤ U
Fixons ce U et utilisons la convergence (18) :
∀ε > 0 ∃L0 ≥ 1
∞
X
| β(l) |
ε
≤
3/2
l
2U
l=L +1
0
Fixons ce L0 et utilisons à nouveau la convergence de la série des µ(k)/k :
∃M0 ≥ 1 ∀N ≥ M0
sup | Sµ (1, N/l) | ≤
l≤L0
ε
2$
(remarquer que ce sup est pris sur un nombre ni de termes) .
Posons N0 = max{L0 , M0 } .
∀ε > 0 ∃N0 ∀N ≥ N0 + 1
N
X
X | β(l) | X µ(k) |
ν(n) | ≤
l3/2
k
n=1
1≤l≤N
1≤k≤N/l
X | β(l) | X µ(k) X | β(l) | X
µ(k) ≤
+
l3/2
k
l3/2
k
1≤l≤L0
L0 +1≤l≤N
1≤k≤N/l
(L0 +1)/l≤k≤N/l
X | β(l) | L0 + 1 N X | β(l) | N S
1,
+
,
=
S µ
µ
3/2
3/2
l
l
l
l
l
L0 +1≤l≤N
1≤l≤L0
N X | β(l) |
X | β(l) |
0
00
+
sup
|
S
(K
,
K
)
|
≤ sup Sµ 1,
µ
l
l3/2
l3/2
1≤l≤L0
K 0 ,K 00
1≤l≤L0
L0 +1≤l≤N
ε
ε
$+U
=ε
≤
2$
2U
10
3
Représentation intégrale de la fonction ζa
3.1 Le noyau
1
ez +1
.
Le noyau ez1+1 est plus agréable que
le décomposer de plusieurs façons.
parce qu'il n'a pas de singularité à l'origine. Nous pouvons
1
ez −1
∞
X
1
=
(−1)n−1 e−nt
t
e + 1 n=1
pour t > 0
∞
X
1
1
1
=
−
2z
z
2
e +1
2
z + (2n + 1)2 π 2
n=0
(25)
∞
X An
1
=
zn
ez + 1 n=0 n!
pour | z |< π.
Les constantes An sont plus agréables que les nombres d'Euler. Calculons ces An en fonction des
ζimp (2k + 2). Dans la suite du calcul prenons | z |< π pour la convergence.
∞
X
1
1
1
1
= − 2z
z
2
2
z2
e +1
2
(2n + 1) π 1 + (2n+1)
2 π2
n=0
∞
∞
X
X
1
1
(−1)k z 2k
1
=
−
2z
ez + 1
2
(2n + 1)2 π 2 k=0 ((2n + 1)π)2k
n=0
(26)
∞
∞
X
(−1)k z 2k X
1
1
1
= − 2z
z
2k+2
e +1
2
π
(2n + 1)2k+2
n=0
k=0
L'échange est justié par la convergence absolue.
∞
X
1
1
(−1)k z 2k+1
=
−
2
ζimp (2k + 2) pour | z |< π
2k+2
ez + 1
2
π
k=0
(27)
3.2 Représentation intégrale de ζa .
Z
∞
Γ(s) =
e−x xs−1 dx pour R(s) > 0
0
Par absolue convergence et intégrabilité pour R(s) > 1 , nous obtenons :
Γ(s)
∞
X
(−1)n−1
ns
n=1
∞
∞X
Z
=
0
(−1)n−1 e−nt ts−1 dt
n=1
D'où la représentation intégrale utilisant ce noyau, valable a priori pour R(s) > 1 et encore valable
pour R(s) > 0 puisque, dans ce domaine l'intégrale est convergente :
Z
Γ(s)ζa (s) =
0
∞
et
1 s−1
t dt pour R(s) > 0.
+1
On pourrait étendre cette représentation intégrale en considérant :
et
1
1
−
+1 2
11
(28)
4
Relations fonctionnelles
4.1 Relation fonctionnelle entre ζa et ζimp .
Partons de la relation fonctionnelle de la fonction ζ , cf [6] .
ζ(s) = 2s π s−1 sin
π s Γ(1 − s)ζ(1 − s)
2
Rappelons les formules (3) et (5)
ζ(s) =
ζ(s) =
ζimp (s)
1 − 2−s
(29)
ζa (s)
1 − 21−s
donc ζ(1 − s) =
ζimp (1 − s)
1 − 2s−1
Remplaçons ζ par ζa et par ζimp et simplions :
2s − 2
1 − 2s−1
=
(−2)
= −2
1 − 2s−1
1 − 2s−1
D'où la relation fonctionnelle entre ζa et ζimp :
ζa (s) = −2π s−1 sin
π s Γ(1 − s)ζimp (1 − s)
2
(30)
4.2 Relation fonctionnelle entre ζα et ζβ .
Utilisons la formule (30) :
ζa (2s)
−2π 2s−1 sin(πs)Γ(1 − 2s)ζimp (1 − 2s)
=
ζa (s)
−2π s−1 sin( π2 s)Γ(1 − s)ζimp (1 − s)
Utilisons la formule de duplication de la fonction Γ, cf [2] :
Γ(1 − 2s)
(−2s)Γ(−2s)
2π −1/2 2−2s−1 Γ(−s) Γ(1/2 − s)
=
=
Γ(1 − s)
(−s)Γ(−s)
Γ(−s)
Le coecient peut s'écrire:
π s 2 sin( π2 s) cos( π2 s) −1/2 −2s−1 1
π 1
2π
2
Γ − s = 21−2s π s−1/2 cos s Γ − s
π
sin( 2 s)
2
2
2
Nous obtenons une première forme de la relation fonctionnelle entre ζα et ζβ :
ζα (s) = 21−2s π s−1/2 cos
π 1
s Γ − s ζβ (1 − s)
2
2
(31)
Remarquons que, d'après (13) :
ζβ (1 − s) =
∞
∞
X
X
β(2m + 1)
β(2m + 1)
1
√
=
(2m + 1)1−s m=0 2m + 1 (2m + 1)1/2−s
m=0
pour R(s) < 0
Nous pouvons écrire la relation fonctionnelle entre ζα et ζβ sous la forme :
1−2s
ζα (s) = 2
∞
X
π 1
β(2m + 1)
1
√
cos s Γ − s
2
2
2m + 1 (π(2m + 1)1/2−s
m=0
12
pour R(s) < 0
(32)
5
Représentations intégrales
5.1 Représentation intégrale de ζα pour −3/2 < R(s) < −1/2 .
Un calcul par résidu, donne :
∞
Z
0
xa
π
v a−1
dx =
2
2
x +v
2 cos( π2 a)
pour − 1 < R(a) < 1 et pour v > 0
Prenons a = s + 1/2, v = πn :
1
π
2
= cos (s + 1/2)
1/2−s
(πn)
π
2
Z
∞
0
xs+1/2
dx pour − 3/2 < R(s) < 1/2
x2 + π 2 n2
La relation fonctionnelle (32) donne une représentation intégrale de ζα pour −3/2 < R(s) < 0 :
∞
ζα (s) = 2
1−2s
2
π
π X β(2m + 1)
π 1
√
cos s Γ − s cos s +
2
2
π
2
4 m=0 2m + 1
Z
∞
0
xs+1/2
dx
x2 + π 2 (2m + 1)2
Nous allons commuter la série et l'intégrale. Pour justier cette transformation, montrons que nous
avons convergence et intégrabilité absolue pour −3/2 < R(s) < −1/2 . Ceci nous permettra d'utiliser
le théorème de convergence dominée .
Posons σ = R(s) et utilisons l'inégalité (16)
Z
∞
0
Z
N X
s−1/2
β(2m
+
1)
| dx ≤
2x
√2m + 1(x2 + π 2 (2m + 1)2 ) | x
0
m=0
Utilisons (25) :
Z
∞
∞
2x
N
X
n=1
(x2
1
xσ−1/2 dx
+ π 2 n2 )
1 σ−1/2
≤
−
x
dx
2 ex + 1
0
La convergence en ∞ est assurée par σ < −1/2 .
Pour la convergence en 0, utilisons un développement limité :
1
1
1
1 1
x
x
1
− x
= −
= − (1 − + o(x)) = + o(x).
2 e +1
2 2 + x + o(x)
2 2
2
4
1
Nous avons convergence pour σ > −3/2 .
D'où la représentation intégrale de ζα valable pour −3/2 < R(s) < −1/2 :
21−2s
π π
π 1
ζα (s) =
cos s cos s + Γ − s
π
2
2
4
2
Z
∞
2x
0
∞
X
m=0
√
β(2m + 1)
xs−1/2 dx (33)
2
2
2
2m + 1(x + π (2m + 1) )
Posons :
21−2s
π π
π 1
ϕ(s) =
cos s cos s + Γ − s
π
2
2
4
2
∞
X
β(2m + 1)
√
N (x) = 2x
2m + 1 (x2 + π 2 (2m + 1)2 )
m=0
L'égalité (33) s'écrit :
Z
ζα (s) = ϕ(s)
∞
N (x)xs−1/2 dx pour − 3/2 < R(s) < −1/2
(34)
0
Nous allons étendre à droite l'intervalle de validité de cette représentation intégrale en étudiant le
noyau N (x) .
13
5.2 La fonction méromorphe N .
Montrons que :
N (z) = 2z
∞
X
√
m=0
β(2m + 1)
2m + 1(z 2 + π 2 (2m + 1)2 )
(35)
dénit une fonction méromorphe dans C .
Considérons le disque fermé de centre O et de rayon R :
√
2R
π
Nous allons montrer que la série étudiée, prise à partir du rang M0 , est normalement convergente
∃M0 > 0 ∀m ≥ M0
2m + 1 ≥
sur ce disque.
Prenons z dans ce disque | z |≤ R et m ≥ M0 .
1
| z |2
z2
1
≥
donc
1
+
≤
π 2 (2m + 1)2
2
π 2 (2m + 1)2 2
z2
2
2
2
2
2
≥ 1 π 2 (2m + 1)2
| z + π (2m + 1) | = π (2m + 1) 1 + 2
2
π (2m + 1) 2
Nous avons donc la majoration suivante pour M ≥ M0 :
M M
X
X
β(2m
+
1)
2
√
≤
2m + 1 (z 2 + π 2 (2m + 1)2 ) 2
π (2m + 1)2
m=M
m=M
0
0
la fonction N est bien méromorphe dans C .
Il est facile de trouver les singularités de N .
Les pôles sont les iπ(2m + 1) pour m ∈ Z, ils sont tous simples, les résidus correspondant sont :
β(2m + 1)
√
2m + 1
La fonction N est régulière au voisinage de 0, ses premières singularités sont en ±iπ , donc N est
développable en série de puissances dans le disque ouvert de centre O et de rayon π .
Pour | z |< π , nous avons :
∞
X
∞
X
β(2m + 1)
(−1)k z 2k+1
√
N (z) = 2
2m + 1 π 2 (2m + 1)2 k=0 (π 2 (2m + 1)2 )k
m=0
Par convergence absolue :
∞
∞
X
(−1)k z 2k+1 X
β(2m + 1)
(2m + 1)2k+5/2
m=0
k=0
∞
X
(−1)k z 2k+1
5
N (z) = 2
ζβ 2k +
pour | z |< π
π 2k+2
2
k=0
N (z) = 2
π 2k+2
14
(36)
5.3 Dénition et étude de la fonction méromorphe M .
Montrons que :
M(z) =
∞
X
ν(2m + 1)
1
m=0
2
−
1
ez/(2m+1) + 1
(37)
dénit une fonction méromorphe dans C .
Considérons le rectangle des z = x + iy dans C, tels que | x |≤ A et | y |≤ B . Il existe un entier N0
tel que
A
≤ N0
ln (2)
et B ≤
π
N0
3
Nous allons montrer que la série étudiée, prise à partir du rang N0 est normalement convergente sur
ce rectangle .
Pour tout n ≥ N0 et tout z = x + iy dans ce rectangle :
A
A
≤n ⇒
≤ ln (2) ⇒ 1/2 ≤ e−A/n ≤ ex/n ≤ eA/n ≤ 2
ln (2)
n
−B ≤ y ≤ B ⇒ −π/3 n ≤ y ≤ π/3 n ⇒ 1/2 ≤ cos (y/n) ≤ 1
1/2 =| ez/n |= ex/n ≤ eA/n ≤ 2
| 1 + ez/n |2 ≥ 1 + 2ex/n cos(y/n) + e2x/n ≥ 1
Utilisons un procédé de sommation par parties. (On rappelle que ν est nulle sur les entiers pairs).
Posons :
Sn = ν(1) + ν(2) + ... + ν(n)
N
X
N 1
1
X
1
1 1
1
ν(n)
− z/n
=
− z
S1 +
− z/n
(Sn − Sn−1 )
2
e
+
1
2
e
+
1
2
e
+
1
n=1
n=1
=
N
−1 X
n=1
1
1
1
1
−
Sn +
−
SN
ez/(n+1) + 1 ez/n + 1
2 ez/N + 1
Majorons :
e−z/n − e−z/(n+1)
≤| e−z/(n+1) || e−z(1/n−1/(n+1)) − 1 |≤ 2 | e−z(1/(n(n+1)) − 1 |
−z/(n+1)
−z/n
(1 + e
)(1 + e
)
Nous aurons comme série majorante, à partir du rang N0 :
2 sup | Sk |
k∈N∗
N
X
1
| e−z( n(n+1) ) − 1 |
n=N0
Cette borne supérieure existe puisque, d'après le théorème 1, par (24) :
lim Sn =
n→∞
∞
X
n=1
15
ν(n) = 0
D'où la majoration :
2 sup | Sk |
k∈N∗
∞
N X
X
n=N0 k=1
√
∞
N X
X
| z |k
( A2 + B 2 )k
1
≤ 2 sup | Sk |
k
k
k!n (n + 1)
k!
n(n + 1)
k∈N∗
n=N k=1
0
≤ 2 sup | Sk |
k∈N∗
N
X
n=N0
√
1
2
2
e A +B
n(n + 1)
Majorons le reste, sachant que N ≥ N0 :
1
lim N →∞ 2
1
1
1
1
+ z/N
| SN |
| SN | ≤
− z/N
2 e
+1
2 e
+1
3
≤ | SN |
2
1
− z/N
| SN |= 0
e
+1
Ce qui montre nalement que M est bien une fonction méromorphe dans C .
Étudions les pôles et les résidus de M .
ez/(2l+1) = −1 = eiπ+k2iπ pour k ∈ Z
z = (2l + 1)iπ + k(2l + 1)2iπ
1
Les pôles sont donc i(2l + 1)π pour l ∈ Z . Le résidu de 12 − ez/(2m+1)
en i(2l + 1)π est, à condition
+1
que 2m + 1 soit un diviseur de 2l + 1 :
−
1
pris en z = (2l + 1)iπ
+ 1)
= −(2m + 1)ei(2l+1)π/(2m+1) = 2m + 1
d/dz(ez/(2m+1)
d'où le résidu de M en (2l + 1)iπ :
β(2l + 1)
(2m + 1)ν(2m + 1) = √
2l + 1
(2m+1)|(2l+1)
X
ceci d'après (21). On trouve les mêmes pôles et les mêmes résidus que pour la fonction méromorphe
N . Évidemment, ceci ne sut pas pour montrer l'égalité entre N et M.
D'après l'égalité (24) et la dénition (37) de M :
M(z) = −
∞
X
ν(2m + 1)
m=0
1
ez/(2m+1)
+1
5.4 Limite à l'inni de la fonction M .
Étudions le comportement de M quand x réel tend vers l'inni. Posons :
an (x) =
1
1
− x/n
2 e +1
Utilisons un procédé de sommation par parties. Posons :
Sn = ν(1) + ν(2) + ... + ν(n)
16
(38)
a1 (x)ν(1) + a2 (x)ν(2) + ... + an (x)ν(n) = a1 (x)S1 + a2 (x)(S2 − S1 ) + ... + an (x)(Sn − Sn−1 )
= (a1 (x) − a2 (x))S1 + (a2 (x) − a3 (x))S2 + ... + (an−1 (x) − an (x))Sn−1 + an (x)Sn
Les séries étant convergentes, nous pouvons écrire :
N
∞
X
X
M(x) =
(an (x) − an+1 (x))Sn +
(an (x) − an+1 (x))Sn
n=1
n=N +1
D'après le théorème 1, formule (24) nous avons:
∀ε > 0 ∃N
ce N étant xé, nous avons :
∀n ≥ N
| Sn |≤ ε
lim e−X/(N +1) = 0
X→+∞
donc, il existe X tel que :
e−X/(N +1) ≤
ε
2 supk∈N∗ | Sk |
Remarquons que an (x) > an+1 (x).
La première somme à évaluer se majore en valeurs absolues par :
N
X
(an (x) − an+1 (x)) | Sn | =
n=1
=
N X
n=1
N X
n=1
1
ex/(n+1) + 1
−
1
| Sn |
ex/n + 1
e−x/(n+1)
e−x/n −
| Sn |
1 + e−x/(n+1) 1 + e−x/n
≤ sup | Sk |
k∈N∗
≤ sup | Sk |
k∈N∗
N
X
n=1
N
X
e−x/(n+1) − e−x/n
(1 + e−x/n )(1 + e−x/(n+1) )
(e−x/(n+1) − e−x/n )
n=1
−x/(N +1)
= sup | Sk | (e
− e−x )
k∈N∗
≤ sup | Sk | e−x/(N +1)
k∈N∗
≤ sup | Sk | e−X/(N +1)
k∈N∗
≤ ε/2
Cette majoration est vraie pour tout x ≥ X .
D'autre part, le deuxième terme à évaluer se majore aussi par les valeurs absolues :
∞
X
∞
X
(an (x) − an+1 (x)) | Sn | ≤ ε
n=N +1
(an (x) − an+1 (x))
n=N +1
= ε aN +1 (x) = ε
≤ ε/2.
17
1
2
−
1
ex/(N +1) + 1
Finalement :
∀ε > 0 ∃X > 0 ∀x ≥ X
| M(x) | ≤ ε
Nous avons donc :
(39)
M(x) = 0
lim
x→+∞
Une autre méthode consiste à utiliser l'intégration par parties de l'intégrale de Stieltjes. Posons :
X
S(y) =
ν(n)
1≤n≤y
1
+1
ϕ(t) =
D'où :
ex/t
e−x/t
x
−x/t
2
(1 + e
) t2
Z y
X
1
e−x/t
x
1
= S(y) x/y
−
S(t)
dt
ν(n) x/n
−x/t
2
e +1
e +1
(1 + e
) t2
1
1≤n≤y
ϕ0 (t) =
Eectuons le changement de varaible u = x/t , puis le passage à la limite y → ∞ qui donne S(y) → 0
et ex/y1 +1 → 12 :
∞
X
1
ν(n) x/n
= −
e
+
1
n=1
Comme nous avons :
lim S
x
Z
S
0
x
u
x→∞
e−u
du
u (1 + e−u )2
x
=0
Nous pouvons utiliser le théorème de Lebesgue de convergence dominée :
Z
lim
x→∞
0
∞
e−u
du =
1[0,x] (u)S
u (1 + e−u )2
x
Z
∞
lim 1[0,x] (u)S
x→∞
0
e−u
du
u (1 + e−u )2
x
Ce qui nous redonne bien le résultat (39) .
5.5 Comportement asymptotique de la dérivée M0 .
Nous pouvons dériver terme à terme la série dénissant M(z). D'après (38), nous avons donc :
∞
X
ν(2m + 1)
ez/(2m+1)
M (z) =
2m + 1 (ez/(2m+1) + 1)2
m=0
0
Prenons cette expression pour x réel positif (on rappelle que ν est nul sur les entiers pairs) .
M0 (x) =
∞
X
ν(n)
ex/n
n (ex/n + 1)2
n=1
=
∞
X
ν(n)
n=1
e−x/n
n(1 + e−x/n )2
Nous allons encore utiliser l'intégration par parties dans l'intégrale de Stieltjes .
Posons :
f (t, x) =
e−x/t
t(1 + e−x/t )2
18
(40)
Dérivée :
x
x
x
∂f (t, x)
e−x/t
−x/t
=
−
1
−
+
1
e
∂t
x(1 + e−x/t )3
t
t
t2
Intégration par parties :
e−x/n
1
ν(n)
= S(y)f (y, x) −
−x/n
2
n(1 + e
)
x
1≤n≤y
X
y
Z
S(t)
1
x
x
x
e−x/t
−x/t
−
1
−
+
1
e
dt
x(1 + e−x/t )3
t
t
t2
Eectuons le changement de variable u = x/t , puis le passage à la limite y → ∞ :
∞
X
e−x/n
=−
x
ν(n)
−x/n )2
n(1
+
e
n=1
∞
Z
S
e−u
((u − 1) − (u + 1)e−u )du
u (1 + e−u )3
x
0
Nous pouvons utiliser le théorème de Lebesgue de convergence dominée :
∞
X
e−x/n
lim x
ν(n)
=−
x→∞
n(1 + e−x/n )2
n=1
∞
Z
lim 1[0,x] (u)S
e−u
((u − 1) − (u + 1)e−u )du
−u
3
u (1 + e )
x
x→∞
0
Finalement :
(41)
lim xM0 (x) = 0
x→∞
5.6 Peut-on trouver une meilleure majoration de M à l'inni ?
L'inégalité suivante est-elle vraie pour x assez grand :
| M(x) |≤
C
x
?
(42)
5.7 Identité entre M et N .
Nous allons montrer que, pour tout z au voisinage de 0, on a :
M(z) = N (z)
ou encore :
∞
X
ν(2n + 1)
1
n=0
2
−
1
ez/(2n+1)
+1
= 2z
∞
X
m=0
√
β(2m + 1)
2m + 1 (z 2 + π 2 (2m + 1)2 )
Partons de la formule (27) :
1
1
− z/(2n+1)
2 e
+1
∞
X
n=0
ν(2n + 1)
1
2
−
1
=
2
∞
X
(−1)k
k=0
ez/(2n+1) + 1
=
2
π 2k+2
∞
X
ζimp (2k + 2)
ν(2n + 1)
n=0
z 2k+1
(2n + 1)2k+1
∞
X
(−1)k
k=0
π 2k+2
ζimp (2k + 2)
z 2k+1
(2n + 1)2k+1
Pour justier la commutation des sommations, montrons la convergence absolue de la série triple :
∞
X
n=0
ν(2n + 1)
∞
X
k=0
∞
X
(−1)k z 2k+1
1
2k+2
2k+1
π
(2n + 1)
(2l + 1)2k+2
l=0
19
D'après (23), nous avons :
| ν(2n + 1) |≤
d(2n + 1)
2n + 1
Nous pouvons donc majorer en valeurs absolues par :
|z|
∞ X
∞ X
∞
X
| z |2k d(2n + 1)
π 2k+2 (2n + 1)2k+2 (2l + 1)2k+2
n=0 k=0 l=0
Soit m tel que 2m + 1 = (2n + 1)(2l + 1), on trouve :
|z|
∞ X
∞
X
m=0 k=0
| z |2k
(π(2m + 1))2k+2
X
d(2n + 1)
(2n+1)|(2m+1)
Fixons ε > 0 quelconque. Il est bien connu, cf [5], que :
d(n) = O(nε )
Donc, il existe N tel que pour tout n ≥ N :
d(n) ≤ K(ε)nε
X
d(2n + 1) ≤ K(ε)
(2n+1)|(2m+1)
X
(2n + 1)ε
(2n+1)|(2m+1)
X
≤ K(ε) (2m + 1)ε
1
(2n+1)|(2m+1)
ε
≤ K(ε)(2m + 1) K(ε)(2m + 1)ε
≤ K(ε)2 (2m + 1)2ε
La quantité étudiée a donc comme série majorante à coecients positifs :
∞
∞
X
| z |2k
(2m + 1)2ε X
K(ε) | z |
(2m + 1)2 π 2 k=0 (π(2m + 1))2k
m=0
2
= K(ε)2 | z |
= K(ε)2 | z |
∞
X
(2m + 1)2ε
(2m + 1)2 π 2 1 −
m=0
1
|z|2
(π(2m+1))2
∞
X
(2m + 1)2ε
(2m + 1)2 π 2 − | z |2
m=0
Si l'on prend ε > 0 assez petit, cette série est convergente .
Nous pouvons donc commuter les sommations. Pour | z |< π :
∞
X
n=0
ν(2n + 1)
1
2
−
1
ez/(2n+1) + 1
=2
=2
∞
X
(−1)k z 2k+1
k=0
∞
X
k=0
π 2k+2
ζimp (2k + 2)
∞
X
ν(2n + 1)
(2n + 1)2k+1
n=0
(−1)k z 2k+1
ζimp (2k + 2)ζν (2k + 1)
π 2k+2
20
Rappellons la formule (19) sous la forme particulière :
ζν (2k + 1) =
ζβ (2k + 5/2)
ζimp (2k + 2)
Nous avons donc le développement en série de puissance de N à l'origine :
M(z) = 2
∞
X
(−1)k z 2k+1
k=0
π 2k+1
ζβ (2k + 5/2) pour | z |< π
Nous retrouvons bien la formule (36) et nous avons bien établi que M et N sont deux expressions
de la même fonction .
5.8 Représentation intégrale de la fonction ζλ pour −3/2 < R(s) < −1/2 .
Rappelons la formule (34) :
Z
ζα (s) = ϕ(s)
∞
N (x)xs−1/2 dx pour
− 3/2 < R(s) < −1/2
0
Théorème 2. Pour
−3/2 < R(s) < −1/2,
nous avons la représentation intégrale :
1 − 21−s
ϕ(s)
ζλ (s) =
1 − 21−2s
∞
Z
N (x)xs−1/2 dx
(43)
0
Détaillons les valeurs de ϕ, de N et de M. Pour −3/2 < R(s) < −1/2, nous avons :
π π
π 1
1 − 21−s
cos s cos s + Γ − s
ζλ (s) = 2s−1
(2
− 1)π
2
2
4
2
Z
π π
π 1
21−s − 1
cos s cos s + Γ − s
2s−1
(2
− 1)π
2
2
4
2
Z
ζλ (s) =
∞
∞X
0
√
m=0
∞
∞X
0
m=0
2x β(2m + 1)
xs−1/2 dx
2
2
2
2m + 1(x + π (2m + 1) )
(44)
ν(2m + 1) s−1/2
x
dx
+1
ex/(2m+1)
Remarque sur le coecient intervenant dans ces formules :
Annulation du numérateur :
21−s − 1 = 0
π cos s
2
π
π
cos s +
2
4
⇐⇒
2iπ
ln 2
s = 2k + 1
⇐⇒
s=
1
+ 2k
2
s=
1
iπ
+k
2
ln 2
⇐⇒
s=1+k
Tout ceci pour k ∈ Z. Annulation du dénominateur :
22s−1 − 1 = 0
⇐⇒
aussi pour k ∈ Z .
21
(45)
6
Références
[1] A.E. Ingham. The distribution of prime numbers. Stechert-Hafner service agency, 1964.
[2] W. Magnus, F. Oberhettinger, R.P. Soni. Formulas and theorems for special functions of Mathematical Physics. Springer-Verlag, 1966.
[3] D.J. Newman. Simple analytic proof of the prime number theorem. Amer.Math.Monthly, 87(9)
p.693-696, 1980 ou Analytic Number theory. Springer-Verlag, 1991.
[4] B. Riemann. Uber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse. Monatsberichte der
Berliner Akademie (1859), 671-680. Traduction française par L. Laugel: ×uvres Mathématiques de
Riemann. p.165-176 (1898). Réed. Blanchard.
[5] G. Tenenbaum. Introduction à la théorie analytique et probabililiste des nombres. Cours spécialisés. Société Mahtématique de France, 1995.
[6] E.C. Titchmarsh. The theory of the Riemann zeta-function. Oxford Science publication, second
edition, 1986.
Remerciements
Je remercie Michel Paugam pour ses remarques fructueuses et sa conance dans mon travail ainsi que
Claude Longuemare pour tout ce qu'il m'a appris à travers les divers sujets que nous avons abordés.
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