Intégrales généralisées Objectifs - Comprendre la définition de la convergence d'une intégrale généralisée, et l'utiliser pour en calculer la valeur. - Savoir étudier la convergence (absolue) d'une intégrale généralisée, à l'aide de comparaisons, et/ou des critères de Riemann. - Savoir effectuer un changement de variable dans une intégrale généralisée. - Savoir effectuer une IPP dans les intégrales généralisées. - Voir quelques exemples d'intégrales semi-convergentes. Exercice 1. En utilisant la définition d'une intégrale généralisée, étudier la convergence des intégrales généralisées suivantes, et, lorsqu'elles convergent, calculer leur valeur. dt 2 dx I1= eat dt I2= I3= 0 1 t² 1 0 x 1 dt t dx I4= I5= I6= 0 1 0 1 x² t 1 t² 1 t ln(t) Exercice 2. Déterminer la nature des intégrales impropres suivantes : e sin(x) 1 1- 9- 17dx dx 3 1 ln(x) 0 x2 3- 4- x 2- 0 0 sin ²(x)dx sin(x²)dx 0 ln(x) 10- 3 dx 0 1 x sin 3 (3x) 11- 2 2 dx 0 sin (2x) 1 1 x² dx 12- 5- e x ² dx 13- 6- ln(x) 0 x dx 14- 7- 8- 0 1 0 1 0 0 0 arctan(x) dx x 15- arctan(x) 2 dx x 16- 1 Exercice 3. 0 0 1819- 1 0 sh(x) 2 0 sin(x) cos(x) dx x 21- sin(x) dx sh(x) 22- ex dx ch(x) ln 1 sin(x) sh ln(1 x) th x 5 dx 1 2 1 2 0 dx cos(x) ln(tan(x))dx 3 x2 0 20- ln(x)e2x dx x1² e 1 dx 1 2 x dx dx x ln(x) dx x ln(x) 1- Montrer que l'intégrale I = = 0 dt est convergente. Pour la suite, on admet que I 1 t4 2 . 4 2 - On considère l'intégrale J = 0 dt . t 1 t² a- Montrer que J est convergente. b- Utiliser, après l'avoir justifié, le changement de variable u = t pour calculer la valeur de J. arctan(t) dt . 3 - Pour > 0, on considère l'intégrale K() = 0 t a- Pour quelles valeurs de l'intégrale K() est-elle convergente ? 3 b- Calculer K . 2 Exercice 4. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que 1 sin x² dx est convergente. Exercice 5. 1- Soit f une fonction de classe C1 , décroissante sur [a;+ [ telle que Lim f soit nulle. + En intégrant par parties, montrer que a f(x).sin(x) dx et + a f(x).cos(x) dx convergent. + sin²(x) dx est divergente. x Indication : exprimer sin²x en fonction de cos(2x). + sin(x) + cos(x) 3- Montrer que dx et dx sont convergentes. Sont-elles 0 x x 2 absolument convergentes ? 4- Soit a un réel strictement positif. Etudier la convergence de + sin(x) + sin(x) sin(x) a x dx et a x .1 + x dx. Commenter. 2- Montrer que 2 Exercice 6. tx 0 1 t² dt . 1- Quel est le domaine de définition de f ? 2 - Calculer f (0) et f (1). x 1 3-a- Montrer que : x > 1, f (x) = f (x - 2). x (On pourra partir de f (x - 2) - f (x) et effectuer une intégration par parties) b- En déduire la valeur de f (2) et de f (3). 4 - Montrer que la fonction f est positive et décroissante sur Df. 1 5 - Prouver que : x Df , f(x) . En déduire la valeur de Lim f (x) . x 1 x+1 On définit la fonction f par f (x) = 1 Exercice 7. 1 - Pourquoi l'intégrale J = t 1 dt peut-elle être considérée comme une intégrale 0 ln(t) 1 ordinaire ? 2-a- Montrer que pour tout x ]0,1[, x 0 x² t 1 dt du . 0 ln(t) ln(u) 1 dt . x 1 ln(t) 3 - Soit t ]0,1[. Déterminer un encadrement de - ln(t) en intégrant les inégalités 1 1 1 2 pour tout u [t, 1].. u u x 1 4 - En déduire un encadrement de dt puis la valeur de J. x ² ln(t) b- En déduire que J = Lim x x² Exercice 8. 1-a- Montrer que l'intégrale I = 1 ln(x) 1 x² dx 0 converge. b- A l'aide d'un changement de variable, montrer que I = 1 2 - En déduire la valeur de J = 0 ln(x) dx . 1 x² ln(x) dx , où a est un réel strictement positif. a² x² Exercice 9. sin (2n 1)x sin (2n 1)x dx . dx et Jn= 2 0 0 x sin(x) 1- Justifier l'existence de ces intégrales. 2 - Montrer que pour tout n *, on a In – In-1 = 0. En déduire la valeur de In pour tout Pour n , on définit In= 2 n. 3-a- On définit la fonction f sur [0,1] par f(x) = 1 1 si x 0, et f (0) = 0. sin(x) x 2 Montrer que f est de classe Cl sur [0,1]. b- Donner la valeur de Lim I n J n à l'aide d'une intégration par parties, puis celle de n Lim J n . n 4- En déduire, à l'aide d'un changement de variable dans Jn, la valeur de Exercice 10. 1 - Montrer la convergence de I = 0 e t ² dt . e x 1 t ² dt . 2 - Soit f la fonction définie sur par f (x) = 0 1 t² a- Montrer que Lim f (x) = 0. 1 x 0 sin(x) dx . x b- Montrer que f est dérivable sur et que f '(x) e x1 t ² dt f(x) (on pourra 1 0 appliquer le théorème de la moyenne à un taux d'accroissement de f). 3 - Pour x , on définit F(x) = f (x2) + x 0 2 e t ² dt . Montrer que F est constante. En déduire la valeur de I.