EXERCICES SUR LES INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

Intégrales généralisées
Objectifs
- Comprendre la définition de la convergence d'une intégrale généralisée, et l'utiliser
pour en calculer la valeur.
- Savoir étudier la convergence (absolue) d'une intégrale généralisée, à l'aide de
comparaisons, et/ou des critères de Riemann.
- Savoir effectuer un changement de variable dans une intégrale généralisée.
- Savoir effectuer une IPP dans les intégrales généralisées.
- Voir quelques exemples d'intégrales semi-convergentes.
Exercice
1.
En utilisant la définition d'une intégrale généralisée, étudier la convergence des
intégrales généralisées suivantes, et, lorsqu'elles convergent, calculer leur valeur.
I1=
at
0e dt
I2=
0
dt
1 t²
I3=
2
1
dx
x1
I4=
1
dt
t ln(t)
I5=
0
dx
1 x²
I6=
0
t
t 1 t² 1
Exercice
2.
Déterminer la nature des intégrales impropres suivantes :
1-
3
02
sin(x) dx
x
9-
e
1
1dx
ln(x)
17-
1
x²
0e 1 dx
2-
0sin²(x)dx
10-
1
3
0
ln(x) dx
1x
18-
1
2
0
sh(x) dx
x
3-
0sin(x²)dx
11-
3
22
0
sin (3x) dx
sin (2x)
19-
2
0cos(x)ln(tan(x))dx
4-
0x 1 x² dx
12-
2x
0ln(x)e dx
20-
x
1
1dx
2
5-
x²
0e dx
13-
3
0
sin(x)
cos(x) dx
x
21-
2
dx
x ln(x)
6-
1
0
ln(x) dx
x
14-
0
sin(x) dx
sh(x)
22-
1
2
0
dx
x ln(x) 
7-
0
arctan(x) dx
x
15-
x
0
edx
ch(x)
8-
1
arctan(x) 2dx
x
16-
1
5
0
ln 1 sin(x) sh ln(1 x) dx
th x
Exercice
3.

1- Montrer que l'intégrale I =
4
0
dt
1t
est convergente. Pour la suite, on admet que I
=
2
4
.
2 - On considère l'intégrale J =
0
dt
t 1 t²
.
a- Montrer que J est convergente.
b- Utiliser, après l'avoir justifié, le changement de variable u =
t
pour calculer la
valeur de J.
3 - Pour  > 0, on considère l'intégrale K() =
0
arctan(t) dt
t
.
a- Pour quelles valeurs de  l'intégrale K() est-elle convergente ?
b- Calculer K
3
2
.
Exercice
4.
A l'aide d'une intégration par parties, montrer que
1sin x² dx
est convergente.
Exercice
5.
1- Soit f une fonction de classe
C1
, décroissante sur [a;+ [ telle que
Lim f
+
soit nulle.
En intégrant par parties, montrer que
+
aa
f(x).sin(x) dx et f(x).cos(x) dx
convergent.
2- Montrer que
+
2
sin²(x)
dx
x
est divergente.
Indication : exprimer sin²x en fonction de cos(2x).
3- Montrer que
++
02
sin(x) cos(x)
dx et dx
xx
sont convergentes. Sont-elles
absolument convergentes ?
4- Soit a un réel strictement positif. Etudier la convergence de
sin(x)
x dx et sin(x) x. 1+ sin(x) x dx
a
+
a
+ 
. Commenter.
Exercice
6.
On définit la fonction f par f (x) =
x
1
0
tdt
1 t²
.
1- Quel est le domaine de définition de f ?
2 - Calculer f (0) et f (1).
3-a- Montrer que : x > 1, f (x) =
x1
x
f (x - 2).
(On pourra partir de f (x - 2) - f (x) et effectuer une intégration par parties)
b- En déduire la valeur de f (2) et de f (3).
4 - Montrer que la fonction f est positive et décroissante sur Df.
5 - Prouver que :
f1
x D , f(x) x+1
. En déduire la valeur de
x1
Limf(x)
.

Exercice
7.
1 - Pourquoi l'intégrale J =
1
0
t1
dt
ln(t)
peut-elle être considérée comme une intégrale
ordinaire ?
2-a- Montrer que pour tout x ]0,1[,
x x²
00
t1
dt du
ln(t) ln(u)
.
b- En déduire que J =
x
x²
x1
1
Lim dt
ln(t)
.
3 - Soit t ]0,1[. Déterminer un encadrement de - ln(t) en intégrant les inégalités
2
11
1uu
pour tout u [t, 1]..
4 - En déduire un encadrement de
x
x²
1dt
ln(t)
puis la valeur de J.
Exercice
8.
1-a- Montrer que l'intégrale I =
1
0
ln(x) dx
1 x²
converge.
b- A l'aide d'un changement de variable, montrer que I =
1
ln(x) dx
1 x²
.
2 - En déduire la valeur de J =
0
ln(x) dx
a² x²
, où a est un réel strictement positif.
Exercice
9.
Pour n , on définit In=
2
0
sin (2n 1)x dx
sin(x)
et Jn=
2
0
sin (2n 1)x dx
x
.
1- Justifier l'existence de ces intégrales.
2 - Montrer que pour tout n *, on a In – In-1 = 0. En déduire la valeur de In pour tout
n.
3-a- On définit la fonction f sur [0,1] par f(x) =
11
sin(x) x
si x
0, 2
et f (0) = 0.
Montrer que f est de classe Cl sur [0,1].
b- Donner la valeur de
nn
n
LimI J
à l'aide d'une intégration par parties, puis celle de
n
n
Lim J
.
4- En déduire, à l'aide d'un changement de variable dans Jn, la valeur de
0
sin(x) dx
x
.
Exercice
10.
1 - Montrer la convergence de I =
t²
0e dt
.
2 - Soit f la fonction définie sur  par f (x) =
x 1 t²
1
0
edt
1 t²
.
a- Montrer que
x
Limf(x)
= 0.

b- Montrer que f est dérivable sur  et que
1x 1 t²
0
f '(x) e dt
f(x) (on pourra
appliquer le théorème de la moyenne à un taux d'accroissement de f).
3 - Pour x , on définit F(x) = f (x2) +
2
xt²
0e dt
.
Montrer que F est constante. En déduire la valeur de I.