Partie A : CALCUL INTEGRAL : - Faculté des Sciences de Rabat

Université Mohammed V - Agdal
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques et Informatique
Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014
Rabat, Maroc
Filière :
SMI - SM
&
SMP - SMC
Module : M6
NOTES de cours d’Analyse II
Partie A : CALCUL INTEGRAL :
Par
Ali ALAMI-IDRISSI Saïd EL HAJJI et Samir HAKAM
Groupe d’Analyse Numérique et Optimisation
Année 2005-2006

Calcul Intégral
Objectifs :
1) Calculer l’aire d’une région à partir de limite
2) Définir l’intégrale de Riemann.
3) Calcul des sommes de Riemann
4) Connaitre et utiliser quelques méthodes (techniques) d’intégrations
5) Etudier les intégrales impropres
6) Déterminer la convergence de certaines séries.
Plan :
I : Intégrale de (ou au sens) de Riemann
II : Fonction définie par une Intégrale
III : Calcul des intégrales.
IV : Calcul de primitives : Techniques de Base
V : Intégrales Impropres
I - Intégrale de Riemann
1) Calcul d’aires à l’aide de limite
Dans toute la suite, on considère l’intervalle fermé borné a,bavec aet bréels et a<b.
Définition 1:
On appelle subdivision ou partition de a,b, une suite strictement croissante de nombres
réels x0,x1,...,xntel que x0=a<x1<...<xn−1<xn=b.
On note P=xii=0,nou P=x0=a,x1,...,xn−1,xn=b.
Chaque sous-intervalle de a,b,xi,xi+1i=0, n−1, est de longueur Δxi=xi+1−xi.
Une partition est dite régulière lorsque Δx0= Δx1=...= Δxn. On dit aussi que la partition est
à pas constant.
Exemple 1:
Soit fune fonction continue, décroissante, positive sur l’intervalle fermé borné 0, 1et soit
Cfsa courbe représentative.
10.750.50.250
1
0.875
0.75
0.625
0.5
0.375
x
y
x
y
y=exp−x,Iet S4
10.750.50.250
1
0.875
0.75
0.625
0.5
0.375
x
y
x
y
y=exp−x,Iet s4
Figure 1
Soit nun entier supérieur à 1 (n≥1), (n=4 sur la figure).
L’intervalle 0, 1étant partagé en nintervalles de longueur égale.
On désigne par Snl’aire des rectangles circonscrits, snl’aire des rectangles inscrits et Il’aire
limitée par la courbe Cf(fx=exp−xsur la figure), l’axe ox et les droites x=0 et x=1.
Tous les rectangles de la figure ont pour longueur 1
net pour hauteur:
i) Pour les rectangles inscrits:
f0,f1
n,f2 n,⋯,fn−1 n

ii) Pour les rectangles circonscrits :
f1
n,f2 n,⋯,fn−1 n,f1
D’où les expressions de Snet sn:
Sn=1
nf0+1 nf1 n+⋯+1 nfn−1 n=1 n∑
k=0
n−1
fk
n
sn=1
nf1 n+1 nf2 n+⋯+1 nf1 n=1 n∑
k=1
n
fk
n
Desquelles, on déduit que
Sn−sn=1
nf1−f0.
Par construction, on a:
sn≤I≤Sn0≤I−sn≤Sn−sn
0≤Sn−sn≤Sn−sn
0≤I−sn≤1
nf1−f00n+∞
0≤Sn−sn≤1
nf1−f00n+∞
Ce qui nous améne à la conclusion
lim
n→+∞sn=lim n→+∞Sn=I.
Exemple 2:
Soient fune fonction bornée sur l’intervalle fermé borné a,bet Cfsa courbe représentative.
Considérons l’aire limitée par Cf, l’axe ox et les droites x=aet x=b.
Pour calculer approximativement cette aire, on partage l’intervalle a,ben nparties égales
(n≥1) et on a :
x0=a,x1=a+b−a
n,x2=a+2b−a n,⋯,xk=a+kb−a n,⋯,xn=a+nb−a n=b
On désigne par Snl’aire des rectangles circonscrits, snl’aire des rectangles inscrits et Il’aire
limitée par la courbe Cf, l’axe ox et les droites x=aet x=b.
Tous les rectangles de la figure ont pour longueur b−a
net pour hauteur:
i) Pour les rectangles inscrits:
M1,M2,⋯,Mnoù Mk=supfx/xk≤x≤xk+1
ii) Pour les rectangles circonscrits:
m1,m2,⋯,mnoù mk=inffx/xk≤x≤xk+1
D’où
sn=b−a
nm1+m2+⋯+mn=b−a n∑
k=1
n
mk
et
Sn=b−a
nM1+M2+⋯+Mn=b−a n∑
k=1
n
Mk
On a:
sn≤I≤Sn
2) Intégrale de Riemann
Définition 2:
On dit qu’une fonction fest intégrable sur l’intervalle fermé borné a,bsi
lim
n→+∞sn=lim n→+∞Sn

Cette limite est notée: I=∫a
b
fxdx
aet bsont appelées les bornes de l’intégrale définie.
Ine dépend que de fet de l’intervalle fermé borné a,b.

Définition 3:
On appelle aire algébrique limitée par la courbe Cf, l’axe ox et les doites x=aet x=b
l’intégrale définie (ou intégrale) de fsur l’intervalle fermé borné a,b.
Remarque 1: Cette intégrale peut être positive (>0), négative (<0) ou nulle (=0).
Définition 4:
Soit Pune partition quelconque de l’intervalle fermé borné a,b:
P=x0=a<x1<⋯<xn−1<xn=b
et
c1∈x0,x1,c2∈x1,x2,⋯cn∈xn−1,xn
Si l’on considére la somme
Σn=x1−x0fc1+x2−x2fc2+⋯+xn−xn−1fcn=∑
k=1
n
xk−xk−1fck
On dit que fest intégrable au sens de Riemann, si
n→+∞
lim Σnexiste et est finie.
Cette limite est notée ∫a
bfxdx , elle est indépendante du choix de la subdivision (partition)
Pet est appelée intégrale de Riemann de fdans l’intervalle fermé borné a,b.
Σnest appelé somme de Riemann de fsur l’intervalle fermé borné a,b.
D’où l’intégrale de fest la limite des sommes de Riemann.
Remarques fondamentales :
i) les points ci∈xi−1,xiet ne sont pas donnés explicitement.
ii) Dans la section précédente, snet Snsont également des sommes de Riemann. Dans le cas
Sn, par exemple, chaque cietait choisi tel que fcidonnait le maximum de la fonction dans le
sous intervalle xi,xi+1. De plus, les Δxiétaient égaux
Exemple 3:
Soit fla fonction constante sur l’intervalle fermé borné a,b:c’est à dire
fx=Cpour tout x∈a,b.
On considère une partition régulière de a,b(on a nparties égales de longueur b−a
n
x0=a,x1=a+b−a
n,x2=a+2b−a n,⋯,xk=a+kb−a n,⋯,xn=a+nb−a n=b
On a
sn=Sn=b−a
n∑
k=1
n
fxk=b−a
n∑
k=1
n
C=b−a
nnC =b−aC
Donc
∫a
b
C dx =b−aC
Définition 5:
i) Une fonction f:a,b→IR est dite une fonction en escalier s’il existe une subdivision
P=x0=a,x1,...,xn=bde a,btelle que fsoit constante sur chaque intervalle xi,xi+1.
ii) Une fonction f:a,b→IR est dite une fonction continue par morceaux s’il existe une
subdivision P=x0=a,x1,...,xn=bde a,btelle que fsoit continue sur chaque intervalle
xi,xi+1et admette une limite à gauche et à droite en tout point xi.
Exemple 4:
Soit f:0, 1  la fonction définie par:
fx=1 si x∈0, . 5
2 si x∈. 5, 1
On a fest une fonction en escalier.
Par définition de l’intégrale de Riemann, on a :