Licence 1A G1 (Maths Info) Mathématiques MT2 Le 4 décembre

Licence 1A G1 (Maths Info)
Math´ematiques MT2 Le 4 d´ecembre 2003
Contrˆole Continu
dur´ee : 1h30
Les documents ne sont pas autoris´es et les calculettes sont interdites. Il est demand´e de
r´ediger avec le plus grand soin.
EXERCICE 1.
Soient Eun ensemble et f:E→Eune bijection. Soit φ:E→Eune application.
1. Montrer que si φest injective alors f◦φ◦f−1l’est aussi.
2. Lorsque φest bijective, montrer que f◦φ◦f−1est bijective et donner sa bijection
r´eciproque.
EXERCICE 2.
On consid`ere la fonction fde Rdans Rd´efinie par
f(x) = 
sin x
xsi x < 0
1 si x= 0
x2+ 1 si x > 0
1. La fonction fest elle continue sur R?
2. D´eterminer l’ensemble des points o`u fest d´erivable.
3. Calculer la d´eriv´ee de faux points xo`u elle est d´erivable.
EXERCICE 3.
1. Ecrire les d´eveloppements limit´es `a l’ordre 4 dans un voisinage de 0 des fonctions
x7→ (sin x)2et x7→ cos x−1.
2. En d´eduire
lim
x→0
2(1 −cos x)−(sin x)2
(tan x)2(1 −cos x).
EXERCICE 4.
On consid`ere une application g:R+→Rtelle que :
lim
x→+∞
xg(x)
ln x= 0.
1

1. Ecrire la d´efinition du cours de la proposition suivante : la fonction ftend vers 0 quand
xtend vers +∞.
2. Montrer qu’il existe adans R+tel que l’on ait :
x≥a⇒x|g(x)|≤ ln x.
3. En d´eduire que gposs`ede une limite quand xtend vers +∞et pr´eciser cette limite.
2