Quelques représentations géométriques du calcul

Quelques représentations
géométriques du calcul
Yves Lafont
Faculté des Sciences de Luminy
Institut de Mathématiques de Luminy
1 juillet 2003
0-0
1
Algèbre élémentaire
Commutativité de l’addition : a + b = b + a
a
b
b
Associativité de l’addition : (a + b) + c = a + (b + c)
a
b
c
Commutativité de la multiplication : ab = ba
b
a
a
b
0-1
a
Associativité de la multiplication : (ab)c = a(bc)
c
c
b
a
b
a
Distributivité de la multiplication sur l’addition : a(b + c) = ab + ac
b
c
a
0-2
Deux identités remarquables : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
a
b
a
b
a
a
b
a
b
0-3
b
2
Aires de polygones simples
Aire d’un carré : a2
a
Aire d’un rectangle : ab
b
a
a
a2
Aire d’un triangle rectangle isocèle :
2
ab
Aire d’un triangle rectangle :
2
a
a
b
b
a
a
a
a
0-4
Aire d’un parallélogramme : hb
b
h
b
b
h
hb
Aire d’un triangle :
2
h
h(a + b)
Aire d’un trapèze :
2
a
h
h
b
b
b
a
h
h
0-5
b
Théorème de Pythagore pour un triangle rectangle isocèle : 2a2 = b2
a
a
a
b
a
a
b
b
a
Théorème de Pythagore pour un triangle rectangle quelconque : a2 + b2 = c2
a
b
a
b
a
c
a
b
b
b
a
0-6
c
c
3
Séries finies
n
X
n(n + 1)
i = 1 + 2+ 3 + ···+ n =
Série arithmétique de raison 1 :
2
i=1
n+1
n
1
n
n
7+6+5+4+3+2+1
+1+2+3+4+5+6+7
= 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 7×8
0-7
Série géométrique de raison 2 :
n
X
2i = 1 + 2 + 4 + · · · + 2n = 2n+1 − 1
i=0
2n
1
1
2n+1
1 + 10 + 100 + 1000 + 10000 = 11111 = 100000 − 1 (en base 2)
0-8
n
X
an+1 − 1
a = 1+ a+ a + ···+ a =
Série géométrique de raison a 6= 1 :
a−1
i=0
2
i
n
an+1
an
1
a
a + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7
− 1 − a − a2 − a3 − a4 − a5 − a6
= a7 − 1
(a − 1)(1 + a + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 ) =
0-9
4
Calcul différentiel
Somme : si z = x + y, alors dz = dx + dy
dx
x
y
dy
Produit : si z = xy, alors dz = y dx + x dy (règle de Leibnitz)
y
dy
x
dx
Cas particulier : si a est une constante et y = ax, alors dy = a dx
x
dx
y
0-10
dy
Fonction : si y = f (x), alors dy = f 0 (x)dx
dy
y
f
x
dx
Cas particulier : si a est une constante, alors da = 0
a
x
dx
0-11
Dérivée d’une réciproque : si g = f −1 et x = g(y), alors g 0 (y) =
1
1
=
f 0 (x)
f 0 (g(y))
x
f −1
x = g(y)
y = f (x)
dy = f 0 (x)dx
y
dx =
f
y
x
0-12
dy
dy
=
f 0 (x)
f 0 (g(y))
Exercices
1. Trouver une représentation géométrique pour l’identité suivante :
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
2. Quelle est l’aire d’un losange de hauteur h et de largeur l ?
Dans le cas où h = l, retrouver cette aire à partir de celle d’un carré de côté a.
3. Calculer les expressions suivantes :
q
X
i=p
i
q
X
ai
i=p
n
Y
ai
i=1
4. Trouver des représentations géométriques pour le calcul des dérivées des fonctions
suivantes (a est une constante) :
f (x) + a
f (x + a)
0-13
af (x)
f (ax)