Correction du brevet blanc de mathématiques Exercice 1 : 5 points

Correction du brevet blanc de mathématiques
Exercice 1 : 5 points
1. Développer et réduire l’expression E. 1,5 point
E = 4x2 − 9 + (2x +3)(x −2)
E = 4x2 − 9 + 2x2 – 4x + 3x −6
E = 6x2 – x − 15
2. Factoriser 4x2 −9. En déduire la factorisation de l’expression E. 1,5 point
4x2 −9 = (2x + 3)(2x – 3)
On en déduit
E = 4x2 − 9 + (2x +3)(x −2)
E = (2x + 3)(2x – 3) + (2x +3)(x −2)
E = (2x + 3)(2x – 3 + x −2)
E = (2x + 3)(3x – 5)
3. a. Résoudre l’équation 1 point
(2x +3)(3x –5) = 0
Si un produit est nul, alors au moins iun de ses facteurs est nul
donc 2x +3 = 0
d’où 2x = 0 – 3
d’où 2x = – 3
d’où x = 
ou 3x –5 = 0
d’où 3x = 0 + 5
d’où 3x = 5
d’où x = 
L’équation admet deux solutions : 
 et 
b. Solution entière de l’équation. 0,5 point
 = - 1,5 Ce n’est pas un nombre entier.
 ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est égal à 1.
Ce n’est pas un nombre entier.
Cette équation n’a pas de solution entière.
c. Solution décimale de l’équations. 0,5 point
 = - 1,5 ceci est un nombre décimal.
Cette équation a une solution décimale.
Exercice 2 : 5 points
Question
Réponse
Question
Réponse
1
est inférieure à
la moyenne de
cette série de
valeurs
4
admet une
solution : −4.
2
multiplier ce
prix par 0,85.
5
supérieurs ou
égaux à 
3
−18
Exercice 3 : 3 points
On donne x =  et y = .
1. Ecrire x et y sous la forme  (a et b entiers, a étant le plus grand entier
possible). 2 points
x = 
x =   
x = 
x = 6 
y = 
y =   
y = 
y = 
2. Ecrire sous la forme la plus simple possible x2 – y2 et x + y. 1 point
x2 – y2
= 
= 72 – 98
= - 26
x + y
= 6  + 
= ( 6 + 7)
= 13
Exercice 4 : 6 points
1. Calcul de la mesure de l’angle•
. 1 point
EFG est un triangle rectangle en E, alors on a :
cos 
 = 
cos 
 = 
d’après la calculatrice on obtient :
67 arrondi à l’unité.
L’arrondi au degré de la mesure de l’angle 
 et égale à 67°.
2. Montrons que EG = 12 cm. 1 point
EFG est un triangle rectangle en E, alors d’après le théorème de Pythagore on a :
FG2 = FE2 + EG2
d’où 132 = 52 + EG2
d’où 169 = 25 + EG2
d’où EG2 = 169 – 25
d’où EG2 =144
d’où EG = 
d’où EG = 12
EG est égale à 12 cm.
3. On considère le point M sur [EG] tel que EM= 3 cm. 0,5 point.
Calculons GM.
Les points E, M et G sont alignés dans cet ordre
alors MG = EG – EM
MG = 12 – 3
MG = 9
MG est égale à 9 cm

4. On sait que EFG est un triangle rectangle en E (2 points)
alors (FE) est perpendiculaire à (EG)
de plus (MN) est perpendiculaire à (EG)
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles
entre elles
donc les droites (MN) et (EF) sont parallèles.
5. Calculons GN. 1,5 point
Les triangles GEF et GMN de sommet commun G sont tels que :
- M  (GE)
- N  (GF)
- (MN) et (EF) sont parallèles
alors d’après le théorème de Thalès on a :
D’où GN = 
GN = 9,75
GN est égale à 9,75 cm
Exercice 5 : 6 points
Partie A : Étude d’un cas particulier x = 3.
1. calcul de AB et AF. 1 point
AB = 2  3 + 1
AB = 6 + 1
AB = 7
AF = 3 + 3
AF = 6
AB est égal à 7cm et AF à 6 cm
2. Calcul de l’aire du rectangle FECD. 0,5 point
Aire(FECD)
= Aire(ABCD) - Aire(ABEF)
= AB2 - ABAF
= 72 - 7 6
= 49 – 42
= 7
L’aire du rectangle FECD est égale à 7 cm2
Partie B : Étude du cas général : x désigne un nombre supérieur à deux. 1 point
1. Expression la longueur FD en fonction de x.
On sait que F  [AD]
alors FD = AD – AF
FD = 2x +1 – (x +3)
FD = 2x +1 – x – 3
FD = x – 2
L’expression en fonction de x de FD est égale à x – 2.
2. Expression de l’aire de FECD. 1 point
Aire(FECD)
= FE  FD
= (2x +1)(x −2)
L’expression en fonction de x de l’aire de FECD est égale à (2x +1)(x −2)
3. Expression en fonction de x, les aires du carré ABCD et du rectangle ABEF. 1 point
Aire(ABCD)
= AB2
= (2x +1)2
Aire(ABEF)
= ABAF
= (2x +1)( x +3)
4. Aire du rectangle FECD 1 point
Aire(FECD)
= Aire(ABCD) - Aire(ABEF)
= (2x +1)2 − (2x +1)(x +3)
L’expression en fonction de x de l’aire du rectangle FECD est (2x +1)2 − (2x +1)(x +3).
5. Les deux aires trouvées aux questions 2 et 4 sont égales et on a donc :
(2x +1)2 − (2x +1)(x +3) = (2x +1)(x −2)
Cette égalité traduit une factorisation 0,5 point
Exercice 6 :
Partie 1
1. Compléter le tableau 1 de l’Annexe 1. 1 point (enlever 0,5 par erreur)
2. On appelle x le montant de la réduction (en euros). Compléter le tableau 2 de
l’annexe 1. 1,5 point (0,5 par réponse juste.)
3. Développer l’expression de la recette obtenue à la question 2. 0,5 point
(20 – x)(500 + 50x)
= 20  500 + 20  50x – 500x – 50x2
= 10 000 + 1 000x – 500x – 50x2
= 10 000 + 500x – 50x2
Partie 2
1. Par lecture graphique, une valeur approchée de la recette pour une réduction de 2
euros est 10 800 € 0,5 point
2. Par lecture graphique, une valeur approchée du montant de la réduction pour une
recette de 4 050 euros est 17 € . 0,5 point
Prix d’une place
20 – 17 = 3
Le prix d’une place est de 3 € 0,5 point
3. Par lecture graphique, une valeur approchée de la recette pour une réduction de 8
euros est égale à 10 800 € 0,5 point

4. Par lecture graphique, une valeur approchée de la recette maximale est égale à
11 250 €. 0,5 point
Dans ce cas, la réduction est égale à 5 €.
Prix de la place :
20 – 5 = 15
Le prix d’une place est de 15 € 0,5 point
Exercice 7 : 5 points
1. Figure 1 point
2. Calcul de la longueur exacte du segment [BE] et de sa valeur arrondie au millimètre
près.
On sait que ABC est un triangle isocèle en A, alors AB = AC
On sait que ACE est un triangle équilatéral alors AC = AE = CE
On en déduit que AE = AB = 5 cm.
De plus,
si un triangle est isocèle, alors ses angles à la bases sont de même mesure
donc 
 =   = 75°
dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est toujours égale à 180°
alors
 +   +   = 180
75 + 75 + 
 = 180
150 + 
 = 180
d’où 
 = 180 – 150
 = 30
 mesure 30° 1 point
On sait que ACE est un triangle équilatéral,
si un triangle est équilatéral, alors ses angles mesurent 60°
donc 
 = 60° 0,5 point
de plus, 
 et   sont adjacents
d’où 
 =   + 
 = 30 + 60
 = 90
 mesure 90°
alors (AB) est perpendiculaire à (AE) 0,5 point
d’où ABE est un triangle rectangle en A
alors d’après le théorème de Pythagore on a :
BE2 = AB2 + AE2
BE2 = 52 + 52
BE2 = 25 + 25
BE2 = 50
D’où BE = 
BE =   
BE =  1,5 points
BE  7,1 arrondi au dixième. 0,5 point
La valeur exacte de la longueur BE est égale à  cm, son arrondi au millimètre est
égal à 7,1 cm.
ANNEXE 1
Tableau 1
Réduction en €
Prix de la place
en €
Nombres de
spectateurs
Recette du
spectacle
0
20
500
20 500 = 10 000
1
19
500 + 50 = 550
19 550 = 10 450
2
18
600
18 600 = 10 800
4
16
500 + 450 = 700
16 700 = 11 200
Tableau 2
Réduction en €
Prix de la place
en €
Nombres de
spectateurs
Recette du
spectacle
x
20 – x
500 + 50x
(20 – x)(500 + 50x)
ANNEXE 2