CORRECTION DU BREVET 2010

Brevet - 1 - C. Lainé
Liban juin 2010
CORRECTION DU BREVET 2010
Troisième Liban
I - ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points)
Exercice 1
1) On choisit 5 comme nombre ; on lui soustrait 7, on obtient alors
2
−
car
5 7 2
− = −
.
Ensuite, on calcule le carré de
2
−
, on obtient le nombre 4.
Donc, en choisissant le nombre 5 au départ, le programme B donne le nombre 4 .
2) On choisit
2
−
comme nombre ; on lui ajoute 5, on obtient alors 3.
Ensuite, on calcule le carré de 3, on obtient le nombre 9.
Donc, en choisissant le nombre
2
−
−−
−
au départ, le programme A donne le nombre 9 .
3) a) Soit x le nombre choisi. Après avoir ajouté 5, on obtient
5
x
+
. Puis, on calcule le carré
de ce nombre, ce qui donne
(
)
2
5
x+
.
On est alors amené à résoudre l’équation
(
)
2
5 0
x
+ =
.
Or
(
)
2
5 0
x
+ =
équivaut à
5 0
x
+ =
, c’est-à-dire à
5
x
= −
.
Donc il faut choisir le nombre
5
−
−−
−
pour que le résultat du programme A soit 0.
b) Soit y le nombre choisi. Après avoir soustrait 7, on obtient
7
y
−
. Puis, on calcule le carré
de ce nombre, ce qui donne
(
)
2
7
y−
.
On est alors amené à résoudre l’équation
(
)
2
7 9
y
− =
.
Or
(
)
2
7 9
y
− =
équivaut à
7 3
y
− = −
ou
7 3
y
− =
, c’est-à-dire à
3 7 4
y
= − + =
ou
3 7 10
y
= + =
.
Donc il faut choisir les nombres 4 ou 10 pour que le résultat du programme B soit 9.
4) Pour obtenir le même résultat avec les deux programmes, on est amené à résoudre
l’équation
(
)
(
)
2 2
5 7
x x+ = −
.
Or
(
)
(
)
2 2
5 7
x x+ = −
équivaut à
2 2
10 25 14 49
x x x x+ + = − + , c’est-à-dire à
10 14 49 25
x x
+ = −
, ou encore à
24 24
x
=
. Donc
(
)
(
)
2 2
5 7
x x+ = −
équivaut à 24
1
24
x
= =
.
Il faut donc choisir le nombre 1 pour que les deux programmes donnent le même
résultat.
Exercice 2
1) Il y a 20 boules dans le sac. Comme chacune de ces boules a la même probabilité d’être
tirée, alors la probabilité que la boule tirée soit rouge est égale à
10
20
, c’est-à-dire à
1
2
.
2) Il y a 10 boules noires ou jaunes dans ce sac. Donc la probabilité que la boule tirée soit
noire ou jaune est égale à
10
20
, c’est-à-dire à
1
2
.
3) La somme des deux probabilités trouvées dans les deux questions précédentes est

Brevet - 2 - C. Lainé
Liban juin 2010
égale à 1. En effet,
1 1
1
2 2
+ =
.
Le résultat était prévisible car la réunion des deux événements précédents « obtenir
une boule rouge » et « obtenir une boule noire ou jaune » est égale à l’univers de
l’expérience.
4) Soit x le nombre de boules bleues. Il y a alors 20
x
+
boules dans ce sac.
Comme chacune de ces boules a la même probabilité d’être tirée, alors la probabilité de tirer
une boule bleue est égale à
20
x
x
+
.
Comme cette probabilité est égale à
1
5
, on est amené à résoudre l’équation
1
20 5
x
x
=
+
.
Or
1
20 5
x
x
=
+
équivaut à 5 20
x x
= +
, c’est-à-dire à
4 20
x
=
, ou encore à
20
5
4
x
= =
.
Il y a donc 5 boules bleues.
Exercice 3
1) Comme
(
)
2 3
f x x
= − +
, alors la valeur de a est
2
−
−−
−
.
2) L’image de 0 par f est
(
)
0
f
. Or
(
)
0 2 0 3 3
f
= − × + =
. Donc l’image de 0 par f est 3 .
3)
(
)
(
)
1 2 1 3 2 3 5
f
− = − × − + = + =
. Donc la droite qui représente la fonction f passe par
le point
(
)
1; 5
−
−−
−B
.
4) Résolvons l’équation
(
)
4
f x
=
.
Or
(
)
4
f x
=
équivaut à
2 3 4
x
− + =
, c’est-à-dire à
2 4 3 1
x
− = − =
, ou encore à
1 1
2 2
x
= = −
−
.
L’antécédent de 4 par la fonction f est
1
2
−
−−
−
.
5)
(
)
0 2 0 3 3
f
= − × + =
. Donc la droite qui représente la fonction f coupe l’axe des
ordonnées en
(
)
0 ; 3
E
.

Brevet
Liban
II –
ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES
Exercice 1
Figure 1
Le triangle ABC est
rectangle en A ?
Numéro (s) de la ou
des propriétés
permettant de le
prouver
Exercice 2
1) Le triangle A I K
est rectangle en
Or
6 6 18
2
×=
; donc
l’aire du triangle
2) Le volume de la pyramide
A
Or
( )
18 6
3 3
aire A K AJ××
= =
I
égal à 36 cm
3
.
3)
Le volume du cube est égal à
Donc le volume de
la pyramide
4)
- 3 -
ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES
(12 points)
Figure 1
Figure 2 Figure 3
OUI NON NON
5 4 et 7 3
est rectangle en
A
, alors l’aire de ce triangle est égale à
l’aire du triangle
A I K est égale à 18 cm
2
.
A
I KJ est égal à
(
)
3
aire A K AJ
×
I
.
36
= =
; alors le volume de la pyramide A I
KJ
Le volume du cube est égal à
3 3
12 1728 cm= . Or
2 2
36 3 12 3 1 1
1728 4 12 48
12 12 12
×
= = = =
×
la pyramide
A I KJ représente
1
48
ème
du volume du cube
C. Lainé
juin 2010
Figure 4
OUI
1
, alors l’aire de ce triangle est égale à
2
A AK × I
.
KJ
de base AK I est
2 2
36 3 12 3 1 1
1728 4 12 48
12 12 12
= = = =
×
.
du volume du cube
.

Brevet
Liban
III – PROBLÈME
(12 points)
1)
2) a)
( )
180
mes ABC
= °−mes ABH
Dans le triangle rectangle
ABH
Par suite,
(
)
6 cos 6 cos 60
ABH
= × = × °
BH
b) Dans le triangle rectangle
ABH
c’est-à-dire
2 2 2 2 2
AH AB BH
= − = − = − =
Comme 0AH ≥ , alors
= = × = ×
AH
On en déduit que l’aire du triangle
10 3 13 cm
CH CB BH= + = + =
Donc l’aire du triangle ACH
c) Dans le triangle ACH
rectangle en
2 2 2
AC AH CH= + . D’où
2 2
AC
3) a)
- 4 -
(12 points)
( )
mes ABC
60= °
= °= °
= °.
ABH
,
( )
cos 6
BH BH
ABH AB = = .
)
( )
6 cos 6 cos 60
ABH
= × = × °
3=
==
=.
ABH
, d’après le théorème de Pythagore,
2 2 2
AB AH BH
2 2 2 2 2
6 3 36 9 27
= − = − = − =
.
7 9 3 9 3
= = × = ×
3 3=
==
=
.
On en déduit que l’aire du triangle
ACH est égale à
2
CH AH×. Comme
B CH
10 3 13 cm
. Par suite,
13 3 3 39 3
2 2 2
CH AH× ×
= =
.
est égale à
2
39 3
cm
2
.
rectangle en
H
, d’après le théorème de Pythagore,
( )
2
2 2
3 3 13 27 169 196
AC
= + = + =
. Par suite,
C. Lainé
juin 2010
2 2 2
AB AH BH
= +
,
[ ]
B CH
∈
, alors
.
, d’après le théorème de Pythagore,
196=14=
==
=AC
.

Brevet
Liban
b) Dans le triangle ACH,
[
M CH
∈
d’après le théorème de Thalès,
Par suite,
6,5 1
13 2
3 3
NM = =
. Par conséquent,
3) L’aire du trapèze AHMN
est égale à l’aire du triangle
triangle CMN.
Or l’aire du triangle CMN est égale à
ACH est égale à
39 3
2
.
D’où
l’aire du trapèze est égale à
Donc l’aire du trapèze
AHMN
- 5 -
[
]
M CH
∈
,
[ ]
N AC∈
, et les droites
( ) (
et
MN AH
d’après le théorème de Thalès,
CN
CA
= =
CM MN
CH HA
.
. Par conséquent,
3 3
2
=
==
=NM
.
est égale à l’aire du triangle
ACH
moins celle de l’aire du
Or l’aire du triangle CMN est égale à
3 3
6,5 19,5 3
2
2 2 4
CM NM × ×= =
et l’aire du triangle
l’aire du trapèze est égale à
: 39 3 19,5 3 78 3 19,5 3
2 4 4 4
− = − =
58,5 3
AHMN
est à peu près égale à 25 cm
2
.
C. Lainé
juin 2010
)
MN AH
sont parallèles,
moins celle de l’aire du
et l’aire du triangle
2
58,5 3
cm
4
.