devoir maison - BOSSER les Maths

DEVOIR MAISON
EXERCICE 1
1.
n'est pas un nombre entier, donc 10 n'est pas un diviseur de 88.
Il ne peut donc pas choisir de découper des plaques de 10 cm de côté.
2.
et
, donc 11 est un diviseur commun à 110 et à 88.
Il peut donc choisir de découper des plaques de 11 cm de côté.
3. a) La longueur d'un côté d'un carré doit diviser la longueur et la largeur de la plaque. C'est donc
un diviseur commun à 110 et à 88. De plus, il doit découper des carrés les plus grands possibles. La
longueur d'un côté d'un carré est donc le PGCD de 110 et de 88.
Déterminons ce PGCD à l'aide de l'algorithme d'Euclide. On a :
a
b
reste
110
88
22
88
22
0
Le dernier reste non nul est 22, donc : PGCD(110 ; 88) = 22.
La longueur du côté d'un carré est de 22 cm.
3. b) On a :
et
Il y aura donc 5 × 4, soit 20 carrés par plaque.
EXERCICE 2
1. A l'aide du schéma, on a :
CB = 20 cm = 0,2 m (correspond à l'épaisseur du mur)
FG = 75 + 20 = 95 cm = 0,95 m (correspond au diamètre du puits plus l'épaisseur du mur)
RB = 1,80 - 1 = 0,80 m (correspond à la hauteur du regard moins la hauteur du rebord)
2. Calculons la profondeur BG du puits :
Les droites (CF) et (BG) sont sécantes en R, les droites (CB) et (FG) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a :
Donc :
De
, on déduit
Or, B appartient au segment [RG], donc : BG = RG - RB = 3,8 - 0,8 = 3.
La profondeur du puits est de 3 mètres.
3. Calculons le volume d'eau dans le puits (on utilise la formule permettant de déterminer le volume
d'un cylindre) :
(où R désigne le rayon du puits et h la hauteur d'eau dans le puis)
.
Le puits contient environ 1,15 m³ d'eau. Le jeune berger ayant besoin de 1 m³ d'eau trouvera assez
d'eau dans ce puits.
EXERCICE 3
Partie 1
1. Calculons la longueur et la largeur du rectangle :
Soit la largeur du rectangle.
On veut que la longueur soit le double de la largeur, donc sa longueur est
On veut que le périmètre du rectangle soit égal à 96 m, donc :
soit :
D'où : le rectangle a pour largeur 16 m et pour longueur :
2. Calculons l'aire de ce rectangle de 96 m de périmètre :
L'aire du rectangle est de 512 m².
Partie 2
Soit la longueur du côté du carré de périmètre 96 m. On a :
Le côté du carré a pour longueur 24 m.
Déterminons l'aire de ce carré :
Le carré a pour aire 576 m².
Partie 3
1. Calculons la longueur OH :
AOB est un triangle équilatéral, donc (OH) est la hauteur issue de O et aussi la médiane issue de O.
Donc H est le milieu de [AB]
Dans le triangle OHB rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore :
OB² = OH² + HB²
16² = OH² + 8²
OH² = 16² - 8²
OH² = 256 - 64
OH² = 192
D'où :
(valeur exacte)
(arrondi au centième près).
2. Aire du triangle OBA :
L'aire du triangle OBA est environ égale à 110,9 m² (valeur arrondie au dixième).
3. Arrondi à l'unité de l'aire d'un hexagone régulier de 96 m de périmètre :
L'aire d'un hexagone régulier de 96 m de périmètre est égale à environ 665 m².
Partie 4
1. PQRSTUMN est un octogone régulier. Donc ses huit côtés sont de la même longueur.
Or, cet octogone a pour périmètre 96 m, donc MN =
, soit MN = 12 m dans la réalité.
2. PQRSTUMN est un octogone régulier, donc
Le triangle IMN est isocèle en I, donc ses angles à la base (
La somme des angles du triangle IMN est égale à 180°, donc :
et
) sont de même mesure.
En prenant pour échelle 1 cm pour 3 m, MN = 4 cm sur la figure.
3. Sur notre dessin, la longueur IK est égale à 4,8 cm.
Dans la réalité, cela représente 4,8 × 3, soit 14,4 mètres.
4. Aire du triangle MIN :
L'aire du triangle MIN est de 86,4 m².
L'aire de l'octogone est de 691,2 m².
Partie 5
1. Soit R le rayon du cercle de périmètre 96 m. On a :
Pour avoir un disque de périmètre 96 m, il faut donc prendre un rayon d'environ 15,28 m.
2. Dans ce cas, l'aire du disque est égale à :
L'aire du disque est d'environ 733,4 m² (valeur arrondie au centième).