Exercices chapitre 12 Entiers naturels, arithmétique

PCSI 1, 2016/2017
Mathématiques
Lycée Berthollet
Exercices chapitre 12
Entiers naturels, arithmétique
Exercice 1. Travailler dans R ou dans N ?
Résoudre dans N les équations suivantes :
1. x − 1 | x + 3 ;
2. x + 2 | x2 + 2.
Exercice 2. Équations diophantiennes.
Résoudre dans N2 les équations suivantes :
1. x y = 3x + 2y ;
2.
1
x
+ 1y =
1
5
;
3. x2 − y2 − 4x − 2y = 5.
Exercice 3. Des maths avec des lettres.
Soient a ∈ N∗ et b ∈ N∗ , on note q le quotient de la division euclidienne de a − 1 par b.
Déterminer pour tout n ∈ N, le quotient de la division euclidienne de (ab n − 1) par b n+1 .
Exercice 4. Des maths avec des chiffres.
Montrer que 11 | 2123 + 3121 .
Exercice 5. Des chiffres et des lettres.
Trouver les entiers n ∈ N tels que 10 | n2 + (n + 1)2 + (n + 3)2 .
Exercice 6. Pour une fois, c’est tout droit.
Montrer que si n est entier impair alors
n2 ≡ 1
[8] .
Exercice 7. Divisibilité par 9.
Soient a, b et n trois nombres entiers non nuls, et r 1 et r 2 respectivement les restes de la
division de a et b par n.
1. Montrer que le reste de la division euclidienne de a + b par n est le reste de la division
euclidienne de r 1 + r 2 par n.
2. Montrer que le reste de la division euclidienne de ab par n est le reste de la division
euclidienne de r 1 r 2 par n.
3. En déduire le critère de divisibilité par 9 : un nombre m est divisible par 9 si et seulement
si la somme des chiffres qui le composent est un multiple de 9.
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Exercice 8. Algorithme d’Euclide.
Déterminer le PGCD et les coefficients de l’égalité de Bézout des entiers a et b suivants :
1. a = 33 et b = 24 ;
2. a = 37 et b = 27 ;
3. a = 270 et b = 105.
Exercice 9. Comment se débarrasser de n ?
Montrer que le PGCD de 2n + 4 et 3n + 3 ne peut être que 1, 2, 3 ou 6.
Exercice 10. Deux systèmes d’équations.
Résoudre dans N2 les systèmes :
(
1.
PGCD(x, y) = 5
PPCM(x, y) = 60
(
;
2.
x + y = 100
PGCD(x, y) = 10
Exercice 11. Somme ou produit ? Les deux.
Soient a et b premiers entre eux.
Montrer que a ∧ (a + b) = b ∧ (a + b) = 1 puis (a + b) ∧ ab = 1.
Exercice 12. Comment se débarrasser de n, le retour.
Montrer que pour tout n ∈ N∗ on a :
(n2 + n) ∧ (2n + 1) = 1 et (3n2 + 2n) ∧ (n + 1) = 1.
Exercice 13. 10 pas.
Trouver la puissance de 2 dans la décomposition en facteurs premiers de 1000!.
Exercice 14. Nombres entiers et racines rationnelles de polynômes.
Montrer que l’équation x3 + x2 + 2x + 1 = 0 n’a pas de racines dans Q.
Exercice 15. Une application pertinente de l’identité de Bézout.
Soient a, b ∈ N∗ . On suppose qu’il existe m, n premiers entre eux tels que a m = b n .
Montrer qu’il existe c ∈ N∗ tel que a = c n et b = c m .
Exercice 16. Comment factoriser ?
Montrer que les nombres suivants sont composés :
1. 4n3 + 6n2 + 4n + 1 avec n ∈ N∗ ;
2. n4 − n2 + 16 avec n ∈ Z.
Exercice 17. Le retour de la formule.
Soient a et p deux entiers supérieurs à 2.
Montrer que si a p − 1 est premier alors a = 2 et p est premier.
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Exercice 18. Petit théorème de Fermat.
Soit p un nombre premier.
1. Montrer
∀ k ∈ {1, 2, . . . , p − 1} , p |
à !
p
k
.
2. En déduire que
∀ n ∈ Z, n p ≡ n
[p] .
Ce dernier résultat est connu sous le nom de petit théorème de Fermat (1601-1665).
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