6 - Université de Bretagne-Sud

Université de Bretagne Sud Premier semestre 2014/2015
L1 MIS
Mathématiques approfondies - TD n°6
Exercice 1. Résoudre dans N2le système pgcd(x, y) = 5
ppcm(x, y) = 60
Exercice 2.
1. Soient pet qdeux entiers premiers entre eux, et a, b deux entiers. Soit up+vq = 1 une relation
de Bezout entre pet q. On pose x=vqa +upb.
(a) Montrer que x≡a[p]et x≡b[q].
(b) Soit y∈Ztel que y≡a[p]et y≡b[q]. Montrer que y≡x[pq].
2. Soit n= 19941999.
(a) Trouver deux entiers u, v ∈Ztels que 9u+ 25v= 1.
(b) On note ale reste dans la division euclidienne de npar 9 et ble reste dans la division
euclidienne de npar 25. Déterminer aet b.
(c) Déduire des questions précédentes le reste dans la division euclidienne de npar 225.
Exercice 3.
Pour n∈N, on note Fn= 22n+ 1 le nieme nombre de Fermat.
1. Soit dun diviseur de Fn. Montrer que, si pest un entier pair, alors (22n)p≡1 [d].
2. En déduire que, pour tout entier m > n, on a 22m≡1 [d].
3. Montrer que si n6=malors les nombres Fnet Fmsont premiers entre eux.