DEVOIR SURVEILLÉ N° 2 TERMINALE S SPÉCIALITÉ Mardi 24 novembre 2009 EXERCICE 1 (2 points) 1. Justifier que 503 est un nombre premier. 2. Déterminer tous les entiers naturels x et y tels que x2 – y2 = 503. EXERCICE 2 (3 points) 1. En utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers de 2009, déterminer le plus petit entier naturel n tel que 2009n est un carré d'entier. 2. a) Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 2010. b) En déduire tous les diviseurs entiers naturels de 2010. EXERCICE 3 (2 points) Soit n un entier naturel. Déterminer n pour que le nombre 2n2 – 11n + 12 soit un nombre premier. EXERCICE 4 (3 points) Soit a un entier naturel. 1. Développer (a2 + a + 1)(a2 – a + 1). 2. Le nombre a4 + a2 + 1 peut-il être un nombre premier ? 3. Le nombre 3200 + 3100 + 1 est-il premier ? EXERCICE 5 (6 points) 1. Pour k entier naturel, déterminer les restes possibles de la division euclidienne de k(k + 1) par 6. 2. Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 5. a) Expliquer pourquoi on peut poser p = 2k + 1 avec k entier naturel non nul. b) Montrer que k n'est pas congru à 1 ni à 4 modulo 6. c) En déduire que p2 – 1 est divisible par 24. EXERCICE 6 (4 points) On considère les nombres entiers R2 = 11, R3 = 111, …, Rn = 11...1, où Rn s'écrit avec n chiffres 1. 1. Justifier que, pour tout entier naturel n non nul, 10n – 1 est divisible par 9. 2. Comparer Rn à 10n – 1. 3. Déterminer les restes de la division euclidienne de Rn par 11 suivant les valeurs de n. 4. Montrer que si n est pair et supérieur ou égal à 4, alors Rn n'est pas premier. 5. Montrer que si n est un multiple de 3, alors Rn n'est pas premier.