Exercice - Alain Camanes

Arithmétique
Stanislas
Exercices
MPSI 1
Chapitre XIII
2015/2016
I - Division euclidienne
Exercice 1. (-) Montrer que pour tout n ∈ N, 7|52n − 4n .
Exercice 2. (-) Un nombre s'écrit 11001011 en base 2. Quelle est son écriture en base 8 ? En base
16 ?
Exercice 3. ( !) Soient a, b, c, d ∈ Z? tels que a ∧ b = c ∧ d = 1.
1. Si a ∧ d = b ∧ c = 1, montrer que (ac) ∧ (bd) = 1.
2. Montrer que (ac) ∧ (bd) = (a ∧ d)(b ∧ c).
Exercice 4. (-) Déterminer l'ensemble des couples d'entiers solutions des équations suivantes.
1. 37x + 25y = 1.
2. 51x + 39y = 2004.
3. 51x + 39y = 4.
Exercice 5. (-) Déterminer les entiers relatifs x vériant le système
x ≡ 3 [11]
x ≡ 4 [15]
Exercice 6. Soient a, b deux entiers naturels tels que 0 < a < b.
1. Montrer que (a + b) ∧ (a ∨ b) = a ∧ b.
a + b = 144
2. Déterminer les solutions du système
a ∨ b = 420.
Exercice 7. (♥) Montrer que pour tout n > 0, (n + 1)|
2n
n
.
Exercice 8. (♥) Soit n > 2 et a ∈ Z un entier premier avec n. Pour tout k ∈ N, on note rk le reste
de la division euclidienne de ak par n.
1. Montrer que la suite (rk )k∈N est périodique.
2. Quel est le reste de la division euclidienne de 32016 par 5 ?
3. Montrer que 13 divise 3126 + 5126 .
II - Nombres premiers
Exercice 9. Soient a, b deux nombres premiers tels que 0 < a < b.
1. Identier les entiers naturels x, y tels que x2 − y 2 = a2 b2 .
2. Déterminer x et y lorsque a = 2 et b = 7 ?
Exercice 10. ( !) Soit n > 2. Montrer que 14 (n3 + (n + 2)3 ) est un nombre entier qui n'est pas
premier.
Exercice 11. (♥) Soit n > 2. Déterminer une suite de n entiers consécutifs ne comportant aucun
nombre premier.
Exercice 12. ( !) Résoudre dans N? × N? l'équation xy = y x .
Stanislas
A. Camanes
Exercices. Arithmétique
MPSI 1
III - Nombres célèbres
Exercice 13. (Les nombres de Fermat, ♥) Soit n ∈ N. Le nombre de Fermat d'ordre n, noté Fn ,
n
est l'entier Fn = 22 + 1.
1 . a) Montrer qu'il existe (α, k) ∈ N2 tel que 2 ∧ k = 1 et n = 2α k .
α
b) Si k > 3, montrer que 2n + 1 est divisible par 22 + 1.
c) En déduire que, si Fn est premier, alors il existe un entier α tel que n = 2α .
2. Montrer que, pour tout k > 0, Fn+k − 1 = (Fn − 1)2 . En déduire que Fn+k ≡ 2 [Fn ].
k
3. Montrer que dès que m 6= n, Fm et Fn sont premiers entre eux.
4. En considérant le plus petit diviseur premier de Fn , montrer que l'ensemble des nombres
premiers est inni.
Exercice 14. (Les nombres de Mersenne, ♥) Soit n ∈ N. Le nombre de Mersenne d'ordre n, noté
Mn , est l'entier Mn = 2n − 1.
1. Montrer que si Mn est premier, alors n est premier.
2. Soit p un nombre entier tel que 2p − 1 soit premier. Montrer que le nombre n = 2p−1 (2p − 1)
est un nombre parfait, c'est-à-dire qu'il s'écrit comme la somme de ses diviseurs stricts.
3. Montrer que tout nombre parfait pair est de la forme 2p−1 (2p − 1) où 2p − 1 est un nombre
premier.
Stanislas
A. Camanes