TRAVAUX DIRIGES ARITHMETIQUE EXERCICE 1 1. Un nombre s’écrit xy en base dix. On lui associe le nombre yx. Montrer que A=xy+yx est divisible par 11. 2. Soient x,y et z trois entiers naturels non tous nuls. On pose B=xyz+yzx+zxy (en base dix). Montrer que B est divisible par 11. EXERCICE 2 N est un entier ayant au moins 3 chiffres en numérotation décimale. On pose N=xn xn−1 · · · x1 x0 . 1. Déterminer le reste de la division euclidienne de N par 100. 2. Montrer alors que N est multiple de 4 si et seulement si x1 x0 est multiple de 4. EXERCICE 3 1. Soit x et y deux nombres entiers ; A et C les nombres définis par : A=x + y et C=4x + 9y. a) Montrer que tout diviseur de x et de y est aussi diviseur de A et C. b) Montrer que 5x = 9A − C et 5y = C − 4A c) Montrer que si x et y sont premiers entre eux, alors le pgcd(A,C) est soit 1 soit 5. 2. On considère pour tout entier naturel n, les nombres An = 2n + 3n et Cn = 2n+2 + 3n+2 . Montrer que pgcd(An , Cn ) est soit 1 soit 5. 3. a) Montrer que ∀k ∈ N, 22k+1 + 32k+1 est divisible par 5. b) En déduire que si n est impair, alors pgcd(An , Cn ) = 5. 4. a) Montrer que pour tout entier naturel k, 22k + 32k n’est pas divisible par 5. b) En déduire que pour tout n pair, pgcd(An , Cn ) = 1. EXERCICE 4 Déterminer un moyen de calculer cette expression et justifier : S = 1 + 4 + 12 + 32 + · · · + 100 × 299 EXERCICE 5 a et b sont deux entiers naturels non nuls, E désigne l’ensemble des entiers relatifs z tels qu’il existe deux entiers relatifs x et y vérifiant z = ax + by. 1. Montrer que E contient au moins un entier naturel non nul. 2. On note d le plus petit entier naturel non nul de E. a) Montrer que tout multiple de d appartient à E. b) Montrer que tout élément z de E est un multiple de d.(On pourra envisager la division euclidienne de z par d) c) En déduire que E est l’ensemble des multiples de d. 3. Montrer que d est le pgcd(a, b). 4. Montrer que l’ensembles des entiers relatifs z de la forme z = 980x + 1166y est égal à l’ensemble des multiples de 2. EXERCICE 6 1. On admet que 1999 est un nombre premier. Déterminer l’ensemble des couples (a,b) d’entiers naturels admettant pour somme 11994 et pour pgcd 1999. 2. On considère l’équation (E) d’inconnue n (n ∈ N) définie par : (E) : n2 − Sn + 11994 = 0, où S est un entier naturel. On s’interesse à des valeurs de S telles que (E) admette deux solutions dans N. a) Peut-on déterminer S pour que 3 soit solution de (E) ? Si oui quelle est la deuxième solution ? b) Peut-on déterminer S pour que 5 soit solution de (E) ? Si oui quelle est la deuxième solution ? c) Montrer que tout entier n solution de (E) est un diviseur de 11994. En déduire toutes les valeurs possibles de S telles que (E) admette 2 solutions entières. EXERCICE 7 1. Donner l’ensemble des diviseurs positifs de 97. 2. Soit p un entier naturel tel que 0<p<97. p−1 p a) Montrer que 97C96 =pC97 . p b) En déduire que C97 ≡0[97] c) Déduire que pour tout couple (a, b) d’entiers naturels, (a + b)97 ≡ a97 + b97 [97]. 3. Montrer que par récurrence que pour tout entier naturel n, n97 ≡ n[97]. 4. Soit n et m deux entiers naturels tels que nm ≡ 1[97]. Montrer que n96 ≡ 1[97] et m96 ≡ 1[97] O J D A EM T [email protected] http://arthurjorge.unblog.fr r u h t r A • Page 1/1 •