TD arithmétique

TRAVAUX DIRIGES
TEMADJO Arthur
ARITHMETIQUE
EXERCICE 1
1. Un nombre s’écrit xy en base dix. On lui associe
le nombre yx. Montrer que A=xy+yx est divisible
par 11.
2. Soient x,yet ztrois entiers naturels non tous
nuls. On pose B=xyz+yzx+zxy (en base dix).
Montrer que B est divisible par 11.
EXERCICE 2
N est un entier ayant au moins 3 chiffres en numé-
rotation décimale. On pose N=xnxn−1· · · x1x0.
1. Déterminer le reste de la division euclidienne de
N par 100.
2. Montrer alors que N est multiple de 4 si et
seulement si x1x0est multiple de 4.
EXERCICE 3
1. Soit xet ydeux nombres entiers ; A et C les
nombres définis par : A=x+yet C=4x+ 9y.
a) Montrer que tout diviseur de xet de yest aussi
diviseur de A et C.
b) Montrer que 5x= 9A−Cet 5y=C−4A
c) Montrer que si xet ysont premiers entre eux,
alors le pgcd(A,C) est soit 1 soit 5.
2. On considère pour tout entier naturel n, les
nombres An= 2n+ 3net Cn= 2n+2 + 3n+2.
Montrer que pgcd(An, Cn)est soit 1 soit 5.
3. a) Montrer que ∀k∈N,22k+1 +32k+1 est divisible
par 5.
b) En déduire que si nest impair, alors
pgcd(An, Cn) = 5.
4. a) Montrer que pour tout entier naturel k,
22k+ 32kn’est pas divisible par 5.
b) En déduire que pour tout npair,
pgcd(An, Cn) = 1.
EXERCICE 4
Déterminer un moyen de calculer cette expression et
justifier :
S=1+4+12+32+· · · + 100 ×299
EXERCICE 5
aet bsont deux entiers naturels non nuls, E désigne
l’ensemble des entiers relatifs ztels qu’il existe deux
entiers relatifs xet yvérifiant z=ax +by.
1. Montrer que E contient au moins un entier naturel
non nul.
2. On note dle plus petit entier naturel non nul de
E.
a) Montrer que tout multiple de dappartient
à E.
b) Montrer que tout élément zde E est un multiple
de d.(On pourra envisager la division euclidienne de
zpar d)
c) En déduire que E est l’ensemble des multiples de
d.
3. Montrer que dest le pgcd(a, b).
4. Montrer que l’ensembles des entiers relatifs zde
la forme z= 980x+ 1166yest égal à l’ensemble des
multiples de 2.
EXERCICE 6
1. On admet que 1999 est un nombre premier.
Déterminer l’ensemble des couples (a,b) d’entiers
naturels admettant pour somme 11994 et pour pgcd
1999.
2. On considère l’équation (E) d’inconnue n(n∈N)
définie par : (E) : n2−Sn + 11994 = 0, où S est
un entier naturel. On s’interesse à des valeurs de S
telles que (E) admette deux solutions dans N.
a) Peut-on déterminer S pour que 3 soit solution de
(E) ? Si oui quelle est la deuxième solution ?
b) Peut-on déterminer S pour que 5 soit solution de
(E) ? Si oui quelle est la deuxième solution ?
c) Montrer que tout entier nsolution de (E) est
un diviseur de 11994. En déduire toutes les valeurs
possibles de S telles que (E) admette 2 solutions
entières.
EXERCICE 7
1. Donner l’ensemble des diviseurs positifs de 97.
2. Soit pun entier naturel tel que 0<p<97.
a) Montrer que 97Cp−1
96 =pCp 97.
b) En déduire que Cp
97≡0[97]
c) Déduire que pour tout couple (a, b)d’entiers
naturels, (a+b)97 ≡a97 +b97[97].
3. Montrer que par récurrence que pour tout entier
naturel n,n97 ≡n[97].
4. Soit net mdeux entiers naturels tels que
nm ≡1[97].
Montrer que n96 ≡1[97] et m96 ≡1[97]
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