Théorie de nombre : Divisibilité dans N

Théorie de
nombre :
Divisibilité dans
N
Table des
matières
I - Divisibilité Dans N
5
A. Le principe de récurrence...............................................................................5
B. Divisibilité..................................................................................................13
C. PGCD de deux entiers naturels non nuls.........................................................26
D. Lemme de Gauss........................................................................................33
E. PPCM de deux entiers naturels non nuls.........................................................36
F. Exercice : Division Euclidienne......................................................................39
G. Exercice : Nombre Premier...........................................................................39
H. Exercice : PGCD..........................................................................................39
I. Exercice : Premier entre eux.........................................................................40
J. Exercice : PPCM...........................................................................................40
K. Exercice : Principe de récurrence..................................................................40
L. Exercice : Culture général.............................................................................41
M. Calcule du PGCD.........................................................................................41
N. Exercice : Extraction du diviseur et reste.......................................................41
Ressources annexes
43
3
Divisibilité Dans
N
I-
Le principe de récurrence
I
5
Divisibilité
13
PGCD de deux entiers naturels non nuls
26
Lemme de Gauss
33
PPCM de deux entiers naturels non nuls
36
Exercice : Division Euclidienne
39
Exercice : Nombre Premier
39
Exercice : PGCD
39
Exercice : Premier entre eux
40
Exercice : PPCM
40
Exercice : Principe de récurrence
40
Exercice : Culture général
41
Calcule du PGCD
41
Exercice : Extraction du diviseur et reste
41
La mathématique est la reine des sciences, mais la théorie des nombres est la reine
des sciences mathématiques
A. Le principe de récurrence
Définition : Raisonnement
C'est un procède d'utilisation d'arguments (idées, énoncés) en partant d'hypothèse
et aboutissant à une conclusion.
Son but est d'affirmer que P est vraie , on doit donner une preuve : c'est la
démonstration
5
Divisibilité Dans N
Attention
Les apprenants qui connaissent déjà bien le principe peuvent sauter ce
paragraphe
1. Exemple introductif
Considérons la suite (un), définie pour tout n appartient à N, par :
 un+1=2un+1
 u0=0
Cette suite est définie par récurrence (chaque terme dépend du précédent). On
souhaiterait obtenir une formule permettant de calculer explicitement un en
fonction de n. À première vue, cette formule ne saute pas aux yeux.
Dans une telle situation, le calcul des premiers termes est souvent intéressant pour
se faire une "idée".
Ici, nous avons :
 u1 = 2u0 + 1 = 1
 u2 = 2u1 + 1 = 3
 u3 = 2u2 + 1 = 7
 u4 = 2u3 + 1 = 15
 u5 = 2u4 + 1 = 31
Stop : nous remarquons que la suite (un) semble obéir à une loi toute simple : en
ajoutant 1 à chaque terme, on obtient les puissances successives de 2.
Nous pouvons donc émettre la conjecture suivante : pour tout n appartient à N, u n
= 2n - 1
Attention : une conjecture n'est pas une preuve (ni une affirmation forcément
vraie, certaines conjectures se révèlent parfois fausses...). Ce n'est que l'énoncé
d'une propriété résultant d'un certain nombre d'observations.
Alors comment confirmer, par une démonstration, la propriété conjecturée
ci-dessus ?
Notons δ la propriété, définie pour n appartient à N, par : δ(n) : u n = 2n - 1
Supposons un instant, que pour un certain entier n, on ait effectivement la
propriété δ(n) : un = 2n - 1.
Alors, on aurait : un+1 = 2un + 1 = 2(2n - 1) + 1 = 2n+1 - 1
Ce qui est δ(n + 1).
Autrement dit, si la propriété est vraie à un certain rang n alors elle l'est
également au rang suivant.
On dit que la propriété δ est héréditaire.
Faisons un bilan. On a vérifié que la propriété δ était vraie au rang n = 0, 1, 2, 3, 4
et 5 (On dit que la propriété δ est initialisée). Mais comme elle est héréditaire,
elle sera vraie encore au rang n = 6, puis au rang n = 7 etc... Si bien que notre
propriété est finalement vraie à tout rang.
Nous venons de faire un raisonnement par récurrence : Soit δ une propriété
définie sur N (ou un intervalle I de N)
6
Divisibilité Dans N
Si :

La propriété est INITIALISÉE à un certain rang n0 (C'est-à-dire : δ(n0) est
vraie)
 La propriété est HÉRÉDITAIRE à partir du rang n0 (C'est-à-dire : pour tout
n >= n0 , δ(n) → δ(n + 1))
Alors : La propriété est vraie à tout rang plus grand que n0.
Définition : Principe de récurrence
Le principe de récurrence est l'un parmi les principales types de raisonnement
mathématiques.
Soit n0 un entier naturel et P n une propriété dépendant d'un entier naturel n
supérieur ou égal n0.
Si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
 Pn0 est vraie,
 Si Pn est vraie alors P est vraie, alors P n+1 est vraie pour tout n supérieur ou
égal à n0.
2. Démonstration mathématique du principe de récurrence
Énoncé :
Soit I un intervalle de N.
On considère une propriété p concernant un entier n de I, que l'on note p(n) en
général .
Si :
 Il existe n0 appartient à I : p(n0) (initialisation)
 Il existe n appartient à I inclus [n0 ,+∞[, p(n) → p(n + 1) (hérédité)
Alors pour tout n appartient à I inclus [n0 ,+∞[ , p(n).
Remarques :
1. Un intervalle de N est un ensemble de la forme [a, b] ou [a, +∞[ (où a et b
appartenant à N).
2. Deux étapes sont à démontrer :
 Le départ : p(n0) est vraie ;
 Le caractère héréditaire : si p(n) est vraie pour n >= n 0, alors p(n + 1) est
vraie, pour conclure que p(n) est vraie pour tout n >=n0.
Démonstration :
Soit I un intervalle de N. On considère une propriété p concernant un entier n de I
que nous allons noter p(n).
On suppose que :
 Il existe n0 appartient à I : p(n0) (hypothèse d’initialisation)
 Pour tout n appartient à I inclus [n0, +∞[, p(n)→ p(n + 1) (hypothèse
d’hérédité)
7
Divisibilité Dans N
Considérons l’ensemble E = {n appartient à I inclus [n0, +∞[ tels que non p(n)}.
E est l'ensemble des entiers (inclus dans N) pour lesquels la propriété n'est pas
vraie.
On raisonne par l'absurde en supposant que E est un ensemble NON VIDE.
On rappelle que la négation de A → B est : A et non B.
Toute partie non vide et minorée de N admet un plus petit élément.
Comme E est un ensemble non vide (par supposition) et minoré par l'entier n 0, il
admet un plus petit élément noté m, vérifiant m >= n0.
Puisque m est un élément de E, il vérifie (toujours par supposition) non p(m).
Deux cas sont à distinguer :
 Supposons que m = n0 : Dans ce cas, on a alors non p(n0), ce qui contredit
l'hypothèse d'initialisation.
 Supposons que m et n0 ne sont pas égaux : Dans ce cas, m > n0 et nom
p(m). m étant le plus petit élément de E, l'entier (m – 1) n'appartient pas à
E et vérifie donc p(m – 1) vraie.
On a alors : p(m – 1) et non p(m), ce qui contredit l'hypothèse d'hérédité.
Dans tous les cas, on obtient une contradiction, ce qui implique que l'hypothèse « E
est un ensemble non vide » est fausse.
Donc E est un ensemble vide, ce qui se traduit par :pour tout n appartient à I inclus
[n0, +∞[, p(n).
Exemple
: Exemples
On prend deux exemples :
 l'un sous forme d'une image exemple (cf. exemple p 19) .
 Et l'autre sous forme d'un fichier vidéo exemple de principe de récurrence
(cf. exemple de principe de récurrence p 19).
NB : il faut bien suivre s'il vous plaie. (cf. exemple p 19)
Complément
: S'informer
pour mieux s'informer visiter ces sites :
 http://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_par_r%C3%A9currence
 http://xmaths.free.fr/TS/cours/cours.php?nomcours=TSrecucours&page=01
 http://www.educastream.com/raisonnement-recurrence-terminale-s
B. Divisibilité
1. Diviseurs d'un entier naturel
Algorithme AlgoBox :
Introduction :
L'algorithme présenté ici est un petit algorithme classique et très pratique
permettant d'obtenir la liste des diviseurs positifs d'un entier naturel non nul n.
Les diviseurs positifs d'un tel entier appartiennent à l'ensemble {1, 2, 3, 4, ..., n
−1, n} = [[1; n]].
Un entier i de cet ensemble est un diviseur de n si, et seulement si, le reste de la
division euclidienne de n par k est nul. En balayant l'ensemble [[1; n]) et en
testant, pour tout élément i de cet ensemble, si le reste associé de la division
euclidienne de n par i est nul, on obtiendra l'ensemble des diviseurs de n.
8
Divisibilité Dans N
Le cœur de l'algorithme est donc essentiellement composé d'une boucle et d'un test
de nullité. Le reste de la division euclidienne peut être obtenu de diverses façons,
AlgoBox le fournit directement (fonction « % »).
Les variables utilisées sont :
 N : l'entier naturel strictement positif dont on cherche les diviseurs positifs.
 I : l'entier courant (variant de 1 à N).
 R : le reste de la division euclidienne de N par I (résultat de N%I sous
AlgoBox).
Organigramme :
Au niveau de la mise en oeuvre de cet algorithme simple, on peut ajouter à la
lecture de la variable n un test pour garantir, avant d'entrer dans la boucle
principal, que le nombre saisi est bien un entier naturel non nul (cf. l'algorithme
AlgoBox fourni ci-après).
Algorithme :
Cet algorithme donne tous les diviseurs positifs d'un entier naturel N strictement
positif donné.
1 VARIABLES
2 N EST_DU_TYPE NOMBRE
3 I EST_DU_TYPE NOMBRE
4 R EST_DU_TYPE NOMBRE
5 DEBUT_ALGORITHME
6 //Première saisie de la valeur de la variable N
7 AFFICHER "Saisir la valeur de l'entier naturel non nul N."
8 LIRE N
9 TANT_QUE (N<=0 OU N-floor(N)!=0 OU N>200000) FAIRE
10 DEBUT_TANT_QUE
11 AFFICHER "ATTENTION ! N doit être un entier nature non nul inférieur ou égal à
200 000 !"
12 LIRE N
13 FIN_TANT_QUE
14 //La valeur de la variable N est valide. On démarre la recherche des diviseurs.
15 AFFICHER "Les diviseurs de "
16 AFFICHER N
17 AFFICHER " sont : "
18 POUR I ALLANT_DE 1 A N
19 DEBUT_POUR
20 R PREND_LA_VALEUR N%I
21 SI (R==0) ALORS
22 DEBUT_SI
23 AFFICHER " "
24 AFFICHER I
25 FIN_SI
26 FIN_POUR
9
Divisibilité Dans N
27 FIN_ALGORITHME
Remarque : Remarques
1. Quelques commentaires ont été ajoutés pour rendre l'algorithme plus lisible.
2. Un test triple est effectué sur la variable N puisque celle-ci doit être :
Strictement supérieure à 0.
Entière (N–floor(N) correspond à la différence entre N et sa partie
entière et est nulle si, et seulement si, N est entière).
Inférieure ou égale à 200 000 tout simplement parce que la version
courante d'AlgoBox impose cette limitation au niveau des boucles « TANT
QUE ... » (200 000 itérations au maximum et ici, la variable N
correspond exactement au nombre d'itérations effectuées).
3. Les diviseurs sont affichés au fur et à mesure de leur obtention.
Définition : Définition
Soit a et b deux entiers naturels, tels que d soit non nul.
On dit que a est divisible par d s'il existe un entier naturel l tel que a=dk .
Rappel : Vocabulaire
Si un entier naturel a est divisible par un entier naturel non nul d, on dit que d est
un diviseur de a et que a est un multiple de d.
Complément
: Propriétés
Pour tous entiers naturels a, b et c tels que a et b soient non nuls,
 1 divise a et a divise a.
 Si a divise b et b divise a, alors a=b.
 Si a divise b et b divise c, alors Si a divise c.
 Si b divise c alors b divise ac.
Complément
: S'informer
Pour mieux s'informer visiter ces sites :
 http://jeux-et-mathematiques.davalan.org/arit/divis/index.html
 http://www.ilemaths.net/forum-sujet-153498.html
2. Combinaisons linéaires
Mon première exemple de combinaison linéaire :
Considérons les trois vecteurs de R3 {A := (1, 0, 0) B := (0, 1, 0) C := (2,−3, 0)}.
On a 2A − 3B = C
Et on dit que C est combinaison linéaire de A et B.
Dans cette combinaison linéaire
 A et B sont les vecteurs combinés
 2 et −3 sont les coefficients.
10
Divisibilité Dans N
Mon deuxième exemple de combinaison linéaire :
Considérons les trois équations linéaires : {A := (x+2y = 3) B := (3x−y = 0) C :=
(−7x+7y = 6)}.
On a A − 3B = C
Et on dit que C est combinaison linéaire de A et B.
Dans cette combinaison linéaire on a :
 A et B sont les équations combinées .
 2 et −3 sont les coefficients
Mon troisième exemple de combinaison linéaire :
Considérons les quatre vecteurs de R 2 : {A := (1, 1) B := (2, 2) C := (3, 3) D :=
(13, 13)}.
On a D = A + 2B + 3C
Et on dit que D est combinaison linéaire de A, B et C.
Dans cette combinaison linéaire on a :
 A, B et C sont les vecteurs combinés et
 1, 2 et 3 sont les coefficients.
Définition : Définition
Considérons quatre vecteurs M,A,B, C dans notre espace vectoriel favori (R 2 ou R3
par exemple).
On dit que M est combinaison linéaire de A,B et C ssi :
M est de la forme aA + bB + cC, avec a, b, c réels.
On sait dire ¸ca de trois autres fa¸cons :
 On peut trouver trois nombres a, b, c vérifiant M = aA + bB + cC,
 Il existe trois réels a, b, c vérifiant M = aA + bB + cC.
 Il existe a, b, c appartenants à R, M = aA + bB + cC.
Exemple



: Exemples
La combinaison linéaire de (0, 2) et (3, 0) `a coefficients 4 et 5 vaut (15, 8).
La combinaison linéaire de (1, 2) et (3,−1) `a coefficients 2 et −1.
Exemple de combinaison linéaire expliquée dans ce vidéo Exemple de
combinaison linéaire (cf. Exemple de combinaison linéaire p 19).
Rappel : Propriétés
Soit a, b et c trois entiers naturels et c un entier naturel non nul.
 Si c divise a et b alors c divise a+b et a-b (lorsque a>=b) et αa +βb, pour
tous entiers naturels α et β.
 Si c divise a et ne divise pas b alors c ne divise pas a+b.
Complément
: S'informer
Pour mieux s'informer visiter ces sites :
 http://fr.wikipedia.org/wiki/Combinaison_lin%C3%A9aire
 http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/df/node4.html
11
Divisibilité Dans N
3. Division Euclidienne
Lorsque on fait la division comme indique l'image suivante, le nombre :

A est appelé "dividende".

B est appelé "diviseur".
R est appelé "reste".
Q est appelé "quotient".
Lorsque on fait une division de nombres entiers avec reste (sans calcul
décimal), on appelle "division euclidienne".
la formule de la division euclidienne est : A=B*Q+R
Lorsque R=0, la formule devient : A=B*Q avec une notation de A est un
multiple de B et B est un diviseur de A


Définition : Définition
Soit a et b deux entiers naturels tels que b différent à 0 . Effectuer la division
euclidienne de a par b, c'est trouver l'unique couples d'entiers (q,r) tel que a=b*q
+r avec 0=<r<b
Exemple


: Exemples
On va représenter sous forme d'un vidéo un exemple de division euclidienne
division euclidienne (cf. division euclidienne p 19)
Ou bien par cette image
Complément
: S'informer
Pour mieux s'informer visiter ces sites :
 http://fr.wikipedia.org/wiki/Division_euclidienne
 http://www.educastream.com/division-euclidienne-6eme
C. PGCD de deux entiers naturels non nuls
1. Algorithme d'Euclide
L'algorithme d'Euclide est un algorithme permettant de déterminer le plus grand
commun diviseur (P.G.C.D.) de deux entiers dont on ne connaît pas la factorisation.
Il est déjà décrit dans le livre VII des Éléments d'Euclide.
12
Divisibilité Dans N
Définition : Définition
Soit a et b deux entiers naturels non nuls. Le plus grand commun diviseur de a et b
est l'entier d noté, a^b et tel que
 d divise a et b.
 tout diviseur k de a et b est inférieur ou égal à d.
Remarque : Remarques


Soit a et b deux entiers naturels non nuls. Si b divise a alors a^b=b.
Le plus grand diviseur de deux entiers naturels est le dernier reste non nul
de la suite des divisions euclidiennes dans l'algorithme d'Euclide.
Complément
: Propriétés
Soit a et b deux entiers naturels non nuls
 Si d est un diviseur commun à a et b, alors d divise a^b.
 Pour tout entier naturel non nul k, ka^kb=k(a^b).
Exemple
: Exemples
1. On va calculer le plus grand commun diviseur (pgcd) de 241 839 et 77 805.
On calcule le pgcd des nombres 241 839 et 77 805 en utilisant l'algorithme
d'Euclide.
 241 839 = 77 805 × 3 + 8 424
 77 805 = 8 424 × 9 + 1 989
 8 424 = 1 989 × 4 + 468
 1 989 = 468 × 4 + 117
 468 = 117 × 4 + 0
Donc le pgcd de 241 839 et 77 805 est 117 .
2. un exemple de calcule de PGCD
Complément
: S'informer
Pour mieux s'informer visiter ces sites :
 http://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_d'Euclide
 http://www.mathematiquesfaciles.com/algorithme-d-euclide_2_15391.htm
13
Divisibilité Dans N
2. Entiers premiers entre eux
Deux entiers naturels non nuls a et b sont dits premiers entre eux, si leur plus
grand commun diviseur es égal à 1.
Définition : Théorème
Soit a et b deux entiers naturels non nuls et d=a^b leur plus grand commun
diviseur, Alors les entiers a' et b' tels que a=da' et b =db' sont premiers entre
eux.
Exemple
: Exemples
Les nombres 241 839 et 77 805 sont-ils premiers entre eux ?
La somme des chiffres de 241 839 et celle de 77 805 sont divisibles par neuf donc
ils sont divisibles par 9.
241 839 et 77 805 ne sont donc pas premiers entre eux
 On aussi un exemple sous forme d'un vidéo premier entre eux (cf. premier
entre eux p 19)

Complément
: S'informer
Pour mieux s'informer visiter ces sites :
 http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombres_premiers_entre_eux
 http://www.assistancescolaire.com/eleve/3e/maths/reviser-unenotion/determiner-si-deux-entiers-sont-premiers-entre-eux-3mnr02
D. Lemme de Gauss
Généralité
Le lemme de Gauss en théorie des nombres donne une condition pour qu'un entier
soit un résidu quadratique. Il a été introduit et démontré par Gauss dans ses
preuves de la loi de réciprocité quadratique et est utilisé dans plusieurs des
nombreuses preuves ultérieures de cette loi.
Définition : Principe
Soit a et b deux entiers naturels non nuls.
Si a et b sont premiers entre eux et si a divise bc, alors a divise c.
14
Divisibilité Dans N
Exemple
: Exemple
On va étudier un exemple sur le principe de Lemme de Gauss sur ce vidéo s'il vous
plaie suivez bien Lemme de Gauss (cf. Lemme de Gauss p 19)
Complément
: S'informe
Pour
mieux
s'informer
visiter
ce
site :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_de_Gauss_(th%C3%A9orie_des_nombres)
E. PPCM de deux entiers naturels non nuls
Généralité
le PPCM est le plus petit commun multiple
Définition : Définition
Soit a et b deux entiers naturels non nuls.
Le plus petit commun multiple à a et b est l'entier naturel k tel que :
 k est un multiple de a et b
 tout multiple non nul de a et b est supérieur ou égal à k.
On note alors k= a v b.
Exemple


: Exemples
PPCM (15,14)=120.
Autre exemple
Exemple
: Exemple sur le PGCD et le PPCM
On va mieux comprendre avec cet exemple : Exemple sur le PGCD et PPCM (cf.
Exemple sur le PGCD et PPCM p 20)
Complément
: S'informer
pour mieux s'informer visiter ces sites :
 http://euler.ac-versailles.fr/baseeuler/lexique/notion.jsp?id=148
 http://fr.wikipedia.org/wiki/Plus_petit_commun_multiple
15
Divisibilité Dans N
F. Exercice : Division Euclidienne
L'écriture 282=14*19+16 est la division euclidienne de 282 par :
16
14
19
G. Exercice : Nombre Premier
Soit n un entier naturel alors le nombre n+2 est premier avec
n+3
2n+4
2n+n2
H. Exercice : PGCD
Soit deux entiers naturels non nuls a et b tels que a divise b. Alors a v b est égal à
a
b
ab
I. Exercice : Premier entre eux
Deux entiers naturels consécutifs et différentes de 1 sont premier entre eux
vrai
faux
16
Divisibilité Dans N
J. Exercice : PPCM
Le PPCM de deux entiers naturels distincts est toujours strictement supérieur à leur
PGCD
vrai
faux
K. Exercice : Principe de récurrence
Soit une proposition P définie sur un intervalle I des entiers naturels et soit n 0 un
entier naturel fixé de I.
Si :
1) la proposition P est
au rang n0
à un certain rang n0, c'est-à-dire si P(n0) est vraie
2) la proposition P est
à partir du rang n0, c'est-à-dire si, pour tout n tel
que n≥n0, P(n) implique P(n+1)
Alors :
3) La proposition P est vraie à partir de tout rang
que n0.
L. Exercice : Culture général
1-
2-
Euclide
Guess
M. Calcule du PGCD
Question
Calculer le plus grand commun diviseur (pgcd) de 241 839 et 77 805.
17
Divisibilité Dans N
N. Exercice : Extraction du diviseur et reste
Déterminer le diviseur et le reste :
18
Ressources
annexes
- exemple
- exemple de principe de récurrence
La preuve par récurrence_ un exemple - YouTube.FLV
- Exemple de combinaison linéaire
resoudre système équations (combinaison) - YouTube.FLV
- division euclidienne
division euclidienne (1) -6ème- - YouTube.FLV
- premier entre eux
théorème de Bezout - YouTube.FLV
- Lemme de Gauss
Exercice 13 (Arithmétique dans Z) [00337] - YouTube.FLV
19
Ressources annexes
- Exemple sur le PGCD et PPCM
PGCD PPCM - YouTube.FLV
20