Théorie de nombre : Divisibilité dans N

Théorie de
nombre :
Divisibilité dans
N

Table des
matières
I - Divisibilité Dans N 5
A. Le principe de récurrence...............................................................................5
B. Divisibilité..................................................................................................13
C. PGCD de deux entiers naturels non nuls.........................................................26
D. Lemme de Gauss........................................................................................33
E. PPCM de deux entiers naturels non nuls.........................................................36
F. Exercice : Division Euclidienne......................................................................39
G. Exercice : Nombre Premier...........................................................................39
H. Exercice : PGCD..........................................................................................39
I. Exercice : Premier entre eux.........................................................................40
J. Exercice : PPCM...........................................................................................40
K. Exercice : Principe de récurrence..................................................................40
L. Exercice : Culture général.............................................................................41
M. Calcule du PGCD.........................................................................................41
N. Exercice : Extraction du diviseur et reste.......................................................41
Ressources annexes 43
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I - Divisibilité Dans
NI
Le principe de récurrence 5
Divisibilité 13
PGCD de deux entiers naturels non nuls 26
Lemme de Gauss 33
PPCM de deux entiers naturels non nuls 36
Exercice : Division Euclidienne 39
Exercice : Nombre Premier 39
Exercice : PGCD 39
Exercice : Premier entre eux 40
Exercice : PPCM 40
Exercice : Principe de récurrence 40
Exercice : Culture général 41
Calcule du PGCD 41
Exercice : Extraction du diviseur et reste 41
La mathématique est la reine des sciences, mais la théorie des nombres est la reine
des sciences mathématiques
A. Le principe de récurrence
Définition : Raisonnement
C'est un procède d'utilisation d'arguments (idées, énoncés) en partant d'hypothèse
et aboutissant à une conclusion.
Son but est d'affirmer que P est vraie , on doit donner une preuve : c'est la
démonstration
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Attention
Les apprenants qui connaissent déjà bien le principe peuvent sauter ce
paragraphe
1. Exemple introductif
Considérons la suite (un), définie pour tout n appartient à N, par :
un+1=2un+1
u0=0
Cette suite est définie par récurrence (chaque terme dépend du précédent). On
souhaiterait obtenir une formule permettant de calculer explicitement un en
fonction de n. À première vue, cette formule ne saute pas aux yeux.
Dans une telle situation, le calcul des premiers termes est souvent intéressant pour
se faire une "idée".
Ici, nous avons :
u1 = 2u0 + 1 = 1
u2 = 2u1 + 1 = 3
u3 = 2u2 + 1 = 7
u4 = 2u3 + 1 = 15
u5 = 2u4 + 1 = 31
Stop : nous remarquons que la suite (un) semble obéir à une loi toute simple : en
ajoutant 1 à chaque terme, on obtient les puissances successives de 2.
Nous pouvons donc émettre la conjecture suivante : pour tout n appartient à N, un
= 2n - 1
Attention : une conjecture n'est pas une preuve (ni une affirmation forcément
vraie, certaines conjectures se révèlent parfois fausses...). Ce n'est que l'énoncé
d'une propriété résultant d'un certain nombre d'observations.
Alors comment confirmer, par une démonstration, la propriété conjecturée
ci-dessus ?
Notons δ la propriété, définie pour n appartient à N, par : δ(n) : un = 2n - 1
Supposons un instant, que pour un certain entier n, on ait effectivement la
propriété δ(n) : un = 2n - 1.
Alors, on aurait : un+1 = 2un + 1 = 2(2n - 1) + 1 = 2n+1 - 1
Ce qui est δ(n + 1).
Autrement dit, si la propriété est vraie à un certain rang n alors elle l'est
également au rang suivant.
On dit que la propriété δ est héréditaire.
Faisons un bilan. On a vérifié que la propriété δ était vraie au rang n = 0, 1, 2, 3, 4
et 5 (On dit que la propriété δ est initialisée). Mais comme elle est héréditaire,
elle sera vraie encore au rang n = 6, puis au rang n = 7 etc... Si bien que notre
propriété est finalement vraie à tout rang.
Nous venons de faire un raisonnement par récurrence : Soit δ une propriété
définie sur N (ou un intervalle I de N)
Divisibilité Dans N
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Si :
La propriété est INITIALISÉE à un certain rang n0 (C'est-à-dire : δ(n0) est
vraie)
La propriété est HÉRÉDITAIRE à partir du rang n0 (C'est-à-dire : pour tout
n >= n0 , δ(n) δ(n + 1))→
Alors : La propriété est vraie à tout rang plus grand que n0.
Définition : Principe de récurrence
Le principe de récurrence est l'un parmi les principales types de raisonnement
mathématiques.
Soit n0 un entier naturel et Pn une propriété dépendant d'un entier naturel n
supérieur ou égal n0.
Si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
Pn0 est vraie,
Si Pn est vraie alors P est vraie, alors Pn+1 est vraie pour tout n supérieur ou
égal à n0.
2. Démonstration mathématique du principe de récurrence
Énoncé :
Soit I un intervalle de N.
On considère une propriété p concernant un entier n de I, que l'on note p(n) en
général .
Si :
Il existe n0 appartient à I : p(n0) (initialisation)
Il existe n appartient à I inclus [n0 ,+∞[, p(n) p(n + 1) (→hérédité)
Alors pour tout n appartient à I inclus [n0 ,+∞[ , p(n).
Remarques :
1. Un intervalle de N est un ensemble de la forme [a, b] ou [a, +∞[ (où a et b
appartenant à N).
2. Deux étapes sont à démontrer :
Le départ : p(n0) est vraie ;
Le caractère héréditaire : si p(n) est vraie pour n >= n0, alors p(n + 1) est
vraie, pour conclure que p(n) est vraie pour tout n >=n0.
Démonstration :
Soit I un intervalle de N. On considère une propriété p concernant un entier n de I
que nous allons noter p(n).
On suppose que :
Il existe n0 appartient à I : p(n0) (hypothèse d’initialisation)
Pour tout n appartient à I inclus [n0, +∞[, p(n) p(n + 1) (→hypothèse
d’hérédité)
Divisibilité Dans N
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