division euclidienne fiche 4

DIVISION EUCLIDIENNE FICHE 4
Théorème et définition
Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul.
Il existe un unique couple
);( rq
d'entiers vérifiant à la fois :
rbqa
et
br 0
.
L'opération qui à
);( ba
associe
);( rq
est la division euclidienne de a par b ; q est le
quotient, r le reste. a s'appelle le dividende et b le diviseur.
Idée de démonstration : On admettra facilement que l'entier a se trouve encadré entre deux
multiples de b consécutifs, donc dans un unique intervalle de la forme
)1(; qbbq
.
Puisque
)1(  qbabq
, on a :
bbqa0
et il reste à poser
bqar 
.
Exemples :
114a
;
8b
: on trouve
14q
et
2r
. En effet,
2148114 
.
Remarques :
ab
si et seulement si le reste r est nul.
b
r
q
b
a
avec
10  b
r
, donc q est la partie entière de
b
a
:
b
a
q
.
Le reste r ne peut prendre que les valeurs entre 0 et
1b
. b étant fixé, les entiers relatifs
peuvent donc être classés selon leur reste dans la division euclidienne par b.
Si
2b
, les entiers se partagent entre les nombres pairs (
0r
) qui s'écrivent sous la forme
qa 2
et les entiers impairs (
1r
) qui s'écrivent sous la forme
12  qa
.
Si
3b
, les entiers peuvent s'écrire sous l'une et une seule des trois formes :
qa 3
,
13  qa
et
23  qa
.
Si
10b
, r est le chiffre des unités de a.
Dans la définition de la division euclidienne, on pourra admettre un diviseur b négatif, la
condition sur le reste r s'écrivant alors
br 0
.
Ex 4.1 Déterminer le quotient q et le reste r de la division euclidienne de a par b.
1.
117a
28b
2.
317a
21b
3.
9991a
4b
4.
849a
13b
5.
5641a
156b
6.
671a
6b
7.
00010a
11b
Ex 4.2 Sachant qu'il existe un entier q tel que
3513100100  q
, écrire la division
euclidienne de
100
100
par 13.
Ex 4.3 Démontrer que si le nombre entier naturel n n'est pas un multiple de 3 alors
1
2n
est
multiple de 3.