division euclidienne fiche 4

DIVISION EUCLIDIENNE
FICHE 4
Théorème et définition
Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul.
Il existe un unique couple ( q ; r ) d'entiers vérifiant à la fois :
a  bq  r et 0  r  b .
L'opération qui à (a ; b) associe ( q ; r ) est la division euclidienne de a par b ; q est le
quotient, r le reste. a s'appelle le dividende et b le diviseur.
Idée de démonstration : On admettra facilement que l'entier a se trouve encadré entre deux
multiples de b consécutifs, donc dans un unique intervalle de la forme bq ; b(q  1) .
Puisque bq  a  b(q  1) , on a : 0  a  bq  b et il reste à poser r  a  bq .
Exemples : a  114 ; b  8 : on trouve q  14 et r  2 . En effet, 114  8 14  2 .
Remarques :
b a si et seulement si le reste r est nul.
a
r
r
a
a
 q  avec 0   1 , donc q est la partie entière de
: q .
b
b
b
b
b 
Le reste r ne peut prendre que les valeurs entre 0 et b  1 . b étant fixé, les entiers relatifs
peuvent donc être classés selon leur reste dans la division euclidienne par b.
Si b  2 , les entiers se partagent entre les nombres pairs ( r  0 ) qui s'écrivent sous la forme
a  2q et les entiers impairs ( r  1 ) qui s'écrivent sous la forme a  2q  1 .
Si b  3 , les entiers peuvent s'écrire sous l'une et une seule des trois formes : a  3q ,
a  3q  1 et a  3q  2 .
Si b  10 , r est le chiffre des unités de a.
Dans la définition de la division euclidienne, on pourra admettre un diviseur b négatif, la
condition sur le reste r s'écrivant alors 0  r  b .
Ex 4.1 Déterminer le quotient q et le reste r de la division euclidienne de a par b.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
a  117
a  317
a  1999
a  849
a  1564
a  671
a  10 000
b  28
b  21
b4
b  13
b  156
b6
b  11
Ex 4.2 Sachant qu'il existe un entier q tel que 100100  13q  35 , écrire la division
euclidienne de 100100 par 13.
Ex 4.3 Démontrer que si le nombre entier naturel n n'est pas un multiple de 3 alors n 2  1 est
multiple de 3.