TS Spécialité Devoir en classe n˚1 24/10/2014 Exercice 1 : Autour de la division euclidienne. 1. Énoncer le théorème de la division euclidienne dans Z. 2. Déterminer les entiers a, avec 1000 ≤ a ≤ 2000, tels que le quotient et le reste de la division euclidienne par 127 sont égaux. 3. La différence entre deux entiers naturels est 538. Si l ?on divise l ?un par l ?autre le quotient est 13 et le reste 34. Quels sont ces deux entiers naturels ? Exercice 2 : Disjonction de cas n désigne un entier naturel. Montrer que n(n2 + 5) est : 1. pair. 2. divisible par 3. Exercice 3 : Un peu de congruences 1. Déterminer tous les entiers naturels n tels que 3n ≡ 1[10]. 2. Quel est le chiffre des unités de N1 = 31029 ? 3. Quel est le chiffre des unités de N2 = 3732531 + 2353190 ? Exercice 4 : Vrai ou faux ? Pour chacune des propositions suivantes indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Proposition 1 : 112011 ≡ 4[7] Proposition 2 : x2 + x + 3 ≡ 0[5] ⇐⇒ x ≡ 1[5] Devoir maison pour la rentrée Exercice 1 : Montrer que, pour tout n ∈ N, 52n − 4n est divisible par 7. 1. En utilisant les congruences. 2. Par récurrence. (On pourra exprimer Un+1 en fonction de Un où Un = 52n − 4n ). Exercice 2 : 1. Soit x un entier qui s’écrit en base 10, x = an . . . a2 a1 a0 (Les ai sont les chiffres, 0 ≤ ai ≤ 9 et an 6= 0.) (a) Établir que, pour tout k ∈ N : 10k ≡ (−1)k [11]. (b) En déduire que : x ≡ (a0 + a2 + a4 + . . . ) − (a1 + a3 + a5 + . . . )[11]. (c) Énoncer alors un critère de divisibilité par 11. 2. Application Déterminer, pour chacun des entiers suivants, le reste de la division euclidienne par 11. (a) 123 456 789 ; (b) 10 891 089 ; (c) 555 . . . 5} ; | {z 100 chiffres 5 (d) 147 856 103 ; (e) 975 318 642 097 531 ;