Devoir en classe n˚1

TS Spécialité Devoir en classe n˚1 24/10/2014
Exercice 1 :Autour de la division euclidienne.
1. Énoncer le théorème de la division euclidienne dans Z.
2. Déterminer les entiers a, avec 1000 ≤a≤2000, tels que le quotient et le reste de la division euclidienne
par 127 sont égaux.
3. La différence entre deux entiers naturels est 538. Si l ?on divise l ?un par l ?autre le quotient est 13 et
le reste 34. Quels sont ces deux entiers naturels ?
Exercice 2 :Disjonction de cas
ndésigne un entier naturel. Montrer que n(n2+ 5) est :
1. pair.
2. divisible par 3.
Exercice 3 :Un peu de congruences
1. Déterminer tous les entiers naturels ntels que 3n≡1[10].
2. Quel est le chiffre des unités de N1= 31029 ?
3. Quel est le chiffre des unités de N2= 3732531 + 2353190 ?
Exercice 4 :Vrai ou faux ?
Pour chacune des propositions suivantes indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la
réponse choisie.
Proposition 1 : 112011 ≡4[7]
Proposition 2 : x2+x+ 3 ≡0[5] ⇐⇒ x≡1[5]
Devoir maison pour la rentrée
Exercice 1 :
Montrer que, pour tout n∈N,52n−4nest divisible par 7.
1. En utilisant les congruences.
2. Par récurrence. (On pourra exprimer Un+1 en fonction de Unoù Un= 52n−4n).
Exercice 2 :
1. Soit xun entier qui s’écrit en base 10,x=an. . . a2a1a0(Les aisont les chiffres, 0≤ai≤9et an6= 0.)
(a) Établir que, pour tout k∈N: 10k≡(−1)k[11].
(b) En déduire que : x≡(a0+a2+a4+...)−(a1+a3+a5+...)[11].
(c) Énoncer alors un critère de divisibilité par 11.
2. Application
Déterminer, pour chacun des entiers suivants, le reste de la division euclidienne par 11.
(a) 123 456 789 ;
(b) 10 891 089 ;
(c) 555 ...5
|{z }
100 chiffres 5
;
(d) 147 856 103 ;
(e) 975 318 642 097 531 ;