MAT231, Chapitre 1 MAT231 – Chapitre 2 : Arithmétique Université Joseph Fourier – 2008-2009 Pierre Bérard Les transparents et les feuilles d’exercices sont disponibles sur http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~pberard 1/22 MAT231, Chapitre 1 Plan du chapitre 2 Chapitre 2, Arithmétique Division euclidienne Plus grand commun diviseur Plus petit commun multiple Nombres premiers Idéaux de Z et Théorème de Bézout Congruences 2/22 MAT231, Chapitre 1 Chapitre 2, Arithmétique Division euclidienne Division euclidienne Notations : N• := N \ {0}, Z• := Z \ {0} . Théorème et Définition Pour tout a ∈ N et pour tout b ∈ N• , il existe un couple unique (q, r ) tel que a = bq + r , avec 0 ≤ r < b. Cette écriture s’appelle la division euclidienne de a par b. Le nombre q s’appelle le quotient de la division euclidienne, le nombre r son reste. [I Algorithmes, voir les TD/TP.] 3/22 MAT231, Chapitre 1 Chapitre 2, Arithmétique Division euclidienne Théorème (Écriture d’un nombre entier en base a) Soit a ∈ N, a ≥ 2. Pour tout x ∈ N il existe un développement et un seul de la forme x = xn an + xn−1 an−1 + . . . + x1 a + x0 avec xi ∈ N, 0 ≤ xi < a pour tout i et xn 6= 0. Ce développement s’appelle l’écriture de x en base a et se note x = xn xn−1 . . . x0 ou encore x = (xn xn−1 . . . x0 )a quand on veut spécifier la base de numération. [I Algorithmes de conversion, voir les TD/TP.] 4/22 MAT231, Chapitre 1 Chapitre 2, Arithmétique Division euclidienne Théorème (division euclidienne dans Z) Pour tout a ∈ Z et pour tout b ∈ Z• , il existe un couple (q, r ) ∈ Z2 unique, tel que a = bq + r avec 0 ≤ r < |b|. [I Utiliser la division euclidienne dans N, voir TD.] 5/22 MAT231, Chapitre 1 Chapitre 2, Arithmétique Soient a, b deux entiers non nuls. Définitions On dit que b divise a s’il existe un entier q tel que a = bq (le reste de la division euclidienne de a par b est nul). Le nombre b est un diviseur de a. Le nombre a est un multiple de b. Notations On note Da l’ensemble des diviseurs de a et Da,b l’ensemble des diviseurs communs à a et à b, c’est-à-dire l’ensemble Da ∩ Db . 6/22 MAT231, Chapitre 1 Chapitre 2, Arithmétique Plus grand commun diviseur L’ensemble Da ∩ Db n’est pas vide (il contient 1) et il est majoré par a et b. Il admet donc un plus grand élément. Définition On appelle plus grand commun diviseur (pgcd) de a et b et on note pgcd(a, b) (ou encore a a b) le plus grand élément de Da ∩ D b . Plus généralement, le pgcd des nombres a1 , . . . , an , noté pgcd(a1 , . . . , an ), est le plus grand élément de Da1 ∩ · · · ∩ Dan . 7/22 MAT231, Chapitre 1 Chapitre 2, Arithmétique Algorithme d’Euclide On définit la suite de nombres entiers r [k] par les relations r [0] := a, r [1] := b et, pour k ≥ 0, et tant que r [k + 1] est non nul, r [k + 2] := irem(r [k], r [k + 1]), le reste de la division euclidienne de r [k] par r [k + 1]. La suite r [k] atteint 0 à partir d’un certain rang. Le dernier reste non nul est d := pgcd(a, b). [I Mise en oeuvre de l’algorithme d’Euclide, voir TD.] 8/22 MAT231, Chapitre 1 Chapitre 2, Arithmétique Théorème (caractérisation du pgcd) Soient a, b deux entiers non nuls. Soit d := pgcd(a, b) leur pgcd. 1. L’ensemble des diviseurs communs à a et b est égal à l’ensemble des diviseurs de leur pgcd, c’est-à-dire Da,b = Dd . 2. Le pgcd de a, b est caractérisé comme étant le nombre d tel que a = da0 et b = db 0 , avec pgcd(a0 , b 0 ) = 1. Soient a, b, m trois entiers non nuls. Alors pgcd(ma, mb) = m pgcd(a, b). 9/22 MAT231, Chapitre 1 Chapitre 2, Arithmétique Définition Deux entiers non nuls a, b sont dits premiers entre eux si leur pgcd est égal à 1. On dit aussi “a est premier avec b”. Théorème de Gauss Soient a, b, c trois entiers non nuls. Si l’entier c divise le produit ab et s’il est premier avec a, alors c divise b. 10/22 MAT231, Chapitre 1 Chapitre 2, Arithmétique Plus petit commun multiple Soient a, b deux entiers non nuls. On note Ma (resp. Mb ) l’ensemble des multiples de a (resp. b). L’ensemble Ma,b := Ma ∩ Mb des multiples communs à a et b est non vide (il contient ab), il admet donc un plus petit élément. Définition On appelle plus petit commun multiple (ppcm) de a, b et on note ppcm(a, b) (ou encore a ^ b), le plus petit élément de Ma,b . Plus généralement, le ppcm des nombres a1 , . . . , an , noté ppcm(a1 , . . . , an ), est le plus petit élément de Ma1 ∩ · · · ∩ Man . 11/22 MAT231, Chapitre 1 Chapitre 2, Arithmétique Théorème Soient a, b deux entiers non nuls. On note m := ppcm(a, b) leur ppcm. L’ensemble des multiples communs à a et b est égal à l’ensemble des multiples de m, c’est-à-dire Ma,b = Mm . Corollaire Soient a, b deux entiers non nuls. On note d := pgcd(a, b) et m := ppcm(a, b). On définit a0 , b 0 par a = da0 et b = db 0 . Alors m = da0 b 0 et, en conséquence, ab = pgcd(a, b) × ppcm(a, b). [I Corollaire, voir TD.] 12/22 MAT231, Chapitre 1 Chapitre 2, Arithmétique Nombres premiers Définition Un nombre entier supérieur ou égal à 2 est dit premier s’il n’admet pas d’autre diviseur que lui-même et 1. Proposition Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 possède au moins un diviseur premier. Proposition Il existe une infinité de nombres premiers. 13/22 MAT231, Chapitre 1 Chapitre 2, Arithmétique Lemme d’Euclide Soit p un nombre premier. ( 1. Soit a ∈ N, a ≥ 1. Alors pgcd(a, p) = 1, p, si p 6∈ Da , si p ∈ Da . 2. Soient a, b ∈ N. Si p divise ab, alors p divise a ou p divise b. 3. Soient a1 , . . . , an ∈ N. Si p divise le produit a1 × . . . × an , alors p divise au moins un des ai . 14/22 MAT231, Chapitre 1 Chapitre 2, Arithmétique Théorème (Décomposition en facteurs premiers) Soit a un nombre entier supérieur ou égal à 2. Le nombre a peut s’écrire d’une manière et d’une seule (à l’ordre près des facteurs) sous la forme d’un produit, a = p1α1 . . . pkαk de puissances (αj ∈ N, αj ≥ 1) de nombres premiers deux à deux distincts p1 , . . . , pk . 15/22 MAT231, Chapitre 1 Chapitre 2, Arithmétique Idéaux de Z et Théorème de Bézout Idéaux de Z et Théorème de Bézout Définition Soit A un anneau commutatif. Une partie non vide I de A est un idéal si, 1. (I, +) est un sous-groupe de (A, +), 2. I est stable par la multiplication de A, c’est-à-dire, pour tout x ∈ I et pour tout a ∈ A, ax ∈ I. 16/22 MAT231, Chapitre 1 Chapitre 2, Arithmétique Idéaux de Z et Théorème de Bézout Exemples I {0} et A sont des idéaux de A. I Dans l’anneau Z, aZ := {ak | k ∈ Z} (ensemble des multiples de a) est un idéal. I On note aZ + bZ l’ensemble aZ + bZ := {n ∈ Z | ∃(u, v ) ∈ Z t.q. n = au + bv }. C’est un idéal de Z. Théorème (Caractérisation des idéaux de Z) Soit I un idéal de Z. Alors il existe un unique élément a ∈ N tel que I = aZ. Si I = 6 {0}, l’élément a est le plus petit élément strictement positif de I. 17/22 MAT231, Chapitre 1 Chapitre 2, Arithmétique Idéaux de Z et Théorème de Bézout Théorème de Bézout Soient a, b ∈ Z. Les nombres a et b sont premiers entre eux, si et seulement s’il existe un couple (u, v ) d’entiers tel que au + bv = 1 (ce couple n’est pas unique). Théorème de Bézout généralisé Soient a, b ∈ Z. Notons d := pgcd(a, b) le pgcd des nombres a et b. Alors, aZ + bZ = dZ. En particulier, le pgcd de a et b s’écrit d = au + bv pour un couple (u, v ) d’entiers (ce couple n’est pas unique). 18/22 MAT231, Chapitre 1 Chapitre 2, Arithmétique Congruences Congruences Définition Soient n ∈ Z• et a, b ∈ Z. On dit que a est congru à b modulo n si n divise a − b. Proposition La congruence modulo n ∈ Z• est une relation d’équivalence dans Z, compatible avec les opérations de Z. 19/22 MAT231, Chapitre 1 Chapitre 2, Arithmétique Congruences Proposition Soient a, b ∈ Z et n ∈ Z• . Alors a ≡ b (mod n) si et seulement si a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n. Corollaire Pour tout a ∈ Z, il existe un unique r ∈ {0, 1, . . . , n − 1} tel que a ≡ r (mod n) (c’est le reste de la division euclidienne de a par n). [I Compléments sur les congruences, voir DM.] 20/22 MAT231, Chapitre 1 Chapitre 2, Arithmétique Congruences Proposition (Critères de divisibilité) I Le nombre x = xn xn−1 . . . x0 en base a est divisible par a si et seulement si x0 = 0. Il est divisible par un diviseur d de a si et seulement si x0 est divisible par d. I Le nombre x = xn xn−1 . . . x0 en base a est divisible par (a − 1) si et seulement si xn + . . . + x0 est divisible par (a − 1). I Le nombre x = xn xn−1 . . . x0 en base a est divisible par (a + 1) si et seulement si (−1)n xn + (−1)n−1 xn−1 + . . . + x0 est divisible par (a + 1). [I Critères de divisibilité par 2, 5, 9 et 11 en base 10, voir TD.] 21/22 MAT231, Chapitre 1 Chapitre 2, Arithmétique Congruences Version Septembre 2008 mat231-chap2-arithmetique-080902.tex (2 septembre 2008) 22/22