MAT231 -- Chapitre 2 : Arithmétique

MAT231, Chapitre 1
MAT231 – Chapitre 2 : Arithmétique
Université Joseph Fourier – 2008-2009
Pierre Bérard
Les transparents et les feuilles d’exercices sont disponibles sur
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~pberard
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MAT231, Chapitre 1
Plan du chapitre 2
Chapitre 2, Arithmétique
Division euclidienne
Plus grand commun diviseur
Plus petit commun multiple
Nombres premiers
Idéaux de Zet Théorème de Bézout
Congruences
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Chapitre 2, Arithmétique
Division euclidienne
Division euclidienne
Notations : N•:= N\ {0},Z•:= Z\ {0}.
Théorème et Définition
Pour tout a∈Net pour tout b∈N•, il existe un couple unique
(q,r)tel que
a=bq +r,avec 0 ≤r<b.
Cette écriture s’appelle la division euclidienne de apar b. Le
nombre qs’appelle le quotient de la division euclidienne, le nombre
rson reste.
[IAlgorithmes, voir les TD/TP.]
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Chapitre 2, Arithmétique
Division euclidienne
Théorème (Écriture d’un nombre entier en base a)
Soit a∈N,a≥2. Pour tout x∈Nil existe un développement et
un seul de la forme
x=xnan+xn−1an−1+. . . +x1a+x0
avec xi∈N,0≤xi<apour tout iet xn6=0. Ce développement
s’appelle l’écriture de xen base aet se note x=xnxn−1. . . x0ou
encore x= (xnxn−1. . . x0)aquand on veut spécifier la base de
numération.
[IAlgorithmes de conversion, voir les TD/TP.]
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Chapitre 2, Arithmétique
Division euclidienne
Théorème (division euclidienne dans Z)
Pour tout a∈Zet pour tout b∈Z•, il existe un couple
(q,r)∈Z2unique, tel que
a=bq +ravec 0 ≤r<|b|.
[IUtiliser la division euclidienne dans N, voir TD.]
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Soient a,bdeux entiers non nuls.
Définitions
On dit que b divise a s’il existe un entier qtel que a=bq (le reste
de la division euclidienne de apar best nul).
Le nombre best un diviseur de a. Le nombre aest un multiple de
b.
Notations
On note Dal’ensemble des diviseurs de aet Da,bl’ensemble des
diviseurs communs à aet à b, c’est-à-dire l’ensemble Da∩ Db.
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Plus grand commun diviseur
L’ensemble Da∩ Dbn’est pas vide (il contient 1) et il est majoré
par aet b. Il admet donc un plus grand élément.
Définition
On appelle plus grand commun diviseur (pgcd) de aet bet on
note pgcd(a,b)(ou encore aab) le plus grand élément de
Da∩ Db.
Plus généralement, le pgcd des nombres a1,...,an, noté
pgcd(a1,...,an), est le plus grand élément de Da1∩ · · · ∩ Dan.
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Chapitre 2, Arithmétique
Algorithme d’Euclide
On définit la suite de nombres entiers r[k]par les relations
r[0] := a,r[1] := b
et, pour k≥0, et tant que r[k+1]est non nul,
r[k+2] := irem(r[k],r[k+1]),
le reste de la division euclidienne de r[k]par r[k+1].
La suite r[k]atteint 0 à partir d’un certain rang. Le dernier reste
non nul est d:= pgcd(a,b).
[IMise en oeuvre de l’algorithme d’Euclide, voir TD.]
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Théorème (caractérisation du pgcd)
Soient a,bdeux entiers non nuls. Soit d:= pgcd(a,b)leur pgcd.
1. L’ensemble des diviseurs communs à aet best égal à
l’ensemble des diviseurs de leur pgcd, c’est-à-dire Da,b=Dd.
2. Le pgcd de a,best caractérisé comme étant le nombre dtel
que
a=da0et b=db0,avec pgcd(a0,b0) = 1.
Soient a,b,mtrois entiers non nuls. Alors
pgcd(ma,mb) = mpgcd(a,b).
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Définition
Deux entiers non nuls a,bsont dits premiers entre eux si leur
pgcd est égal à 1. On dit aussi “aest premier avec b”.
Théorème de Gauss
Soient a,b,ctrois entiers non nuls. Si l’entier cdivise le produit
ab et s’il est premier avec a, alors cdivise b.
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