Devoir de Spécialité Mathématiques n°1 (1h) x y = + (2 )(2 ) 15

Année scolaire 2012-2013 Terminale S-704-705
DS n° 1 de spécialité
Devoir de Spécialité Mathématiques n°1 (1h)
Exercice 1 :
Effectuer la division euclidienne de 2012 par 37. En déduire la division euclidienne de –2012 par
37.
Exercice 2 :
On sait que dans la division euclidienne de l’entier naturel a par 225 , le reste est égal à 136.
Quel est alors le reste de la division euclidienne de a par 75 ? Justifier.
Exercice 3 :
La somme de deux entiers naturels a et b est égale à 324. La division euclidienne de a par b
donne 2 comme quotient et 57 pour reste.
Déterminer a et b.
Exercice 4 : Soit n un entier relatif.
1. Démontrer que si 25n− divise 3n
+
alors 25n
−
divise 11.
2. En déduire tous les entiers n tels que 25n
−
divise 3n
+
.
Exercice 5 :
Soit
x
et y deux entiers naturels. On veut résoudre l’équation : 4² ² 15xy
=
+ (1).
1. Démontrer que si (; )
x
yest solution de (1) alors (; )
x
y est solution de l’équation :
(2 )(2 ) 15xy xy−+= (2).
2. Résoudre l’équation (2) et conclure sur la résolution de (1).
Exercice 6 :
On veut déterminer les entiers relatifs n tels que 2² 8
4
nn
n
−
−
+ soit un entier.
1. Justifier que
2 ² 8 ( 4)(2 9) 28nn n n−−= + − + .
2. Démontrer que
2² 8
4
nn
n
−−
+ est un entier si et seulement si 284n
+
est un entier.
3. En déduire les valeurs de n, entier relatif, telles que 2² 8
4
nn
n
−
−
+ soit un entier.
Exercice 7 :
1. Déterminer tous les restes possibles dans la division euclidienne d’un entier naturel
impair par 4.
2. Démonter que si n est un nombre entier naturel impair alors ²1n
−
est divisible par 8.