Pense-bête Partie I

Mémo–LicenceL3Informatique
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Les résultats possibles d’une expérience aléatoire constituent
l’ensemble fondamental, Ω, appelé aussi univers des possibles.
On appelle espace probabilisable un couple (Ω, C) où C est une
tribu de parties de l’ensemble Ω.
Soit X une v.a. on appelle fonction de répartition de X, notée F
l’application:
𝐹: ℝ → [0,1]
𝑥 ↦ 𝐹 𝑥 = 𝑃(𝑋 < 𝑥)
On appelle densité d’une v.a., X la dérivée p de sa fonction de
répartition F
N
E et F sont deux événements incompatibles si la réalisation de
l’un exclut celle de l’autre, (i.e. E ∩ F = ∅)
On appelle probabilité sur l’espace probabilisable (Ω, C), une
application P de C dans [0, 1] telle que:
• P(Ω) = 1
• Pour tout ensemble dénombrable 𝐸% ,…,
𝐸& d’événements incompatibles:
𝑃( &)*% 𝐸) ) = &)*% 𝑃(𝐸) )
Le triplet (Ω , C, P) est appelé espace probabilisé
Propriétés
•
𝑃 ∅ =0
•
𝑃 𝐸 = 1 − 𝑃(𝐸)
•
𝐸 ⊆ 𝐹 ⇒ 𝑃(𝐸) ≤ 𝑃(𝐹)
•
𝑃 𝐸⋃𝐹 = 𝑃 𝐸 + 𝑃 𝐹 − 𝑃(𝐸 ∩ 𝐹)
•
𝑃( &)*% 𝐸) ) ≤ &)*% 𝑃(𝐸) ) – inégalité connue sous le
nom de la borne de l’union
Théorème des probabilités totales
Soit 𝐹7 7 un ensemble complet d’événements de Ω
(incompatibles et dont l’union est l’univers des possibles), alors :
∀𝐸 ∈ Ω, 𝑃 𝐸 =
7
𝑃(𝐸 ∩ 𝐹7 )
Formule de Bayes
Soit E et F deux événements réalisables, nous avons alors
𝑃 𝐸 𝐹 𝑃(𝐹)
𝑃 𝐹𝐸 =
𝑃(𝐸)
Soit 𝐸7
7∈{%,…,&} ,
𝐹 𝑥 =
𝑝 𝑢 𝑑𝑢
@O
Définir la v.a. absolument continue X c’est de se donner sa densité
de probabilité p(x) telle que
∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑝(𝑥) ≥ 0 et
QO
𝑝
@O
𝑥 𝑑𝑥 = 1
On assimile souvent la loi de X à la donnée de sa densité de
probabilité p ou de sa fonction de répartition F.
Soit X une v.a. on appelle espérance mathématique de X, que
l’on note 𝔼 𝑋 la quantité suivante :
•
Si X est discrète ; 𝔼 𝑋 = 7 𝑥7 𝑃(𝑋 = 𝑥7 )
•
Si X est continue ;𝔼 𝑋 =
QO
𝑥𝑝
@O
𝑥 𝑑𝑥
Pour tout réel 𝑎 ∈ ℝ, et tout couple de v.a. (X,Y )
•
𝔼 𝑎 = 𝑎, 𝔼 𝑎𝑋 + 𝑌 = 𝑎𝔼 𝑋 + 𝔼 𝑌
Si X et Y sont deux v.a. indépendantes on a alors
𝔼 𝑋×𝑌 = 𝔼 𝑋 ×𝔼 𝑌
l’égalité𝔼 𝑋×𝑌 = 𝔼 𝑋 ×𝔼 𝑌 n’entraîne pas l’indépendance des
variables X et Y.
On appelle variance de X, la quantité:
𝕍 𝑋 = 𝔼 (𝑋 − 𝔼[𝑋])>
𝕍 𝑋 = 𝔼 𝑋> − 𝔼 𝑋
>
, 𝕍 𝑎 = 0, 𝕍 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎 > 𝕍 𝑋
Si deux v.a. X et Y sont indépendantes alors:
𝕍 𝑋+𝑌 =𝕍 𝑋 +𝕍 𝑌
n événements aléatoires de Ω, on a alors
&
𝑃 𝐸% ∩ … ∩ 𝐸& = 𝑃 𝐸%
𝑃( 𝐸7 |𝐸% ∩ … ∩ 𝐸7@% )
7*>
Les événements 𝐸7 7∈{%,…,&} sont dits mutuellement
indépendants, si et seulement si
&
𝑃 𝐸% ∩ … ∩ 𝐸& =
𝑃( 𝐸7 )
7*%
Une variable aléatoire (v.a.) X est un nombre réel que l’on
associe à chaque élément e de l’ensemble Ω. X est donc une
application définie comme:
𝑋: Ω → ℝ
𝑒 ↦ 𝑋(𝑒)
X est la variable aléatoire réelle et x est une réalisation de cette
v.a.
Inégalité de Markov
Soit X une v.a. non négative, et a un réel strictement positif, on a
alors
𝔼𝑋
𝑃(𝑋 ≥ 𝑎) ≤
𝑎
Inégalité de Chebychev
Soit X une v.a. d’espérance 𝔼 𝑋 et de variance 𝕍 𝑋 ; pour tout
𝛿 ∈ ℝQ , on a alors
𝕍𝑋
𝑃(|𝑋 − 𝔼 𝑋 | ≥ 𝛿) ≤ >
𝛿
Loi faible des grands nombres – Théorème de Khinchin
Soit n variables aléatoires indépendantes 𝑋% , … , 𝑋& ayant
même espérance 𝔼 𝑋 et une variance finie 𝕍 𝑋 , on a alors
𝑋% + ⋯ + 𝑋&
∀𝜖 > 0, lim 𝑃
−𝔼 𝑋 ≥𝜖 =0
&→QO
𝑛
Loi de Bernoulli
C’est la loi d’une v.a. binaire 𝑋 ∈ 0,1 ,si q est la probabilité que
X soit égale à 1, ∀𝑥 ∈ 0,1 ; 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑞 N 1 − 𝑞 %@N ;
𝔼 𝑋 = 𝑞, 𝕍 𝑋 = 𝑞 1 − 𝑞
Loi Binomiale
Soit X la somme de n variables 𝑋7 indépendantes, suivant
toutes la loi de Bernoulli de paramètre q. La loi suivie par X est
la loi binomiale de paramètres n et q, 𝔼 𝑋 = 𝑛𝑞, 𝕍 𝑋 = 𝑛𝑞(1 − 𝑞)