TD n 2 : Espérance, variance et quantiles.

M1 BIBS
Mise à niveau en Mathématiques
Année universitaire 2016-2017
TD n◦2 : Espérance, variance et quantiles.
Exercice n◦1 : Une loi non-usuelle
Soit Xune variable aléatoire de densité de probabilité fdonnée par :
f(x) = 3
8(1−x2)si x∈[−1,1],
3
8(1−(x−2)2)si x∈]1,3],
0 sinon
(a) Tracer la courbe représentative de f.
(b) Calculer la fonction de distribution FXde X.
Exercice n◦2 : Loi bêta B(2,2)
La densité de la loi bêta B(2,2)est définie par
f(x):=6x(1−x)10≤x≤1.
Soit Xune variable aléatoire distribuée selon une loi bêta B(2,2).
(a) Calculer la fonction de répartion de X.
(b) Calculer l’espérance de Xet la variance de X.
(c) Calculer P(0.25 ≤X<0.75)et tracer l’aire représentant cette probabilité sur un graphique de
la fonction de densité.
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Exercice n◦3 : Une loi non-usuelle II
Soit Xune variable aléatoire de densité de probabilité fdonnée par :
f(x) = 1−2|x|si x∈[−0.5,0.5],
1−2|x−1|si x∈]0.5,1.5],
0 sinon
(a) Tracer la courbe représentative de f.
(b) Calculer la fonction de distribution FXde X.
(c) Calculer l’espérance E(X)et l’écart-type σXde X.
Exercice n◦4 : Loi Exponentielle
Rappel :Xv.a. continue suit la loi exponentielle de paramètre 1/µ si sa densité de probabilité est
définie par :
f(x) = 
1
µexp−x µsi x≥0
0 sinon.
On prendra µ=2 dans cet exercice.
(a) Calculer P(1<X≤2).
(b) Calculer à la main l’espérance de X.
(c) Quelle est la loi de 2X+3 ?
(d) Calculer la médiane de X.
Exercice n◦5 : Moyenne et médiane
Soit Xune variable aléatoire réelle telle que E[X2]<∞. On dit que mest une médiane pour Xssi
P(X>m)≤1
2≤P(X≥m).
(a) Pour x1<...<xn, déterminer les médianes de la loi uniforme sur l’ensemble {x1,...,xn}.
(b) Montrer que E[(X−a)2]≥Var(X)pour tout a∈R.
Exercice n◦6 : Loi Normale
Soit Xune variable aléatoire de loi gaussienne N(2,9).
(a) Sous R, calculer P(X≥ −1,3).
(b) Recalculer cette quantité en cherchant dans les tables.
(c) Sous R, trouver la valeur de ttelle que P(|X−2| ≤ t) = 95%.
Exercice n◦7 : Loi de Bernoulli
(a) Calculer l’espérance et la variance de Xsuivant une loi de Bernoulli de paramètre p.
(b) En se souvenant que la loi binomiale B(n,p)est la loi de la somme de nvariables aléatoires
indépendantes suivant toutes la même loi de Bernoulli de paramètre p, calculer l’espérance
et la variance de Ysuivant une loi binomiale B(n,p).
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