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HLMA406
Examen 2ème session
Calculatrice et tous documents autorisés. Durée : 2 heures.
Exercice 1. Soit Xune variable aléatoire continue dont la densité de probabilité est
f(x) = cos(x)
k11[0,π/2](x).
1) Déterminer k.
2) Représenter la fonction de répartition de X.
3) Calculer l’espérance puis la variance de X.
Exercice 2. Soit Xune variable aléatoire de loi binomiale B(72,1/3).
1) Pour quelles valeurs de aet bpeut-on dire que X−a
bsuit approximativement la loi N(0,1) ?
2) En déduire une approximation de P(X≤30).
3) Quelle est la loi de Y= 72 −X?
Exercice 3. Soit Xune variable aléatoire continue dont la densité de probabilité est
f(x) = θx−(1+θ)11[1,+∞[(x),
où θest un réel strictement supérieur à 2.
1) Calculer l’espérance de X et vérifier qu’elle est bien supérieure à 1.
2) Calculer la variance de X et vérifier qu’elle est bien positive.
3) Soit X1,· · · , Xnun échantillon issu de cette densité.
a) Montrer que l’estimateur des moments de θest
˜
θ= 1 + 1
¯
X−1.
b) Calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance de θ.
4) On suppose maintenant que θ= 3 et n= 100. Quelle est la loi suivie approximativement par ¯ X?
En déduire la probabilité que l’écart entre ˜ θet θsoit inférieur à 1/2.
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