HLMA406 Examen 2ème session Calculatrice et tous documents autorisés. Durée : 2 heures. Exercice 1. Soit X une variable aléatoire continue dont la densité de probabilité est f (x) = cos(x) 11[0,π/2] (x). k 1) Déterminer k. 2) Représenter la fonction de répartition de X. 3) Calculer l’espérance puis la variance de X. Exercice 2. Soit X une variable aléatoire de loi binomiale B(72, 1/3). 1) Pour quelles valeurs de a et b peut-on dire que X−a suit approximativement la loi N (0, 1) ? b 2) En déduire une approximation de P(X ≤ 30). 3) Quelle est la loi de Y = 72 − X ? Exercice 3. Soit X une variable aléatoire continue dont la densité de probabilité est f (x) = θx−(1+θ) 11[1,+∞[ (x), où θ est un réel strictement supérieur à 2. 1) Calculer l’espérance de X et vérifier qu’elle est bien supérieure à 1. 2) Calculer la variance de X et vérifier qu’elle est bien positive. 3) Soit X1 , · · · , Xn un échantillon issu de cette densité. a) Montrer que l’estimateur des moments de θ est θ̃ = 1 + 1 . X̄ − 1 b) Calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance de θ. 4) On suppose maintenant que θ = 3 et n = 100. Quelle est la loi suivie approximativement par X̄ ? En déduire la probabilité que l’écart entre θ̃ et θ soit inférieur à 1/2. 1