Feuille de TD 3

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L2
UE LM231 – Probabilités-Statistiques Année 2012–13
TD3. Variables Aléatoires
Exercice 1. On lance un dé équilibré dont les six faces sont numérotées de 1à6. Soit Xle point
obtenu.
a) Donner la loi de X.
b) On lance deux fois le dé. Soit Sla somme des points obtenus. Donner la loi de S.
c) Calculer E[S]et Var[S]de deux manières différentes.
d) Quelle est la probabilité que la somme Ssoit supérieure ou égale à 10 ?
Exercice 2. Soit Xla variable aléatoire à valeurs dans {0,...,4}définie par :
P(X= 0) = a, P(X= 1) = 2a, P(X= 2) = 4a, P(X= 3) = 2b, P(X= 4) = b.
a) Sachant que l’espérance de Xest égale à 2, déterminer aet b.
b) Calculer la variance de X.
Exercice 3. Soit Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5}un espace fini à 5 éléments de probabilités respectives 1/4,
1/4,1/6,1/6et 1/6. On note Xet Yles variables aléatoires définies par :
X(ω1) = X(ω2) = 0; X(ω3) = X(ω4) = 1; X(ω5)=2
Y(ω1) = Y(ω2) = 0; Y(ω3) = Y(ω5) = 1; Y(ω4)=2
a) Déterminer les lois de Xet de Y, puis celles de X2et Y2.
b) Calculer la loi conjointe de (X, Y ), puis celle de X+Y. Les variables aléatoires Xet Ysont-elles
indépendantes ?
c) Calculer E[X+Y]de deux manières différentes.
d) Calculer Var[X+Y].
Exercice 4. On considère la matrice M=X Z
Z Y où X,Yet Zsont trois variables aléatoires
indépendantes telles que
–P(X=−1) = P(X= 1) = 1/2
–P(Y= 0) = P(Y= 1) = P(Y= 4) = 1/3
–P(Z= 0) = 1/4;P(Z= 4) = 3/4.
a) Quelle est la loi de Tr(M)? Déterminer son espérance et sa variance.
b) Calculer E[dét(M)]. Quelle est la probabilité que Msoit inversible ?
Exercice 5. Soit (X, Y )un couple de variables aléatoires à valeurs dans Ntel que
P(X=m, Y =n) = 1
2m3n+1 ,(m, n)∈N2.
a) Montrer qu’il s’agit bien là d’une probabilité sur (N2,P(N2)).
b) Déterminer la loi de Xet celle de Y. Les deux variables sont-elles indépendantes ?
c) Déterminer la loi de X+Y.
1

Exercice 6.
Pour 0<p<1, on considère une pièce qui donne face avec probabilité pet pile avec probabilité 1−p.
Soit Nle nombre d’essais nécessaires pour obtenir face.
a) Quelle est la loi de N? Calculer sa moyenne et sa variance. Cette variable aléatoire est appelée
variable aléatoire géométrique de paramètre p.
b) Comment doit-on choisir ppour avoir plus d’une chance sur deux d’obtenir au moins une fois
face en nlancers ?
c) Montrer que pour tout (k, n)∈N2,P(N > k +n|N > k) = P(N > n). On dit que la loi
géométrique est sans mémoire.
d) Soient (p1, p2)∈]0,1[2et N1et N2deux variables aléatoires indépendantes de loi géométrique de
paramètres p1et p2. Quelle est la loi de N= min(N1, N2)?
Exercice 7. Soit nun entier naturel non nul. On considère une urne contentant nboules numérotées
de 1àn. On tire toutes les boules une par une et sans remise. Pour tout i∈N?
non note Xila variable
aléatoire à valeurs dans {0,1}telle que Xi= 1 si et seulement si la i-ème boule tirée est la boule
numéro i. Calculer l’espérance et la variance de la variable aléatoire
X=
n
X
i=1
Xi.
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