Lois de probabilités usuelles

Lois de probabilités usuelles
Lois discrètes
Nom de la loi Paramètre(s) Symbole Valeurs possibles de XProbabilités élémentaires Espérance Variance
Bernoulli p∈]0,1[ B(p)0 ou 1 P(X= 1) = 1 −P(X= 0) = p p p(1 −p)
Binomiale p∈]0,1[ et n∈N∗B(n, p) 0,1, . . . , n P(X=k) = n
kpk(1 −p)n−knp np(1 −p)
Géométrique p∈]0,1[ G(p)N∗P(X=k) = p(1 −p)k−11
p
1−p
p2
Poisson λ∈]0,+∞[P(λ)N P(X=k) = e−λλk
k!λ λ
Uniforme Un ensemble fini à
n∈N∗éléments
{x1, . . . , xn}
U({x1, . . . , xn}){x1, . . . , xn}P(X=xi) = 1
n
1
n
n
X
i=1
xi
1
n
n
X
i=1
x2
i− 1
n
n
X
i=1
xi!2
Rappels: Si on note X(Ω) l’ensemble des valeurs possibles de X, alors,
1 = X
k∈X(Ω)
P(X=k).
E[X] = X
k∈X(Ω)
kP(X=k).
EX2=X
k∈X(Ω)
k2P(X=k).
EXd=X
k∈X(Ω)
kdP(X=k), d ∈N.
Var(X) = EX2−E[X]2.

Lois à densité
Nom de la loi Paramètre(s) Symbole Valeurs possibles de XDensité de probabilité Espérance Variance
Uniforme a<bréels U([a, b]) [a, b]fX(x) = 1
b−a1[a,b](x)a+b 2
(b−a)2
12
Normale (ou de Gauss) µ∈Ret σ2∈R∗
+N(µ, σ2)RfX(x) = 1
√2πσ2e−(x−µ)2
2σ2µ σ2
Exponentielle λ∈R∗
+E(λ)R+fX(x) = λe−λx1R+(x)1
λ
1
λ2
Rappels:
•Pour qu’une fonction f, définie sur R, soit une densité de probabilité, il faut que :
1. elle soit positive,
2. RRf(x) dx= 1.
•Si on note Il’ensemble des valeurs possibles de X, alors,
1 = ZI fX(x) dx.
E[X] = ZI x fX(x) dx.
EX2=ZI x2fX(x) dx.
EXd=ZI xdfX(x) dx, d ∈N.
Var(X) = EX2−E[X]2.
•La fonction de répartition de Xest la function FXdéfinie, pour tout tdans R, par,
FX(t) = P(X≤t) = ZI∩]−∞,t] fX(x) dx.
La fonction de répartition est comprise entre 0 et 1, croissante et continue sur R.