convergence en probabilite

CONVERGENCE EN PROBABILITE
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a. Inégalité de Bienaymé-Tchébycheff
Soit X une variable aléatoire réelle discrète ou continue.
,0
P
 )(XEX
2
2
avec V(X) =
2
b. Définition de la convergence en probabilité
Une suite de n variables aléatoires réelles X1, X2, …, Xn converge en probabilité vers X si :
,0
lim P
 XXn
= 0 quand n tend vers
c. Loi faible des grands nombres
Soit X1, X2, …, Xn une suite de n variables aléatoires réelles discrètes ou continues. Ces n
variables ont, par hypothèse, les caractéristiques suivantes :
 elles suivent toutes la même loi de probabilité ;
 elles ont toutes la même moyemme m et la même variance
2
;
 elles sont 2 à 2 mutuellement indépendantes.
Soit Zn =
n
ii
X
n1
1
. Dès lors :
,0
P
 )mZn
2
2
n
La démonstration de cette formule est couramment demandée dans les sujets de concours au
titre de l’application de l’inégalité de Bienaymé-Tchébycheff.
Démonstration :
Pour appliquer à Zn l’inégalité de Bienaymé-Tchébycheff, commençons par calculer E(Zn) et
V(Zn) :
E(Zn) = E(
n
ii
X
n1
1
) =
)(
1
1
n
ii
XE
n
=
nm
n
1
= m

V(Zn) = V(
n
ii
X
n1
1
) =
)(
1
1
2
n
ii
XV
n
. Il n’y a en effet pas lieu de rajouter 2 fois la somme des
covariances distinctes car les variables sont supposées mutuellement indépendantes. Dès lors :
V(Zn) =
2
2
1
n
n
=
n
2
Il reste alors à appliquer à Zn l’inégalité de Bienaymé-Tchébycheff :
,0
P
 )( nn ZEZ
2
)(
n
ZV
soit encore :
,0
P
 mZn
2
2
n
d. Cas particulier de la loi faible des grands nombres lorsque X1, X2, …, Xn sont
des variables de Bernoulli identiques et indépendantes
On suppose désormais que X1, X2, … , Xn :
 suivent une loi de Bernoulli de paramètre p ;
 sont 2 à 2 mutuellement indépendantes.
Dans ce cas la variable Sn =
n
ii
X
1
suit ne loi binômiale B(n ; p) donc :
E(Sn) = np et V(Sn) = npq.
Soit Zn =
n
S
n
1
=
n
ii
X
n1
1
. Dès lors :
 E(Zn)=
)(
1n
SE
n
=
n
1
np = p ;
 V(Zn)=
)(
12n
SV
n
=
npq
n2
1
=
n
pq
Appliquons alors à Zn l’inégalité de Bienaymé-Tchébycheff :
,0
P
 )( nn ZEZ
2
)(
n
ZV
éy
soit encore :
,0
P
 pZn
2
npq
On peut alors montrer que
,0
P
 pZn
2
41 n
Pour cela montrons que
2
npq
2
41 n
en étudiant la fonction f telle que f(p) = p(1-p)=p-p2 :
f est définie sur mais son étude sera limitée à l’intervalle [0 ;1].
F’(p) = 1-2p dons f’(p)>0 sir 1-2p>0 soit p <1/2. Par conséquent, f est croissante sur [0 ;1/2] et
décroissante sur [1/2 ;1]. f admet donc un maximum en p=1/2 et f(1/2)=1/2 – (1/2)2 = ½ - ¼ = ¼ .

Donc f(p) < ¼ soit p(1-p) < ¼ soit encore pq< ¼ . Finalement :
2
npq
2
41 n
.
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