Unité de cours Probabilités et statistiques - Séance TD n°3 Conditionnement et indépendance – Variables aléatoires réelles discrètes Exercice 1 (A propos de transmissions) Considérons le réseau de transmission suivant avec n nœuds de transmission: 0à1 à 2 à…àn Un symbole binaire est transmis du noeud 0 vers le noeud n. On suppose qu’à chaque étape ( k à k+1), il peut y avoir erreur de transmission avec une probabilité q. Il s’en suit que la probabilité de transmission sans erreur à chaque étape est p = 1 - q. On suppose de plus que, si à l’étape k à k+1, il y a une erreur, le symbole est envoyé du nœud k de nouveau. 1 - Quelle est la probabilité de passage de 0 à n sans erreur? 2 - Quelle est la probabilité qu’une erreur se produise pour la première fois entre k à k+1 ? 3 - Quelle est la probabilité qu’il ne produise qu’une seule erreur durant le passage de 0 à n ? 4 - Quelle est la probabilité pour que l'erreur se produise durant le passage de 0 à n exactement deux fois? Indication : Utiliser l’événement Hk ={ une erreur se produit entre k à k+1}. Exercice 2 (Deux automates) Soient deux automates A1 et A2 représentés par les deux diagrammes suivants avec les conventions du TD1 0 1 1 1 2 0 4 0 1 3 1 1 0 2 1 5 0 0 5 1 3 0 1 0 1 4 0,1 Soit Ω, l’ensemble des mots binaires de longueur 3, muni de la loi uniforme P. Soient X1 et X2 deux variables aléatoires définies comme suit : - Xi (ω) = k, si le mot binaire ω est accepté par l’automate Ai dans l’état k. - Sinon, Xi (ω) = 0. Afin de trouver le coefficient de corrélation corr(X1 ,X2 ) : 1- trouver la loi jointe de (X1 ,X2 ) 2- trouver la loi marginale des deux variables 3- calculer E(X1 X2 ), E(X1 ), E(X2 ). 4- En déduire corr(X1 ,X2 ) Exercice 3 (Variables discrètes et indépendance) Soient X et Y, deux variables aléatoires indépendantes de loi uniforme qui prennent comme valeurs 1, 2 et 3. On pose Z = X + Y et U =XY. 1 – Est-ce que les variables Z et U sont indépendantes ? 2 – Donner leur coefficient de corrélation. Indication : trouver la loi jointe (Z,U), en déduire les lois marginales et conclure. Exercice 4 (Espérance) Un joueur coche 6 numéros sur une grille de 49 numéros, dans le cas d’un bulletin simple. Les 6 numéros gagnants sont obtenus par tirage à sort. L’espace d’états Ω est ici l’ensemble des parties de 6 éléments dans {1,2 ,…,49}, grilles jouées par le joueur. Soit Ng le nombre de numéros gagnants sur la grille du joueur, considérée comme variable aléatoire. 1- Donner la loi de Ng. 2- Lors d’un tirage, pour une mise de 0,3€, le gain G(Ng) était le suivant : n numéros gagnants 6 5 4 3 Gain G(n) 789 177 1813 31 3 G est une variable aléatoire discrète. Après avoir calculé son espérance, indiquer si le jeu est favorable au joueur. Exercice 5 Quelques lois usuelles –espérance, variance et fonction génératrice 1 - La loi de Bernoulli (jeu de pile ou face) La loi de Bernoulli est définie sur Ω ={ 0, 1} par P({1})=p, P({0})=q avec q=1-p. Donner son espérance, sa variance et la fonction génératrice. 2 - La Loi binomiale. Ω = {( a1 , a 2 ,..., a n ), a i ∈ {0,1}} On pose P({(a1 , a2 ,..., an )}) = p k (1 − p ) n− k avec k le nombre de a i égal à 1. Vérifier que c'est une loi de probabilités. Trouver la probabilité P(Ak ) avec Ak ={ω/ ω contient exactement k fois 1}. Soit X la variable aléatoire définie par X(w) = nombre de a i égal à 1 dans w. Donner sa loi, elle est appelée loi binomiale de paramètre (n,p). Calculer son espérance, sa variance et la fonction génératrice. Indication : utiliser la formule du binôme (1+x)n et sa dérivée. Il est aussi classique d’utiliser pur calculer var(X) de calculer au préalable E(X(X-1)). 3 - La Loi géométrique. Ω = Ν∗ et P({k}) = pk-1 q avec 0<p,q<1 Soit Τ l'ensemble de tous les sous-ensembles de Ω, montrer que (Ω, Τ, P) est un espace de probabilités et ce, pour une unique valeur de q que l’on précisera. Supposons qu’une variable aléatoire discrète à valeurs dans N* ait pour loi cette loi géométrique, de paramètre p. Quelle est son espérance et sa variance ? sa fonction génératrice ? Indication : utiliser la série géométrique ρ n , ρ p 1. et ses deux premières dérivées. ∑ 4 – La loi de Poisson de paramètre λ Ω =Ν et P( k ) = e − λ n≥ 0 λk ,k≥0 k! Montrer que P ainsi définie est une probabilité sur N. Calculer E(X), E(X(X-1)) et sa fonction génératrice. Donner deux méthodes pour trouver var(X) (directement et à partir de la série génératrice). Exercice 6 (loi géométique) Un commerçant estime que la demande d’un certain produit saisonnier est une variable aléatoire discrète de loi : P( X = k ) = pk , k ≥ 0. (1 + p) k +1 1- Vérifier que X suit bien une loi de probabilité (loi de type géométrique). 2- Calculer son espérance et sa variance. 3- Connaissant son stock s, calculer la probabilité de rupture de stock. Exercice 7 (loi binomiale et loi de Poisson) Un élément chimique émet des électrons pendant une période T. Le nombre d’électrons émis est une variable Y qui suit une loi de Poisson de paramètre λ. Chaque électron a une probabilité p d’avoir un effet biologique (on dira qu’il est efficace). Soit Z la variable aléatoire égale au nombre d’éle ctrons efficaces sur la période T. 1 Déterminer la loi du couple (Y,Z). 2 Déterminer la loi de Z, calculer son espérance. 3 Les variables Y et Z sont elles indépendantes ? 4 On considère X la variable aléatoire égale au nombre d’électrons émis non efficaces. Déterminer la loi du couple (X,Z). Les variables X et Z sont elles indépendantes. Exercice 8 Soit GX et GY les fonctions génératrices de deux variables X et Y indépendantes, suivant respectivement des lois binomiales de paramètres (n1 , p) et (n2 , p). Calculer le produit GX GY , en déduire la loi de X+Y.