TD3- Probabilités

Unité de cours Probabilités et statistiques - Séance TD n°3
Conditionnement et indépendance – Variables aléatoires réelles discrètes
Exercice 1 (A propos de transmissions)
Considérons le réseau de transmission suivant avec n nœuds de transmission:
0 à 1 à 2 à … à n
Un symbole binaire est transmis du noeud 0 vers le noeud n. On suppose qu’à chaque étape ( k à
k+1), il peut y avoir erreur de transmission avec une probabilité q. Il s’en suit que la probabilité de
transmission sans erreur à chaque étape est p = 1 - q. On suppose de plus que, si à l’étape k à k+1, il
y a une erreur, le symbole est envoyé du nœud k de nouveau.
1 - Quelle est la probabilité de passage de 0 à n sans erreur?
2 - Quelle est la probabilité qu’une erreur se produise pour la première fois entre k à k+1 ?
3 - Quelle est la probabilité qu’il ne produise qu’une seule erreur durant le passage de 0 à n ?
4 - Quelle est la probabilité pour que l'erreur se produise durant le passage de 0 à n exactement deux
fois?
Indication : Utiliser l’événement Hk ={ une erreur se produit entre k à k+1}.
Exercice 2 (Deux automates)
Soient deux automates A1 et A2 représentés par les deux diagrammes suivants avec les conventions du
TD1
Soit Ω, l’ensemble des mots binaires de longueur 3, muni de la loi uniforme P.
Soient X1 et X2 deux variables aléatoires définies comme suit :
- Xi(ω) = k, si le mot binaire ω est accepté par l’automate Ai dans l’état k.
- Sinon, Xi(ω) = 0.
Afin de trouver le coefficient de corrélation corr(X1,X2) :
1- trouver la loi jointe de (X1,X2)
2- trouver la loi marginale des deux variables
3- calculer E(X1X2), E(X1), E(X2).
4- En déduire corr(X1,X2)
Exercice 3 (Variables discrètes et indépendance)
Soient X et Y, deux variables aléatoires indépendantes de loi uniforme qui prennent comme valeurs 1,
2 et 3. On pose Z = X + Y et U =XY.
1 – Est-ce que les variables Z et U sont indépendantes ?
2 – Donner leur coefficient de corrélation.
Indication : trouver la loi jointe (Z,U), en déduire les lois marginales et conclure.
1
1
1 1
1
5
4
3
2
1
1
0
0
0
0
1
5
2
4
3
0,1
1
1
0 0
0
0

Exercice 4 (Espérance)
Un joueur coche 6 numéros sur une grille de 49 numéros, dans le cas d’un bulletin simple. Les 6
numéros gagnants sont obtenus par tirage à sort.
L’espace d’états Ω est ici l’ensemble des parties de 6 éléments dans {1,2 ,…,49}, grilles jouées par le
joueur. Soit Ng le nombre de numéros gagnants sur la grille du joueur, considérée comme variable
aléatoire.
1- Donner la loi de Ng.
2- Lors d’un tirage, pour une mise de 0,3€, le gain G(Ng) était le suivant :
n numéros gagnants Gain G(n)
6 789 177
5 1813
4 31
3 3
G est une variable aléatoire discrète. Après avoir calculé son espérance, indiquer si le jeu est favorable
au joueur.
Exercice 5 Quelques lois usuelles –espérance, variance et fonction génératrice-
1 - La loi de Bernoulli (jeu de pile ou face)
La loi de Bernoulli est définie sur Ω ={ 0, 1} par P({1})=p, P({0})=q avec q=1-p. Donner son
espérance, sa variance et la fonction génératrice.
2 - La Loi binomiale.
{
}
{
}
1,0),,...,,(21 ∈=Ωinaaaa
On pose
{
}
knk
nppaaaP−
−= )1()),...,,(( 21 avec k le nombre de ai égal à 1.
Vérifier que c'est une loi de probabilités. Trouver la probabilité P(Ak) avec Ak={ω/ ω contient
exactement k fois 1}. Soit X la variable aléatoire définie par X(w) = nombre de ai égal à 1 dans w.
Donner sa loi, elle est appelée loi binomiale de paramètre (n,p). Calculer son espérance, sa variance et
la fonction génératrice.
Indication : utiliser la formule du binôme (1+x)n et sa dérivée. Il est aussi classique d’utiliser pur
calculer var(X) de calculer au préalable E(X(X-1)).
3 - La Loi géométrique.
Ω = Ν∗ et P({k}) = pk-1 q avec 0<p,q<1
Soit Τ l'ensemble de tous les sous-ensembles de Ω, montrer que (Ω, Τ, P) est un espace de probabilités
et ce, pour une unique valeur de q que l’on précisera. Supposons qu’une variable aléatoire discrète à
valeurs dans N* ait pour loi cette loi géométrique, de paramètre p. Quelle est son espérance et sa
variance ? sa fonction génératrice ?
Indication : utiliser la série géométrique .1,
0
pρρ
∑
≥n
net ses deux premières dérivées.
4 – La loi de Poisson de paramètre λ
Ω = Ν et 0,
!
)( ≥= −k
k
ekPk
λ
λ
Montrer que P ainsi définie est une probabilité sur N. Calculer E(X), E(X(X-1)) et sa fonction
génératrice. Donner deux méthodes pour trouver var(X) (directement et à partir de la série
génératrice).
Exercice 6 (loi géométique)

Un commerçant estime que la demande d’un certain produit saisonnier est une variable aléatoire
discrète de loi :
.0,
)1(
)( 1≥
+
== +k
p
p
kXP k
k
1- Vérifier que X suit bien une loi de probabilité (loi de type géométrique).
2- Calculer son espérance et sa variance.
3- Connaissant son stock s, calculer la probabilité de rupture de stock.
Exercice 7 (loi binomiale et loi de Poisson)
Un élément chimique émet des électrons pendant une période T. Le nombre d’électrons émis est une
variable Y qui suit une loi de Poisson de paramètre λ. Chaque électron a une probabilité p d’avoir un
effet biologique (on dira qu’il est efficace). Soit Z la variable aléatoire égale au nombre d’électrons
efficaces sur la période T.
1 Déterminer la loi du couple (Y,Z).
2 Déterminer la loi de Z, calculer son espérance.
3 Les variables Y et Z sont elles indépendantes ?
4 On considère X la variable aléatoire égale au nombre d’électrons émis non efficaces. Déterminer la
loi du couple (X,Z). Les variables X et Z sont elles indépendantes.
Exercice 8
Soit GX et GY les fonctions génératrices de deux variables X et Y indépendantes, suivant
respectivement des lois binomiales de paramètres (n1, p) et (n2, p). Calculer le produit GXGY, en
déduire la loi de X+Y.