Loi binomiale

Loi binomiale
I. Épreuve de Bernoulli, Schéma de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues possibles.
La répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes s’appelle un
schéma de Bernoulli.
Définition :
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus dans un schéma de
Bernoulli à n épreuves, p désignant la probabilité de succès dans chaque épreuve.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi binomiale de paramètre
n et p.
II. Loi binomiale
1) Coefficient binomiaux
On considère une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètre n et p.
Définition et théorème :
Soit n et k deux entiers naturels tels que 0 ! k ! n .
! n$
On appelle coefficient binomial et on note # & le nombre de chemins dans
" k%
l’arbre pondéré menant à l’événement ( X = k ) , c’est à dire le nombre de
chemins réalisent k succès parmi n épreuves répétées.
Pour tout entier k tel que 0 ! k ! n , la loi de probabilité de X est :
! n$
n' k
p X = k = # & pk 1 ' p
" k%
(
)
(
)
2) Propriété des coefficients binomiaux
! n $ ! !!!n $
On a, pour 0 ! k ! n : # & = #
" k % " n ' k &%
! n $ ! !!n $ ! n + 1$
Triangle de Pascal : On a, pour 0 ! k ! n : # & + #
=
" k % " k + 1&% #" k + 1&%
3) Espérance et variance de la loi binomiale
Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre n et p.
L’espérance de X est :
La variance de X est :
( )
V ( X ) = np (1 ! p )
E X = np