Loi binomiale

Loi binomiale
I. Épreuve de Bernoulli, Schéma de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues possibles.
La répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes s’appelle un
schéma de Bernoulli.
Définition :
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus dans un schéma de
Bernoulli à n épreuves, p désignant la probabilité de succès dans chaque épreuve.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi binomiale de paramètre
n et p.
II. Loi binomiale
1) Coefficient binomiaux
On considère une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètre n et p.
Définition et théorème :
Soit n et k deux entiers naturels tels que
0!k!n
.
On appelle coefficient binomial et on note
n
k
!
"
#$
%
&
le nombre de chemins dans
l’arbre pondéré menant à l’événement
X=k
( )
, c’est à dire le nombre de
chemins réalisent k succès parmi n épreuves répétées.
Pour tout entier k tel que
0!k!n
, la loi de probabilité de X est :
p X =k
( )
=n
k
!
"
#$
%
&pk1'p
( )
n'k
2) Propriété des coefficients binomiaux
On a, pour
0!k!n
:
n
k
!
"
#$
%
&=
!!!n
n'k
!
"
#$
%
&
Triangle de Pascal : On a, pour
0!k!n
:
n
k
!
"
#$
%
&+
!!n
k+1
!
"
#$
%
&=
n+1
k+1
!
"
#$
%
&
3) Espérance et variance de la loi binomiale
Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre n et p.
L’espérance de X est :
E X
( )
=np
La variance de X est :
V X
( )
=np 1!p
( )