cours sur les lois TSTL

Chapitre 9
terminale stl
Loi de probabilité usuelles
1 – Variables aléatoires :
1) Définition : Une variable aléatoire sur l’univers Ω = {x1 ; x 2 ;...; x n } est une fonction T définie sur Ω . Elle est donc à valeurs
réelles.
Soit {t1 ; t 2 ;...; t k } l’ensemble des images par T de toutes les éventualité de Ω (on a k ≤ n ).
Pour tout entier i de {1 ; 2 ; … ; k}, on note (T = ti) l’évènement formé par les éventualités qui ont pour image ti par T.
Exemple : On lance un dé à 6 faces. Si le résultat est pair on gagne 2 € ; sinon on perd 3 €. T est la variable exprimant le gain.
L’univers est {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} et l’ensemble des images est {-3 ; 2}.
On a (T = -3) = {1 ; 3 ; 5} et {T = 2) = {2 ; 4 ; 6}
2) La loi de probabilité de T est définie sur l’univers {t1 ; t 2 ;...; t k } par :
Valeurs
t1
t2
…
tk
-3
2
Probabilité
P(T = t1)
P(T = t2)
…
P(T = tk)
0,5
0,5
i= n
3) L’espérance de la variable aléatoire T est le nombre E = t1 × p1 + t 2 × p 2 + ... + t n × p n = ∑ t i × pi . Ce nombre s’interprète
i =1
comme une moyenne de la variable T.
4) La variance de cette loi est le nombre
i= n
V = ( t1 − E ) × p1 + ( t 2 − E ) × p 2 + ... + ( t n − E ) × p n = ∑ ( t i − E ) × pi formule qui peut se simplifier par : V =
2
2
2
2
i =1
i=n
t1 × p1 + t 2 × p 2 + ... + t n × p n − E = ∑ t i × pi − E .
2
2
2
2
2
2
i =1
5) L’écart-type de cette loi est le nombre σ = V . Plus l’écart-type est petit plus on est sûr d’obtenir une probabilité proche de
l’espérance. (évaluation du risque)
2 – Lois de probabilités discrètes : (univers fini)
1) Loi de Bernoulli : succès-échec
Une épreuve de Bernoulli de paramètre p est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l’une appelée succès,
de probabilité p, l’autre appelée échec, de probabilité 1 – p.
2) Loi binomiale : Bernoulli répétée n fois de manière indépendante. (Il n’y a pas d’influence sur les résultats entre les
expériences)
a) Définition :
Lorsque l’on répète n fois, de façon indépendante, une expérience de Bernoulli de paramètre p, la variable aléatoire X, définie
par le nombre de succès obtenus parmi les n expériences, suit une loi binomiale de paramètres n et p.
n 
n −k
b) Propriété : Pour tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n , on a P (X = k ) =   p k (1− p) . Il s’agit de la probabilité d’obtenir k
k 
succès (et donc (n – k) échecs) parmi n épreuves répétées.
c) Propriété : L’espérance d’une loi binomiale de paramètres n et p est E (x) = np, la variance est V (X) = np (1 – p) et l’écarttype σ ( X ) = np (1 − p ) .
3 – Lois à densité :
1) Principe : Certaines variables aléatoires prennent un nombre infini de valeurs. Elles sont définies sur un intervalle de
nombre I. Pour caractériser la loi de la VAR, on doit utiliser une fonction f continue, positive sur I et dont l’intégrale sur I est
égale à 1. Cette fonction f est appelée densité de probabilité. Pour calculer la probabilité que des valeurs soient dans un
d
intervalle J = [c ; d] inclus dans I, on fait : P (c ≤ X ≤ d ) = P (c ≤ X < d ) = P (c < X ≤ d ) = P (c < X < d ) = ∫ f ( x ) dx .
c
Donc P (c ≤ X ≤ d ) est l’aire du domaine compris entre Cf, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b.
2) Loi uniforme sur [a ; b] : choix d’un réel au hasard dans [a ; b].
a) Définition : La loi uniforme sur [a ; b] a pour densité la fonction constante définie sur [a ; b] par f ( x ) =
tout a ≤ c ≤ d ≤ b , P (c ≤ X ≤ d ) =
1
. Alors pour
b−a
d −c
.
b−a
b) Remarque : Les fonctions Alea() et random des logiciels ou des calculatrice simulent des valeurs d’une variable aléatoire
suivant une loi uniforme sur [0 ; 1].
c) Propriété : Soit X une VAR qui suit une loi uniforme sur [a ; b]. Alors E (X ) =
(b − a)
a+b
et la variance est V ( X ) =
2
12
2
.
3) Loi exponentielle sur les réels positifs : Loi de durée de vie sans vieillissement, temps d’attente d’un évènement accidentel.
a) Définition : Soit λ un réel strictement positif. La loi exponentielle de paramètre λ sur [0;+∞[ a pour densité la fonction f
définie sur [0;+∞[ par f ( x ) = λe−λx .
d
Alors pour tout 0 ≤ c ≤ d , P (c ≤ X ≤ d ) = ∫ λe−λx dx = −e−λx  = e−λc − e−λd .
c
d
c
Pour tout 0 ≤ c , P ( X < c) = P (0 ≤ X ≤ c) = 1− e−λc et
P (X ≥ c) = 1− P ( X ≤ c) = e−λc .
b) Propriété : L’espérance d’une variable X suivant une loi exponentielle de paramètre λ est E (X ) = lim
x →+∞
Elle s’interprète comme une durée de vie moyenne.
∫
x
0
t × f ( t ) dt =
1
.
λ
4) Lois normales : Phénomènes très fréquents qui résultent de l’addition de plusieurs causes indépendantes.
(x −µ )
2
a) Etude d’une fonction : Soit µ ∈ ℝ et σ > 0 . La fonction définie sur ℝ par f ( x ) =
1
σ 2π
−
e
2σ
2
est continue, dérivable,
strictement positive sur ℝ . Elle est symétrique par rapport à la valeur µ et admet en µ un maximum égal à
lim f ( x ) = lim f ( x ) = 0 . Sa courbe s’appelle courbe de Gauss ou courbe en cloche. De plus lim
x →+∞
x →+∞
x →−∞
∫
y
−y
1
σ 2π
.
f ( x ) dx = 1 (L’aire
sous la courbe est égale à 1). C’est donc une densité de probabilité sur ℝ . Attention, elle n’a pas de primitive explicite.
b) Définition : La loi normale N ( µ; σ ) est la loi de probabilité ayant pour densité la fonction f précédente. Son espérance vaut
µ et son écart-type vaut σ . (Attention certains énoncés donnent la variance V = σ2 et il faut calculer σ = V )
c) Le calcul des probabilités avec une loi normale se font de manière approchée à l’aide des outils informatiques, des tables de
loi ou des calculs d’aires sous la courbe de Gauss.
d) Pour tout réel a, P (X ≤ µ − a ) = P ( X ≥ µ + a ) ;
P (X ≤ µ − a ) = 1− P (X ≤ µ + a ) ;
P (µ − a ≤ X ≤ µ + a ) = 2P ( X ≤ µ + a ) −1 .
e) A connaître : Si X suit une loi normale N (µ; σ) on a :
P (µ − σ ≤ X ≤ µ + σ) = 0, 683 .
P (µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) = 0,954 .
P (µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ) = 0,997 .
4 – Le théorème de Moivre Laplace :
1) Contexte : Si on considère une loi binomiale de paramètres n et p, on remarque que le calcul de certaines probabilités est
impossible si n est grand. Pour résoudre le problème, on peut approcher les calculs grâce à une loi normale.
2) Théorème : Soit n un entier naturel non nul et p un réel de [0 ; 1]. Pour les plus grandes valeurs de n, la loi binomiale
(
)
B(n ; p) est très proche de la loi normale N np; np (1− p ) de même espérance np et de même écart type σ ( X ) = np (1 − p )
.
3) Conditions d’application : Quand
n ≥ 30 ; np ≥ 5 et n (1− p) ≥ 5 , l’erreur sur les probabilités
est très faible. On ne fera l’approximation que lorsque ces
trois conditions seront remplies.