cours sur les lois TSTL

Chapitre 9 terminale stl
Loi de probabilité usuelles
1 – Variables aléatoires :
1) Définition : Une variable aléatoire sur l’univers
{
}
1 2 n
x ;x ;...;x
Ω =
est une fonction T définie sur
Ω
. Elle est donc à valeurs
réelles.
Soit
{
}
1 2 k
t ;t ;...;t
l’ensemble des images par T de toutes les éventualité de
Ω
(on a
k n
≤
).
Pour tout entier i de {1 ; 2 ; … ; k}, on note (T = t
i) l’évènement formé par les éventualités qui ont pour image ti par T.
Exemple : On lance un dé à 6 faces. Si le résultat est pair on gagne 2 € ; sinon on perd 3 €. T est la variable exprimant le gain.
L’univers est {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} et l’ensemble des images est {-3 ; 2}.
On a (T = -3) = {1 ; 3 ; 5} et {T = 2) = {2 ; 4 ; 6}
2) La loi de probabilité de T est définie sur l’univers
{
}
1 2 k
t ;t ;...;t
par :
Valeurs t1 t2 … tk -3 2
Probabilité P(T = t1) P(T = t2) … P(T = tk) 0,5 0,5
3) L’espérance de la variable aléatoire T est le nombre E =
i n
1 1 2 2 n n i i
i 1
t p t p ... t p t p
=
=
× + × + + × = ×
∑. Ce nombre s’interprète
comme une moyenne de la variable T.
4) La variance de cette loi est le nombre
V =
( ) ( ) ( ) ( )
i n
2 2 2 2
1 1 2 2 n n i i
i 1
t E p t E p ... t E p t E p
=
=
− × + − × + + − × = − ×
∑ formule qui peut se simplifier par : V =
i n
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 n n i i
i 1
t p t p ... t p E t p E
=
=
× + × + + × − = × −
∑.
5) L’écart-type de cette loi est le nombre
V
σ =
. Plus l’écart-type est petit plus on est sûr d’obtenir une probabilité proche de
l’espérance. (évaluation du risque)

2 – Lois de probabilités discrètes : (univers fini)
1) Loi de Bernoulli : succès-échec
Une épreuve de Bernoulli de paramètre p est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l’une appelée succès,
de probabilité p, l’autre appelée échec, de probabilité 1 – p.
2) Loi binomiale : Bernoulli répétée n fois de manière indépendante. (Il n’y a pas d’influence sur les résultats entre les
expériences)
a) Définition :
Lorsque l’on répète n fois, de façon indépendante, une expérience de Bernoulli de paramètre p, la variable aléatoire X, définie
par le nombre de succès obtenus parmi les n expériences, suit une loi binomiale de paramètres n et p.
b) Propriété : Pour tout entier k tel que
0 k n
≤ ≤
, on a
( ) ( )
n k
k
n
P X k p 1 p
k
−
= = −
. Il s’agit de la probabilité d’obtenir k
succès (et donc (n – k) échecs) parmi n épreuves répétées.
c) Propriété : L’espérance d’une loi binomiale de paramètres n et p est E (x) = np, la variance est V (X) = np (1 – p) et l’écart-
type
( ) ( )
X np 1 p
σ = −
.
3 – Lois à densité :
1) Principe : Certaines variables aléatoires prennent un nombre infini de valeurs. Elles sont définies sur un intervalle de
nombre I. Pour caractériser la loi de la VAR, on doit utiliser une fonction f continue, positive sur I et dont l’intégrale sur I est
égale à 1. Cette fonction f est appelée densité de probabilité. Pour calculer la probabilité que des valeurs soient dans un
intervalle J = [c ; d] inclus dans I, on fait :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d
c
P c X d P c X d P c X d P c X d f x dx
≤ ≤ = ≤ < = < ≤ = < < =
∫
.
Donc
(
)
P c X d
≤ ≤
est l’aire du domaine compris entre Cf, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b.
2) Loi uniforme sur [a ; b] : choix d’un réel au hasard dans [a ; b].
a) Définition : La loi uniforme sur [a ; b] a pour densité la fonction constante définie sur [a ; b] par
( )
1
f x
b a
=
−
. Alors pour
tout
a c d b
≤ ≤ ≤
,
( )
d c
P c X d
b a
−
≤ ≤ =
−
.
b) Remarque : Les fonctions Alea() et random des logiciels ou des calculatrice simulent des valeurs d’une variable aléatoire
suivant une loi uniforme sur [0 ; 1].
c) Propriété : Soit X une VAR qui suit une loi uniforme sur [a ; b]. Alors
( )
a b
E X
2
+
= et la variance est
( ) ( )
2
b a
V X
12
−
=
.
3) Loi exponentielle sur les réels positifs : Loi de durée de vie sans vieillissement, temps d’attente d’un évènement accidentel.
a) Définition : Soit
λ
un réel strictement positif. La loi exponentielle de paramètre
λ
sur
[
[
0;
+∞
a pour densité la fonction f
définie sur
[
[
0;
+∞
par
(
)
x
f x e
−λ
= λ
.
Alors pour tout
0 c d
≤ ≤
,
( )
dd
x x c d
c
c
P c X d e dx e e e
−λ −λ −λ −λ
≤ ≤ = λ = − = −
∫
.
Pour tout
0 c
≤
,
(
)
(
)
c
P X c P 0 X c 1 e
−λ
< = ≤ ≤ = −
et
(
)
(
)
c
P X c 1 P X c e
−λ
≥ = − ≤ =
.
b) Propriété : L’espérance d’une variable X suivant une loi exponentielle de paramètre
λ
est
( ) ( )
x
x0
1
E X lim t f t dt
→+∞
= × =
λ
∫
.
Elle s’interprète comme une durée de vie moyenne.

4) Lois normales : Phénomènes très fréquents qui résultent de l’addition de plusieurs causes indépendantes.
a) Etude d’une fonction : Soit
et 0
µ ∈ σ >
ℝ
. La fonction définie sur
ℝ
par
( )
( )
2
2
x
2
1
f x e
2
−µ
−σ
=
σ π
est continue, dérivable,
strictement positive sur
ℝ
. Elle est symétrique par rapport à la valeur
µ
et admet en
µ
un maximum égal à
1
2
σ π
.
(
)
(
)
x x
lim f x lim f x 0
→+∞ →−∞
= =
. Sa courbe s’appelle courbe de Gauss ou courbe en cloche. De plus
( )
y
xy
lim f x dx 1
→+∞ −
=
∫
(L’aire
sous la courbe est égale à 1). C’est donc une densité de probabilité sur
ℝ
. Attention, elle n’a pas de primitive explicite.
b) Définition : La loi normale N
(
)
;
µ σ
est la loi de probabilité ayant pour densité la fonction f précédente. Son espérance vaut
µ
et son écart-type vaut
σ
. (Attention certains énoncés donnent la variance
2
V
= σ
et il faut calculer
V
σ = )
c) Le calcul des probabilités avec une loi normale se font de manière approchée à l’aide des outils informatiques, des tables de
loi ou des calculs d’aires sous la courbe de Gauss.
d) Pour tout réel a,
(
)
(
)
P X a P X a
≤ µ − = ≥ µ +
;
(
)
(
)
P X a 1 P X a
≤ µ− = − ≤ µ +
;
(
)
(
)
P a X a 2P X a 1
µ − ≤ ≤ µ + = ≤ µ + −
.
e) A connaître : Si X suit une loi normale N
(
)
;
µ σ
on a :
(
)
P X 0,683
µ −σ ≤ ≤ µ +σ =
.
(
)
P 2 X 2 0,954
µ − σ ≤ ≤ µ + σ =
.
(
)
P 3 X 3 0,997
µ − σ ≤ ≤ µ + σ =
.
4 – Le théorème de Moivre Laplace :
1) Contexte : Si on considère une loi binomiale de paramètres n et p, on remarque que le calcul de certaines probabilités est
impossible si n est grand. Pour résoudre le problème, on peut approcher les calculs grâce à une loi normale.
2) Théorème : Soit n un entier naturel non nul et p un réel de [0 ; 1]. Pour les plus grandes valeurs de n, la loi binomiale
B (n ; p) est très proche de la loi normale N
( )
(
)
np; np 1 p
−
de même espérance np et de même écart type
( ) ( )
X np 1 p
σ = −
.
3) Conditions d’application : Quand
(
)
n 30 ; np 5 et n 1 p 5
≥ ≥ − ≥
, l’erreur sur les probabilités
est très faible. On ne fera l’approximation que lorsque ces
trois conditions seront remplies.