Département de Mathématiques Guelma: 2012-2013 Probabilités de base Série de TD 2 Exercice 1. Vérifier que les lois suivantes sont bien des lois de probabilité et calculer, quand elles existent, l’espérance et la variance de ces lois. A) Lois discrètes : 1) Bernoulli B(1, p), p ∈ [0, 1] : P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 − p. 2) Binomiale B(n; p), n ≥ 1, p ∈ [0, 1] : P(X = k) = 3) Poisson P(λ), λ > 0 : P(X = k) = λk −λ , k! e n k pk (1 − p)n−k , 0 ≤ k ≤ n. k ≥ 0. B) Lois continues (on donne ici la densité de ces lois) : 4) Uniforme U([a, b]), a < b : fX (x) = 1 b−a 1[a,b] (x) , 5) Gaussienne N (µ, σ 2 ), µ ∈ R, σ > 0 : fX (x) = 6) Cauchy C(λ), λ > 0 : fX (x) = 1 λ π λ2 +x2 , x ∈ R. √ 1 2πσ 2 2 exp − (x−µ) 2σ 2 , x ∈ R. x ∈ R. 7) Exponentielle E(λ), λ > 0 : fX (x) = λe−λx , x ∈ R+ . 8) Gamma Γ(t, λ), t; λ > 0 : fX (x) = (λx)t−1 λe−λx , Γ(t) x ∈ R+ , où Γ(t) = R ∞ t−1 −x e dx. 0 x Exercice 2. Soit X une variable aléatoire centrée de variance σ 2 . En utilisant l’inégalité de Chebychev, démontrer que 1) P ({|X| ≥ a}) ≤ σ2 a2 2) P ({|X| ≥ a}) ≤ σ2 a2 +σ 2 et P ({|X| ≥ a}) ≤ 2σ 2 a2 +σ 2 (utiliser ψ(x) = (x + b)2 avec b ≥ 0, puis minimiser en b) Exercice 3. Soient X une variable aléatoire positive de carré intégrable et 0 ≤ t < E(X). a) Montrer, en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz avec X et Y = 1{X>t} , que P ({X > t}) ≥ (E(X) − t)2 E (X 2 ) b) Vérifier directement cette inégalité pour X ∼ P(λ) et t = 0. Exercise 4. Let X be a centered Gaussian random variable of variance σ 2 . Compute : a) E X 4 . b) E (exp (X)) . c) E exp −X 2 . (KERBOUA. M) 1 er Master: Probabilités et Applications -1-