td 2 proba de base

Département de Mathématiques Probabilités de base Guelma: 2012-2013
Série de TD 2
Exercice 1. Vérifier que les lois suivantes sont bien des lois de probabilité et calculer, quand elles existent,
l’espérance et la variance de ces lois.
A) Lois discrètes :
1) Bernoulli B(1, p), p ∈[0,1] : P(X= 1) = p, P(X= 0) = 1 −p.
2) Binomiale B(n;p), n ≥1, p ∈[0,1] : P(X=k) = 
n
k
pk(1 −p)n−k,0≤k≤n.
3) Poisson P(λ), λ > 0 : P(X=k) = λk
k!e−λ, k ≥0.
B) Lois continues (on donne ici la densité de ces lois) :
4) Uniforme U([a, b]), a < b :fX(x) = 1
b−a1[a,b](x), x ∈R.
5) Gaussienne N(µ, σ2), µ ∈R, σ > 0 : fX(x) = 1
√2πσ2exp −(x−µ)2
2σ2, x ∈R.
6) Cauchy C(λ), λ > 0 : fX(x) = 1
π
λ
λ2+x2, x ∈R.
7) Exponentielle E(λ), λ > 0 : fX(x) = λe−λx, x ∈R+.
8) Gamma Γ(t, λ), t;λ > 0 : fX(x) = (λx)t−1λe−λx
Γ(t), x ∈R+,où Γ(t) = R∞
0xt−1e−xdx.
Exercice 2. Soit Xune variable aléatoire centrée de variance σ2. En utilisant l’inégalité de Chebychev,
démontrer que
1) P({|X| ≥ a})≤σ2
a2et P({|X| ≥ a})≤2σ2 a2+σ2
2) P({|X| ≥ a})≤σ2
a2+σ2(utiliser ψ(x)=(x+b)2avec b≥0, puis minimiser en b)
Exercice 3. Soient Xune variable aléatoire positive de carré intégrable et 0≤t < E(X).
a) Montrer, en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz avec Xet Y= 1{X>t}, que
P({X > t})≥(E(X)−t)2
E(X2)
b) Vérifier directement cette inégalité pour X∼ P(λ)et t= 0.
Exercise 4. Let Xbe a centered Gaussian random variable of variance σ2. Compute :
a) EX4.
b) E(exp (X)) .
c) Eexp −X2.
(KERBOUA. M) 1 er Master: Probabilités et Applications -1-