Lois de probabilités usuelles
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Lois de probabilités usuelles
Lois discrètes
Nom de la loi
Paramètre(s)
Symbole
Valeurs possibles de X
Probabilités élémentaires
Espérance
Variance
P(X = 1) = 1 − P(X = 0) = p
p
p(1 − p)
np
np(1 − p)
1
p
1−p
p2
λ
λ
Bernoulli
p ∈]0, 1[
B(p)
0 ou 1
Binomiale
p ∈]0, 1[ et n ∈ N∗
B(n, p)
0, 1, . . . , n
Géométrique
p ∈]0, 1[
G(p)
N∗
Poisson
λ ∈]0, +∞[
P(λ)
N
Uniforme
Un ensemble fini à
n ∈ N∗ éléments
{x1 , . . . , xn }
U({x1 , . . . , xn })
P(X = k) =
n k
p (1 − p)n−k
k
P(X = k) = p(1 − p)k−1
P(X = k) = e−λ
1
P(X = xi ) =
n
{x1 , . . . , xn }
Rappels: Si on note X(Ω) l’ensemble des valeurs possibles de X, alors,
1
=
X
P(X = k).
k∈X(Ω)
E[X]
=
X
k P(X = k).
k∈X(Ω)
E X2 =
X
k 2 P(X = k).
k∈X(Ω)
E Xd =
X
k d P(X = k), d ∈ N.
k∈X(Ω)
Var(X)
=
λk
k!
2
E X 2 − E[X] .
n
1X
xi
n i=1
n
1X 2
x −
n i=1 i
n
1X
xi
n i=1
!2
Lois à densité
Nom de la loi
Paramètre(s)
Symbole
Valeurs possibles de X
Uniforme
a < b réels
U([a, b])
[a, b]
fX (x) =
Normale (ou de Gauss)
µ ∈ R et σ 2 ∈ R∗+
N (µ, σ 2 )
R
fX (x) = √
Exponentielle
λ ∈ R∗+
E(λ)
R+
Densité de probabilité
1
1[a,b] (x)
b−a
1
2πσ 2
e−
(x−µ)2
2σ 2
fX (x) = λe−λx 1R+ (x)
Rappels:
• Pour qu’une fonction f , définie sur R, soit une densité de probabilité, il faut que :
1. elle soit positive,
R
2. R f (x) dx = 1.
• Si on note I l’ensemble des valeurs possibles de X, alors,
Z
1
=
fX (x) dx.
ZI
E[X]
=
E X2 =
E Xd =
x fX (x) dx.
ZI
ZI
x2 fX (x) dx.
xd fX (x) dx, d ∈ N.
I
Var(X)
2
= E X 2 − E[X] .
• La fonction de répartition de X est la function FX définie, pour tout t dans R, par,
Z
FX (t) = P(X ≤ t) =
I∩]−∞,t]
La fonction de répartition est comprise entre 0 et 1, croissante et continue sur R.
fX (x) dx.
Espérance
Variance
a+b
2
(b − a)2
12
µ
σ2
1
λ
1
λ2
